浙江省杭州高级中学2017届高三（下）第一次月考数学试卷（解析版）

第 1 页 共 26 页 2016 2017 学年浙江省杭州高级中学高三 下 第一次月考数学学年浙江省杭州高级中学高三 下 第一次月考数学 试卷试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 分 1 设集合 A y y sinx x R 集合 B x y lgx 则 RA B A 1 U 1 B 1 1 C 1 D 1 2 已知方程 x2 4 i x 4 ai 0 a R 有实根 b 且 z a bi 则复数 z 的共轭 复数等于 A 2 2i B 2 2i C 2 2iD 2 2i 3 若条件 p x 1 2 条件 q x a 且 p 是 q 的充分不必要条件 则 a 取值范围是 A a 1B a 1C a 3D a 3 4 已知函数 f x sin x 的部分图象如图所示 点 B C 是该图象与 x 轴的交点 过点 C 的直线与该图象交于 D E 两点 则 的 值为 A 1B C D 2 5 抛一枚均匀硬币 正 反面出现的概率都是 反复投掷 数列 an 定义 若 则事件 S4 0 的概率为 A B C D 第 2 页 共 26 页 6 已知函数 f x x3 2f 2 x n f 2 则二项式展开式中常数 项是 A 第 7 项 B 第 8 项 C 第 9 项 D 第 10 项 7 双曲线 1 a 0 b 0 的左右焦点分别为 F1 F2渐近线分别为 l1 l2 位于第一象限的点 P 在 l1上 若 l2 PF1 l2 PF2 则双曲线的离心率是 A B C 2D 8 若向量 满足 2 2 则 在 方向上投影的最大值是 A B C D 9 已知 a b 二次三项式 ax2 2x b 0 对于一切实数 x 恒成立 又 x0 R 使 ax02 2x0 b 0 成立 则的最小值为 A 1B C 2D 2 10 已知方程 ln x ax2 0 有 4 个不同的实数根 则实数 a 的取值范围是 A B C D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 11 若 xlog34 1 则 x 4x 4 x 12 抛物线 x ay2 a 0 的焦点坐标是 双曲线的顶点到渐近 线的距离为 13 设离散型随机变量 X 的分布列为 X01234 第 3 页 共 26 页 P0 20 10 10 30 3 若离散型随机变量 Y 满足 Y 2X 1 则 E Y D Y 14 已知 且 1 若 则 tan 2 tan 的最大值为 15 已知等差数列 an 满足 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 则 S100的值为 16 已知平面区域 夹在两条斜率为 的平行直线之间 且这 两条平行直线间的最短距离为 m 若点 P x y 且 mx y 的最小值为 p 的最大值为 q 则 pq 等于 17 设 a 0 3x2 a 2x b 0 在 a b 上恒成立 则 b a 的最大值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 分 18 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 2a c cosB bcosC 3 I 求 ABC 的面积 II 若 sinA sinC 3 2 求 AC 边上的中线 BD 的长 19 在平面直角坐标系 xoy 中 已知点 F 0 1 直线 l y 1 P 为平面上的 动点 且过点 P 作直线 l 的垂线 垂足为 Q 满足 求动点 P 的轨迹 C 的方程 在轨迹 C 上求一点 M 使得 M 到直线 y x 3 的距离最短 并求出最短距 离 20 已知函数 f x t 1 lnx tx2 3t t R 第 4 页 共 26 页 1 若 t 0 求证 当 x 0 时 f x 1 x x2 2 若 f x 4x 对任意 x 1 恒成立 求 t 的取值范围 21 设椭圆 C1 的左 右焦点分别是 F1 F2 下顶点为 A 线段 OA 的中点为 B O 为坐标原点 如图 若抛物线 C2 y x2 1 与 y 轴的 交点为 B 且经过 F1 F2点 求椭圆 C1的方程 设 M 0 N 为抛物线 C2上的一动点 过点 N 作抛物线 C2的切线 交椭圆 C1于 P Q 两点 求 MPQ 面积的最大值 22 数列 an 各项均为正数 且对任意 n N 满足 an 1 an can2 c 0 且为常数 若 a1 2a2 3a3依次成等比数列 求 a1的值 用常数 c 表示 设 bn Sn是数列 bn 的前 n 项和 i 求证 ii 求证 Sn Sn 1 第 5 页 共 26 页 2016 2017 学年浙江省杭州高级中学高三 下 第一次学年浙江省杭州高级中学高三 下 第一次 月考数学试卷月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 分 1 设集合 A y y sinx x R 集合 B x y lgx 则 RA B A 1 U 1 B 1 1 C 1 D 1 考点 交 并 补集的混合运算 分析 求出 y sinx 的值域确定出 A 找出 R 中不属于 A 的部分求出 A 的补集 求出 y lgx 的定义域确定出 B 找出 A 补集与 B 的公共部分即可求出所求的集 合 解答 解 由集合 A 中的函数 y sinx x R 得到 y 1 1 A 1 1 RA 1 1 由集合 B 中的函数 y lgx 得到 x 0 B 0 则 RA B 1 故选 C 2 已知方程 x2 4 i x 4 ai 0 a R 有实根 b 且 z a bi 则复数 z 的共轭 复数等于 A 2 2i B 2 2i C 2 2iD 2 2i 考点 复数的基本概念 分析 由复数相等的意义将方程 x2 4 i x 4 ai 0 a R 转化为实系数方 程 解方程求出两根 解答 解 方程 x2 4 i x 4 ai 0 a R 可以变为 x2 4x 4 i x a 0 第 6 页 共 26 页 由复数相等的意义得解得 x 2 a 2 方程 x2 4 i x 4 ai 0 a R 有实根 b 故 b 2 所以复数 z 2 2i 所以复数 z 的共轭复数等于 2 2i 故选 B 3 若条件 p x 1 2 条件 q x a 且 p 是 q 的充分不必要条件 则 a 取值范围是 A a 1B a 1C a 3D a 3 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 求出 x 1 2 根据 p 是 q 的充分不必要条件 得出 q p 再运 用集合关系求解 解答 解 p x 1 2 p x 1 或 x 3 p 是 q 的充分不必要条件 q 是 p 充分不必要条件 p 定义为集合 P q 定义为集合 q q x a p x 1 或 x 3 a 1 故选 A 4 已知函数 f x sin x 的部分图象如图所示 点 B C 是该图象与 x 轴的交点 过点 C 的直线与该图象交于 D E 两点 则 的 值为 第 7 页 共 26 页 A 1B C D 2 考点 平面向量数量积的运算 分析 可求出 f x 的周期为 2 从而得出 根据正弦函数的对称性 可知 点 C 为 DE 的中点 从而 并且 代入 进行数量积的运算即可 解答 解 f x sin x 的周期为 2 D E 关于点 C 对称 C 是线段 DE 的中点 2 故选 D 5 抛一枚均匀硬币 正 反面出现的概率都是 反复投掷 数列 an 定义 若 则事件 S4 0 的概率为 A B C D 考点 等可能事件的概率 分析 事件 S4 0 表示反复抛掷 4 次硬币 其中出现正面的次数是三次或四 第 8 页 共 26 页 次 利用 n 次独立重复试验恰好出现 k 次的概率公式能够求出事件 S4 0 的概 率 解答 解 事件 S4 0 表示反复抛掷 4 次硬币 其中出现正面的次数是三次 或四次 其概率 p 故选 C 6 已知函数 f x x3 2f 2 x n f 2 则二项式展开式中常数 项是 A 第 7 项 B 第 8 项 C 第 9 项 D 第 10 项 考点 二项式定理的应用 二项式系数的性质 分析 根据题意 对 f x 求导 有 f x 3x2 2f 2 令 x 2 有 f 2 12 2f 2 解可得 n f 2 12 将 n 12 代入的二项展开 式 则可得满足常数项的 r 的值 进而可得答案 解答 解 根据题意 f x 3x2 2f 2 令 x 2 有 f 2 12 2f 2 进而有 n f 2 12 则的二项展开式为 Tr 1 C12r x 12 r r C12r 2r 令 12 r 0 解可得 r 8 此时为展开式的第 9 项 故选 C 第 9 页 共 26 页 7 双曲线 1 a 0 b 0 的左右焦点分别为 F1 F2渐近线分别为 l1 l2 位于第一象限的点 P 在 l1上 若 l2 PF1 l2 PF2 则双曲线的离心率是 A B C 2D 考点 双曲线的简单性质 分析 由双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 渐近 线分别为 l1 l2 点 P 在第一 象限内且在 l1上 知 F1 c 0 F2 c 0 P x y 由渐近线 l1的直线方程为 y x 渐近线 l2的直线方程为 y x l2 PF2 知 ay bc bx 由 ay bx 知 P 由此能求出离心率 解答 解 双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 渐近线分别为 l1 l2 点 P 在第一 象限内且在 l1上 F1 c 0 F2 c 0 P x y 渐近线 l1的直线方程为 y x 渐近线 l2的直线方程为 y x l2 PF2 即 ay bc bx 点 P 在 l1上即 ay bx bx bc bx 即 x P l2 PF1 即 3a2 b2 a2 b2 c2 第 10 页 共 26 页 4a2 c2 即 c 2a 离心率 e 2 故选 C 8 若向量 满足 2 2 则 在 方向上投影的最大值是 A B C D 考点 平面向量数量积的运算 分析 对条件式子两边平方 用 表示出的夹角 的余弦值 代入投 影公式 利用基本不等式得出投影的最大值 解答 解 2 2 2 2 4 16 4 设的夹角为 则 2 8 cos 12 0 cos 在 方向上投影为 cos 2 cos 故选 B 9 已知 a b 二次三项式 ax2 2x b 0 对于一切实数 x 恒成立 又 x0 R 使 ax02 2x0 b 0 成立 则的最小值为 A 1B C 2D 2 考点 基本不等式 第 11 页 共 26 页 分析 由条件求得 a 1 ab 1 由此把要求的式子化为 化简 为 令 t 2 则 t 2 4 利用基本不等式求得的最小值为 8 可得 的最小值 解答 解 已知 a b 二次三项式 ax2 2x b 0 对于一切实数 x 恒成立 a 0 且 4 4ab 0 ab 1 再由 x0 R 使 2x0 b 0 成立 可得 0 ab 1 a 1 0 令 t 2 则 t 2 4 4 4 8 故的最小值为 8 故的最小值为 2 故选 D 第 12 页 共 26 页 10 已知方程 ln x ax2 0 有 4 个不同的实数根 则实数 a 的取值范围是 A B C D 考点 根的存在性及根的个数判断 分析 根据函数与方程的关系 利用参数分离式进行转化 构造函数 求出 函数的导数 研究函数的单调性和极值 利用数形结合进行求解即可 解答 解 由 ln x ax2 0 得 ax2 ln x x 0 方程等价为 a 设 f x 则函数 f x 是偶函数 当 x 0 时 f x 则 f x 由 f x 0 得 2x 1 lnx 0 得 1 lnx 0 即 lnx 1 得 0 x 此时 函数单调递增 由 f x 0 得 2x 1 lnx 0 得 1 lnx 0 即 lnx 1 得 x 此时函数 单调递减 即当 x 0 时 x 时 函数 f x 取得极大值 f 第 13 页 共 26 页 1 e2 e2 作出函数 f x 的图象如图 要使 a 有 4 个不同的交点 则满足 0 a e2 故选 A 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 11 若 xlog34 1 则 x log43 4x 4 x 考点 对数的运算性质 分析 利用对数与指数的运算性质即可得出 解答 解 xlog34 1 x log43 4x 3 4x 4 x 3 故答案为 log43 第 14 页 共 26 页 12 抛物线 x ay2 a 0 的焦点坐标是 0 双曲线的 顶点到渐近线的距离为 考点 抛物线的简单性质 双曲线的简单性质 分析 利用抛物线的方程求解焦点坐标 双曲线方程求解渐近线方程 然后 求解顶点到渐近线的距离 解答 解 抛物线 x ay2 a 0 即 y2 x 它的焦点坐标是 0 双曲线的一条渐近线方程为 x 3y 0 它的顶点到渐近线的距离为 故答案为 0 13 设离散型随机变量 X 的分布列为 X01234 P0 20 10 10 30 3 若离散型随机变量 Y 满足 Y 2X 1 则 E Y 5 8 D Y 23 2 考点 离散型随机变量的期望与方差 分析 利用数学期望计算公式 方差的性质即可得出 解答 解 E X 0 1 0 1 2 0 1 3 0 3 4 0 3 2 4 E Y 2E X 1 5 8 D Y 22E X 23 2 故答案为 5 8 23 2 14 已知 且 1 若 则 tan 第 15 页 共 26 页 2 tan 的最大值为 考点 三角函数的化简求值 分析 1 将 带入计算即可 2 根据化简可得 tan 看成是圆心为 0 0 半径 r 1 的圆与点 3 0 的斜率问题 可得结论 解答 解 由 化简可得 sin 1 sin2 sin2 cos 则 tan 1 若 则 tan tan 看成是圆心为 0 0 半径 r 1 的 圆与点 3 0 的斜率问题 直线过 3 0 设方程为 y k x 3 d r 1 即 1 解得 k tan 的最大值为 故答案为 15 已知等差数列 an 满足 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 则 S100的值为 考点 数列递推式 第 16 页 共 26 页 分析 利用等差数列的通项公式与 裂项求和 方法即可得出 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d a3 7 a5 a7 26 a1 2d 7 2a1 10d 26 解得 a1 3 d 2 an 3 2 n 1 2n 1 bn S100 故答案为 16 已知平面区域 夹在两条斜率为 的平行直线之间 且这 两条平行直线间的最短距离为 m 若点 P x y 且 mx y 的最小值为 p 的最大值为 q 则 pq 等于 考点 简单线性规划 分析 由约束条件作出可行域 结合题意求出 m 利用线性规划知识求得 p 再由两点求斜率求出 q 则答案可求 解答 解 由约束条件作出可行域如图 平面区域 夹在两条斜率为 的平行直线之间 且两条平行直线间的最短距 离为 m 则 m 令 z mx y x y 则 y x z 第 17 页 共 26 页 由图可知 当直线 y x z 过 B 2 3 时 直线在 y 轴上的截距最大 z 有最 小值为 p 的几何意义为可行域内的动点与定点 D 0 连线的斜率 其最大值 q pq 故答案为 17 设 a 0 3x2 a 2x b 0 在 a b 上恒成立 则 b a 的最大值为 考点 函数恒成立问题 分析 若 3x2 a 2x b 0 在 a b 上恒成立 则 3x2 a 0 2x b 0 或 3x2 a 0 2x b 0 结合一次函数和二次函数的图象和性质 可得 a b 的 范围 进而得到答案 解答 解 3x2 a 2x b 0 在 a b 上恒成立 3x2 a 0 2x b 0 或 3x2 a 0 2x b 0 若 2x b 0 在 a b 上恒成立 则 2a b 0 即 b 2a 0 此时当 x 0 时 3x2 a a 0 不成立 若 2x b 0 在 a b 上恒成立 则 2b b 0 即 b 0 第 18 页 共 26 页 若 3x2 a 0 在 a b 上恒成立 则 3a2 a 0 即 a 0 故 b a 的最大值为 故答案为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 分 18 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 2a c cosB bcosC 3 I 求 ABC 的面积 II 若 sinA sinC 3 2 求 AC 边上的中线 BD 的长 考点 余弦定理 正弦定理 分析 I 已知等式利用正弦定理化简 整理后利用两角和与差的正弦函数 公式及诱导公式变形 根据 sinA 不为 0 求出 cosB 的值 即可确定出 B 的度数 利用平面向量数量积的运算可求 ac 的值 进而利用三角形面积公式即可计算得 解 II 由正弦定理化简可得 a 结合 ac 6 可求 a c 的值 由于 平方后利用平面向量的运算即可解得 AC 边上的中线 BD 的长 解答 本题满分为 12 分 解 I 已知等式 2a c cosB bcosC 利用正弦定理化简得 2sinA sinC cosB sinBcosC 整理得 2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C sinA sinA 0 cosB 则 B 60 又 3 第 19 页 共 26 页 accos B 3 解得 ac 6 S ABC acsinB 6 分 II 由 sinA sinC 3 2 可得 a c 3 2 解得 a 又 由 I 可得 ac 6 解得 a 3 c 2 又 4 2 2 2 2 c2 a2 2 22 32 2 3 19 即 AC 边上的中线 BD 的长为 12 分 19 在平面直角坐标系 xoy 中 已知点 F 0 1 直线 l y 1 P 为平面上的 动点 且过点 P 作直线 l 的垂线 垂足为 Q 满足 求动点 P 的轨迹 C 的方程 在轨迹 C 上求一点 M 使得 M 到直线 y x 3 的距离最短 并求出最短距 离 考点 抛物线的简单性质 分析 设 P x y 则 Q x 1 F 0 1 由 根据 向量数量积的坐标运算 即可求得动点 P 的轨迹 C 的方程 法一 设 利用点到直线的距离公式 由二次函数的性质可知 第 20 页 共 26 页 求得 M 2 1 法二 当与直线 y x 3 平行 且与曲线相切时的切点与与直线 y x 3 的距离最短 将直线方程代入抛物线方程 则 0 即可求得 m 和 x 值 即可取得 M 到直线 y x 3 的距离最短 当与直线 y x 3 平行 且与曲线相切时的切点与与直线 y x 3 的距离最短 设切 点为 求导 求得切线斜率为 即可求得 M 点坐标 根据 点到直线的距离公式即可求得 M 到直线 y x 3 的距离最短 解答 解 设 P x y 则 Q x 1 F 0 1 2 y 1 x2 2 y 1 化简得 x2 4y 所求轨迹为 x2 4y 法一 设 则 M 到直线 y x 3 的距离为 此时 M 2 1 为所求 法二 当与直线 y x 3 平行 且与曲线相切时的切点与与直线 y x 3 的距离最 短 设该直线方程为 y x m 解得 m 1 x 2 第 21 页 共 26 页 M 2 1 到直线 y x 3 的距离最短 最短距离为 法三 当与直线 y x 3 平行 且与曲线相切时的切点与与直线 y x 3 的距离最 短 设切点为 轨迹方程可化为 切线斜率为 x0 2 则 M 到直线 y x 3 的距离为 则 M 到直线 y x 3 的距离的最小值为 此时 M 2 1 20 已知函数 f x t 1 lnx tx2 3t t R 1 若 t 0 求证 当 x 0 时 f x 1 x x2 2 若 f x 4x 对任意 x 1 恒成立 求 t 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 分析 1 求出函数 f x 的解析式 问题转化为证明 ln x 1 x x2 令 g x ln x 1 x x2 x 0 根据函数的单调性证明即可 2 问题转化为 t 1 lnx tx2 3t 4x 0 令 x t 1 lnx tx2 3t 4x 根 据函数的单调性求出 t 的范围即可 解答 解 1 证明 t 0 时 f x lnx f x 1 ln x 1 即证 ln x 1 x x2 第 22 页 共 26 页 令 g x ln x 1 x x2 x 0 则 g x 0 g x 在 0 递增 g x g 0 0 即 l x 1 x x2 2 由 f x 4x t 1 lnx tx2 3t 4x 0 令 x t 1 lnx tx2 3t 4x 首先由 1 0 t 1 此时 x 令 h x 2tx2 4x t 1 t 1 16 8t t 1 0 h x 0 恒成立 即 x 0 x 在 1 递增 故 x 1 4t 4 0 综上 t 1 21 设椭圆 C1 的左 右焦点分别是 F1 F2 下顶点为 A 线段 OA 的中点为 B O 为坐标原点 如图 若抛物线 C2 y x2 1 与 y 轴的 交点为 B 且经过 F1 F2点 求椭圆 C1的方程 设 M 0 N 为抛物线 C2上的一动点 过点 N 作抛物线 C2的切线 第 23 页 共 26 页 交椭圆 C1于 P Q 两点 求 MPQ 面积的最大值 考点 圆锥曲线的综合 椭圆的标准方程 分析 抛物线 C2 y x2 1 与 y 轴的交点为 B 且经过 F1 F2点 求出 B F1 F2点的坐标 即可求出椭圆的半长轴与半焦距 再求出 a 写出椭圆方 程 设 N t t2 1 表示出过点 N 的抛物线的切线方程 与椭圆的方程联立 利用弦长公式表示出线段 PQ 的长度 再求出点 M 到