2011高考数学总复习 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系夯实基础 大纲人教版

1 8 48 4 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 已知直线 l Ax By C 0 与圆锥曲线 C f x y 0 1 方程组 0 0 yxf CByAx 解的组数即为 l 与 C 的交点的个数 方程组的解就是 l 与 C 的交点的坐标 2 若 l 与 C 有两个交点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则线段 P1P2为直线被圆锥曲线截得的弦 其弦长 P1P2 2 21 2 21 yyxx 2 1k x1 x2 其中 k 为直线 l 的斜率 3 中点坐标公式 设 A x1 y1 B x2 y2 则线段 AB 的中点 M x0 y0 的坐标满足 2 2 21 0 21 0 yy y xx x 4 弦差法求直线的斜率 若曲线为 mx2 ny2 1 m 0 n 0 则由 1 2 2 2 2 2 1 2 1 nymx nymx m x12 x22 n y12 y22 0 k 21 21 xx yy 0 0 ny mx 二 点击双基二 点击双基 1 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 作一条直线 l 交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则 21 21 xx yy 等于 A 4 B 4 C p2 D p2 解析 特殊值法 设 l 的方程为 x 2 p 则 x1 x2 2 p y1 y2 p 21 21 xx yy 4 2 2 p p 4 答案 A 2 已知双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 与直线 y 2x 有交点 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 5 B 1 5 5 C 5 D 5 2 解析 双曲线的渐近线的斜率 k a b 要使双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 和直线 y 2x 有交点 只要满 足 a b 2 即可 a ac 22 2 1 2 e 2 e 5 答案 C 3 已知椭圆 x2 2y2 4 则以 1 1 为中点的弦的长度为 A 32 B 23 C 3 30 D 2 3 6 解析 依题设弦端点 A x1 y1 B x2 y2 则 x12 2y12 4 x22 2y22 4 x12 x22 2 y12 y22 此弦斜率 k 21 21 xx yy 2 21 21 yy xx 2 1 此弦直线方程为 y 1 2 1 x 1 即 y 2 1 x 2 3 代入 x2 2y2 4 整理得 3x2 6x 1 0 x1 x2 3 1 x1 x2 2 AB 2 2 1 1 21 2 21 4 xxxx 2 5 3 4 4 3 30 答案 C 4 已知 4 2 是直线 l 被椭圆 36 2 x 9 2 y 1 所截得的线段的中点 则 l 的方程是 解析 设直线 l 与椭圆交于 P1 x1 y1 P2 x2 y2 将 P1 P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率 k 21 21 xx yy 4 21 21 yy xx 2 4 2 21 21 yy xx 24 4 2 1 由点斜式可得 l 的方程为 x 2y 8 0 答案 x 2y 8 0 5 过抛物线 y2 4x 焦点的直线交抛物线于 A B 两点 已知 AB 8 O 为坐标原点 则 OAB 3 的重心的横坐标为 解析 由题意知抛物线焦点 F 1 0 设过焦点 F 1 0 的直线为 y k x 1 k 0 A x1 y1 B x2 y2 代入抛物线方程消去 y 得 k2x2 2 k2 2 x k2 0 k2 0 x1 x2 2 2 2 2 k k x1x2 1 AB 2 21 2 1 xxk 4 1 21 2 21 2 xxxxk 4 2 4 1 4 22 2 k k k 8 k2 1 OAB 的重心的横坐标为 x 3 0 21 xx 2 答案 2 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 已知直线 l y tan x 22 交椭圆 x2 9y2 9 于 A B 两点 若 为 l 的倾斜角 且 AB 的长不小于短轴的长 求 的取值范围 剖析 确定某一变量的取值范围 应设法建立关于这一变量的不等式 题设中已经明确给 定弦长 2b 最后可归结为计算弦长求解不等式的问题 解 将 l 方程与椭圆方程联立 消去 y 得 1 9tan2 x2 362tan2 x 72tan2 9 0 AB 2 tan1 x2 x1 2 tan1 tan91 2 2 2 tan91 6tan6 由 AB 2 得 tan2 3 1 3 3 tan 3 3 的取值范围是 0 6 6 5 讲评 考查直线与椭圆相交所得弦长的范围 对于弦长公式一定要能熟练掌握 灵活运用 4 本题由于 l 的方程由 tan 给出 所以可以认定 2 否则涉及弦长计算时 还应讨论 2 时的情况 例 2 讨论直线 l y kx 1 与双曲线 C x2 y2 1 的公共点的个数 剖析 直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题 解 联立直线和双曲线方程 1 1 22 yx kxy 消去 y 得 1 k2 x2 2kx 2 0 当 1 k2 0 即 k 1 时 x 1 当 1 k2 0 即 k 1 时 4k2 8 1 k2 8 4k2 由 0 得 2 k 2 由 0 得 k 2 由 0 得 k2 所以当 k 2 1 1 1 1 2 时 直线 l 与双曲线 C 相交于两点 当 k 2时 直线 l 与双曲线 C 相切于一点 当 k 1 时 直线 l 与双曲线 C 相交于一点 当 k 2 2 时 直线 l 与双曲线 C 没有公共点 直线 l 与双曲线 C 相离 讲评 该题讨论了过定点 0 1 的直线系与等轴双曲线的位置关系 按 1 k2是否等于 0 来分 类讨论 容易犯的两个错误 一是不讨论二次项系数为零的情况 二是讨论判别式时 丢掉 前提条件二次项系数不为零 例 3 上海高考 理 如图 点 A B 分别是椭圆 36 2 x 20 2 y 1 长轴的左 右端点 点 F 是椭圆的右焦点 点 P 在椭圆上 且位于 x 轴上方 PA PF 1 求点 P 的坐标 2 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点 M 到直线 AP 的距离等于 MB 求椭圆上的点到点 M 的距 离 d 的最小值 剖析 1 由PA PF 得PA PF 0 和椭圆方程联立出方程组求出点 P 的坐标 5 2 利用函数思想方法 求出 d2的最小值 解 1 由已知可得点 A 6 0 F 4 0 设点 P 的坐标是 x y 则AP x 6 y FP x 4 y 由已知得 0 4 6 1 2036 2 22 yxx yx 则 2x2 9x 18 0 x 2 3 或 x 6 由于 y 0 只能 x 2 3 于是 y 2 5 3 所以点 P 的坐标是 2 3 2 5 3 2 直线 AP 的方程是 x 3y 6 0 设点 M 的坐标是 m 0 则 M 到直线 AP 的距离是 2 6 m 于是 2 6