2011年高考数学 极限单元测试卷

1 极限单元测试卷极限单元测试卷 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 下面四个命题中 不正确的是 A 若函数 f x 在 x x0处连续 则f x f x lim x x 0 lim x x 0 B 函数 f x 的不连续点是 x 2 和 x 2 x 2 x2 4 C 若函数 f x g x 满足 f x g x 0 则f x g x lim x lim x lim x D lim x 1 x 1 x 1 1 2 答案 C 解析 A 中由连续的定义知函数 f x 在 x x0处连续 一定有f x f x 且 lim n x 0 lim x x 0 还满足f x f x f x0 故 A 对 B 中函数 f x 在 x 2 和 x 2 无定义 lim x x 0 lim x x 0 x 2 x2 4 故不连续 B 对 C 中只有f x g x 存在时 才有f x g x 否则不成 lim x lim x lim x lim x 立 D 中 故 D 对 故选 C lim x 1 x 1 x 1 lim x 1 1 x 1 1 2 2 下列命题中 如果 f x 那么f x 0 1 3 x lim x 如果 f x 那么f x 0 1 x lim x 如果 f x 那么f x 不存在 x2 3x x 3 lim x 3 如果 f x Error Error 那么f x 0 lim x 0 其中错误命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 中 x 时无意义 中f x x 3 lim x 3 lim x 3 中左 右极限不相等 故选 D 3 2009 阳泉模拟 等于 lim n 1 2 3 n n2 A 2 B 1 C D 0 1 2 答案 C 解析 故选 C lim n 1 2 3 n n2 lim n n 1 2n lim n 1 1 n 2 1 2 4 已知函数 f x Error Error 在点 x 1 处连续 则 a 的值是 2 A 2 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 f x x 3 4 lim x 1 lim x 1 x2 2x 3 x 1 lim x 1 又f x ax 1 a 1 f 1 a 1 lim x 1 lim x 1 要使 f x 在 x 1 处连续 需f x f x f 1 lim x 1 lim x 1 即 a 1 4 a 3 故选 C 5 已知函数 f x Error Error 在 x 0 处连续且可导 则 a b 的值依次为 A 1 1 B 2 1 C 1 2 D 2 2 答案 B 解析 由连续性知 b 1 由可导性知 a 2 选 B 6 2009 天津六县区联考 等于 lim n C 0 2n C 2 2n C 4 2n C2n2n 1 4n A 1 B 1 2 C D 0 1 4 答案 B 解析 C C C C 22n 4n 0 2n2 2n4 2n2n2n 1 2 1 2 lim n C 0 2n C 2 2n C 4 2n C2n2n 1 4n lim n 1 2 4n 1 4n 故选 B lim n 1 2 f 1 4 n 1 1 2 7 设 f n 1 n N 那么 f n 1 f n 等于 1 2 1 3 1 3n 1 A B 1 3n 2 1 3n 1 3n 1 C D 1 3n 1 1 3n 2 1 3n 1 3n 1 1 3n 2 答案 D 解析 f n 1 1 2 1 3 1 3n 1 f n 1 1 1 2 1 3 1 3n 1 1 3n 1 3n 1 1 3n 2 f n 1 f n 故选 D 1 3n 1 3n 1 1 3n 2 8 的值为 lim n 1 n 1 2 n 1 3 n 1 2n 1 n 1 2n n 1 A 1 B 0 3 C D 1 1 2 答案 A 解析 原式 1 故选 A lim n 1 n n 1 9 设正数 a b 满足 x2 ax b 4 则 等于 lim x 2 lim n an 1 abn 1 an 1 2bn A 0 B 1 4 C D 1 1 2 答案 B 解析 由 x2 ax b 4 即 22 2a b 4 得 2a b lim x 2 lim n an 1 a bn 1 an 1 2 bn lim n an 1 2n 1 an an 1 2n 1 an 故选 B lim n 1 2n 1 1 4 1 a 1 2n 1 1 a2 1 a 1 4 10 数列 an 中 a1 2 且 an an 1 n 2 若an存在 则an等于 1 2 3 an 1 lim n lim n A B 33 C D 36 答案 A 解析 a1 2 an an 1 则 an 0 1 2 3 an 1 an 0 又an an 1 an an 1 lim n lim n lim n lim n 1 2 lim n 3 lim n an 1 解得 an lim n 3 11 若 1 5x2 n的展开式中各项系数之和是 an 2x3 5 n的展开式中各项的二项式系数 之和为 bn 则 的值为 lim n an 2bn 3an 4bn A B 2 3 1 2 C D 1 2 1 3 答案 D 解析 令 x 1 得各项系数之和为 an 6n 2x3 5 n的展开式中各项的二项式系数之和 为 bn 2n lim n an 2bn 3an 4bn lim n 6n 2 2n 3 6n 4 2n lim n 1 2 f 1 3 n 3 4 f 1 3 n 1 3 12 数列 an 中 有 5n 2 an 2 并有an存在 则 nan 的值为 lim n lim n lim n 4 A 0 B 2 C D 不存在 2 5 答案 C 解析 因为an存在 可设an a lim n lim n 又有 5n 2 an 2 且 0 lim n lim n 1 n 5n 2 an 0 2 0 lim n 1 n 又 5n 2 an 5an lim n 1 n lim n 2an n 5an 2 5a 0 0 lim n lim n an n a an 0 lim n 5n 2 an 5nan 2an lim n lim n 5nan 2an 5nan 0 2 lim n lim n lim n nan lim n 2 5 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在数列 an 中 a1 9 且对任意大于 1 的正整数 n 点 在直线 anan 1 x y 3 0 上 则 lim n an n 1 2 答案 9 解析 由题意 得 3 anan 1 是等差数列 an n 1 3 3n ana1 an 9n2 lim n an n 1 2 lim n 9n2 n 1 2 lim n 9 1 f 1 n 2 9 14 lim x x cosx x 答案 2 解析 lim x x cosx x cosx lim x x cos 2 x 15 5 如右图 连结 ABC 的各边中点得到一个新的 A1B1C1 又连结 A1B1C1的各边中点 得到 A2B2C2 如此无限继续下去 得到一系列三角形 ABC A1B1C1 A2B2C2 这一系列三角形趋向于一个点 M 已知 A 0 0 B 3 0 C 2 2 则点 M 的坐 标是 答案 5 3 2 3 解析 由条件结合图象可知 三角形的顶点都在 ABC 的三条中线上 由极限知识知 M 点的坐标是 ABC 的重心 即为所求 5 3 2 3 16 将杨辉三角中的每一个数 C 都换成分数 就得到一个如图所示的分数三 r n 1 n 1 Cr n 角形 称为莱布尼茨三角形 从莱布尼茨三角形可看出 其中 1 n 1 Cr n 1 n 1 Cx n 1 nCrn 1 x 令 an 则an 1 3 1 12 1 30 1 60 1 nC 2n 1 1 n 1 C2 n lim n 1 1 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 12 1 4 1 5 1 20 1 30 1 20 1 5 1 6 1 30 1 60 1 60 1 30 1 6 1 7 1 42 1 105 1 140 1 105 1 42 1 7 答案 r 1 1 2 解析 令 n 3 当 r 1 时 1 4Cr 3 1 4Cx 3 1 3Cr 2 C 3 1 4 3 1 4Cx 3 1 3 2 1 4Cx 3 1 6 1 12 1 12x 3 x 1 2 当 r 2 时 1 4C2 3 1 4Cx 3 1 3 1 4Cx 3 1 3 1 12 3 12 1 4 C 1 x 3 归纳 x r 1 x 3 6 利用裂项求和求极限求出an的值 lim x 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 已知 f x a bx a b 为常数 的图象经过点 P 1 和 Q 4 8 1 8 1 求 f x 的解析式 2 记 an log2f n n N Sn是数列 an 的前 n 项和 求 lim n Sn 3n2 1 解 1 f x 的图象经过点 P 1 和 Q 4 8 1 8 Error Error 解得Error Error f x 4x 4x 22x 5 1 32 5 2 2 an log2f n log222n 5 2n 5 an 1 an 2 n 1 5 2n 5 2 an 是以 3 为首项 公差为 2 的等差数列 Sn n2 4n n 3 2n 5 2 lim n Sn 3n2 1 lim n n2 4n 3n2 1 1 3 18 本小题满分 12 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 其中 an 且 a1 Sn n 2n 1 1 3 1 求 a2 a3 2 猜想数列 an 的通项公式 并用数学归纳法加以证明 3 求Sn lim n 解 1 由 a2 得 a2 由 a1 1 3 a2 2 3 1 3 5 1 1 3 a2 得 a3 得 a3 1 3 5 1 3 1 3 5 a3 3 5 1 5 7 2 猜想 an 1 2n 1 2n 1 证明 当 n 1 时 显然成立 假设 n k 时 猜想成立 即 ak 则 n k 1 时 ak 1 1 2k 1 2k 1 Sk 1 k 1 2k 1 得 Sk 1 k 1 2k 1 ak 1 同时 Sk k 2k 1 ak k 2k 1 两式相减 得 ak 1 S k 1 Sk k 1 2k 1 ak 1 即 k 2k 3 ak 1 k 2k 1 k 2k 1 ak 1 即 n k 1 时 猜想成立 1 2k 1 2k 3 综上 an 1 2n 1 2n 1 7 3 Sn lim n lim n 1 1 3 1 3 5 1 2n 1 2n 1 1 lim n 1 2 1 3 1 3 1 5 1 2n 1 1 2n 1 1 lim n 1 2 1 2n 1 1 2 19 本小题满分 12 分 已知等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 且有 qn lim n a1 2 q 求首项 a1的取值范围 1 4 解 qn lim n a1 2 q 1 4 0 q 1 或 q 1 当 0 q 1 时 即有 0 4a1 2 1 解之 得 a1 a1 1 4 3 4 1 2 当 q 1 时 1 lim n a1 3 1 4 即 1 得 a1 a1 3 1 4 15 4 故 a1的取值范围为 a1 且 a1 或 a1 1 4 3 4 1 2 15 4 20 本小题满分 12 分 在边长为 l 的等边 ABC 中 O1为 ABC 的内切圆 O2与 O1外切 且与 AB BC 相切 On 1与 On外切 且与 AB BC 相切 如此无限继 续下去 记 On的面积为 an n N 1 证明 an 是等比数列 2 求 a1 a2 an 的值 lim n 1 证明 记 rn为 On的半径 则 r1 tan30 l sin30 l 2 3 6 rn 1 rn rn 1 rn 1 2 rn rn 1 n 2 1 3 于是 a1 r 2 2 1 l2 12 an an 1 rn rn 1 1 9 故 an 成等比数列 2 解 an n 1a1 1 9 a1 a2 an lim n a1 1 1 9 3 l2 32 21 本小题满分 12 分 已知公比为 q 0 q1 使得 存在且不等于零 lim n Sn nm 注 无穷等比数列各项的和即当 n 时该无穷等比数列前 n 项和的极限 解 1 依题意 可知Error Error Error Error 2 由 1 知 an 3 n 1 2 3 所以数列 T 2 的首项为 t1 a2 2 公差 d 2a2 1 3 S10 10 2 10 9 3 155 1 2 即数列 T 2 的前 10 项之和为 155 3 bi ai i 1 2ai 1 2i 1 ai i 1 3 2i 1 i 1 i 1 2 3 Sn 45 18n 45 n 2 3 n n 1 2 n lim n Sn nm lim n 45 nm 18n 45 nm 2 3 n n 1 2nm 当 m 2 时 lim n Sn nm 1 2 当 m 2 时 0 所以 m 2 lim n Sn nm 22 本小题满分 12 分 已知数列 an 的首项 a1 5 前 n 项和为 Sn 且 Sn 1 2Sn n 5 n N 1 证明数列 an 1 是等比数列 2 令 f x a1x a2x2 anxn 求函数 f x 在点 x 1 处的导数 f 1 并比较 2f 1 与 23n2 13n 的大小 1 证明 由已知 Sn 1 2Sn n 5 n 2 时 Sn 2Sn 1 n 4 两式相减 得 Sn 1 Sn 2 Sn Sn 1 1 即 an 1 2an 1 从而 an 1 1 2 an 1 当 n 1 时 S2 2S1 1 5 a1 a2 2a1 6 又 a1 5 a2 11 从而 a2 1 2 a1 1 故总有 an 1 1 2 an 1 n N 又 a1 5 an 1 0 从而 2 an 1 1 an 1 即 an 1 是以 a1 1 6 为首项 2 为公比的等比数列 2 解 由