2011高考数学一轮复习质量检测 数列的综合应用

用心 爱心 专心 第五章第五章 第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 题号题号 中等题中等题 题号题号 稍难题稍难题 题号题号 等差 等比数等差 等比数 列的综合问题列的综合问题 1 1 2 26 6 8 8 1111 数列在实际问数列在实际问 题中的应用题中的应用 4 4 5 5 9 9 1010 1212 数列与解析几何 数列与解析几何 不等式的综合应用不等式的综合应用 3 37 7 一 选择题一 选择题 1 1 已知已知a a b b R R A A为为a a b b的等差中项 正数的等差中项 正数G G为为a a b b的等比中项 则的等比中项 则abab与与AGAG的大小的大小 关系是关系是 A A abab AGAG B B abab AGAG C C abab AGAG D D 不能确定不能确定 解析 依题意解析 依题意A A G G a a b b 2 2a ab b AGAG abab abab a a b b 2 2a ab b a ab b a a b b 2 2a ab b 0 0 a ab b r r a a r r b b 2 2 2 2 AGAG abab 答案 答案 C C 2 2 等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n S S9 9 1818 S S13 13 5252 等比数列 等比数列 b bn n 中 中 b b5 5 a a5 5 b b7 7 a a7 7 则 则b b15 15的值为 的值为 A 64A 64 B B 6464 C 128C 128 D D 128128 解析 因为解析 因为S S9 9 a a1 1 a a9 9 9 9a a5 5 1818 S S13 13 a a1 1 a a13 13 1313a a7 7 5252 所以 所以 9 9 2 2 1 13 3 2 2 a a5 5 2 2 a a7 7 4 4 又 又b b5 5 a a5 5 b b7 7 a a7 7 所以 所以q q2 2 2 2 b b15 15 b b7 7 q q8 8 4 164 16 64 64 答案 答案 B B 3 3 在直角坐标系中 在直角坐标系中 O O是坐标原点 是坐标原点 P P1 1 x x1 1 y y1 1 P P2 2 x x2 2 y y2 2 是第一象限的两个点 若是第一象限的两个点 若 用心 爱心 专心 1 1 x x1 1 x x2 2 4 4 依次成等差数列 而 依次成等差数列 而 1 1 y y1 1 y y2 2 8 8 依次成等比数列 则 依次成等比数列 则 OPOP1 1P P2 2的面积是的面积是 A 1A 1 B 2B 2 C 3C 3 D 4D 4 解析 根据等差 等比数列的性质 解析 根据等差 等比数列的性质 可知可知x x1 1 2 2 x x2 2 3 3 y y1 1 2 2 y y2 2 4 4 P P1 1 2 2 2 2 P P2 2 3 4 3 4 S S OPOP1 1P P2 2 1 1 答案 答案 A A 4 2010 4 2010 黄冈模拟黄冈模拟 据科学计算 运载据科学计算 运载 神七神七 的的 长征长征 二号系列火箭在点火后第一秒二号系列火箭在点火后第一秒 钟通过的路程为钟通过的路程为 2 2 kmkm 以后每秒钟通过的路程增加 以后每秒钟通过的路程增加 2 2 kmkm 在到达离地面 在到达离地面 240240 kmkm 的高度的高度 时 火箭与飞船分离 则这一过程需要的时间是时 火箭与飞船分离 则这一过程需要的时间是 A 10A 10 秒钟秒钟 B 13B 13 秒钟秒钟 C 15C 15 秒钟秒钟 D 20D 20 秒钟秒钟 解析 设每一秒钟通过的路程依次为解析 设每一秒钟通过的路程依次为a a1 1 a a2 2 a a3 3 a an n 则数列 则数列 a an n 是首项是首项a a1 1 2 2 公差 公差 d d 2 2 的等差数列 由求和公式有的等差数列 由求和公式有nana1 1 240240 即 即 2 2n n n n n n 1 1 240240 解得 解得 n n n n 1 1 d d 2 2 n n 15 15 答案 答案 C C 5 5 某人为了观看某人为了观看 20102010 年南非足球世界杯 从年南非足球世界杯 从 20062006 年起 每年的年起 每年的 5 5 月月 1 1 日到银行存入日到银行存入a a元元 的定期储蓄 若年利率为的定期储蓄 若年利率为p p且保持不变 并约定每年到期 存款的本息均自动转为新的且保持不变 并约定每年到期 存款的本息均自动转为新的 一年的定期 到一年的定期 到 20102010 年的年的 5 5 月月 1 1 日将所有存款及利息全部取出 则可取出钱日将所有存款及利息全部取出 则可取出钱 元元 的总数的总数 为为 A A a a 1 1 p p 4 4 B B a a 1 1 p p 5 5 C C 1 1 p p 4 4 1 1 p p D D 1 1 p p 5 5 1 1 p p a a p p a a p p 解析 依题意 可取出钱的总数为解析 依题意 可取出钱的总数为 a a 1 1 p p 4 4 a a 1 1 p p 3 3 a a 1 1 p p 2 2 a a 1 1 p p a a 1 1 p p 5 5 1 1 p p 1 1 p p 1 1 1 1 p p 4 4 1 1 1 1 p p a a p p 答案 答案 D D 6 2009 6 2009 湖北高考湖北高考 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 比如 他们研究过图他们研究过图 1 1 中的中的 1 3 6 101 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形 用心 爱心 专心 数 类似地 称图数 类似地 称图 2 2 中的中的 1 4 9 161 4 9 16 这样的数为正方形数这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又下列数中既是三角形数又 是正方形数的是是正方形数的是 A 289A 289 B 1024B 1024 C 1225C 1225 D 1378D 1378 解析 根据图形的规律可知第解析 根据图形的规律可知第n n个三角形数为个三角形数为a an n 第 第n n个正方形数为个正方形数为b bn n n n2 2 n n n n 1 1 2 2 由此可排除由此可排除 D 1D 1 378378 不是平方数不是平方数 将将 A A B B C C 选项代入到三角形数表达式中检验可知 选项代入到三角形数表达式中检验可知 符合题意的是符合题意的是 C C 选项选项 答案 答案 C C 二 填空题二 填空题 7 7 已知函数已知函数f f x x a a b bx x的图象过点的图象过点A A 2 2 B B 3 1 3 1 若记 若记a an n loglog2 2f f n n n n N N S Sn n是是 1 1 2 2 数列数列 a an n 的前的前n n项和 则项和 则S Sn n的最小值是的最小值是 解析 将解析 将A A B B两点坐标代入两点坐标代入f f x x 得得 2 1 1 8 2 12 a ab abb 又 又又 又 f f x x 2 2x x 1 1 8 8 f f n n 2 2n n 2 2n n 3 3 1 1 8 8 a an n loglog2 2f f n n n n 3 3 令令a an n 0 0 即 即n n 3 03 0 n n 3 3 数列前数列前 3 3 项小于或等于零 故项小于或等于零 故S S3 3或或S S2 2最小最小 S S3 3 a a1 1 a a2 2 a a3 3 2 2 1 1 0 0 3 3 答案 答案 3 3 8 8 如图 它满足 如图 它满足 1 1 第第n n行首尾两数均为行首尾两数均为n n 2 2 图中的递推关系类似杨辉三图中的递推关系类似杨辉三 角 则第角 则第n n n n 2 2 行的第行的第 2 2 个数是个数是 解析 设第解析 设第n n n n 2 2 行的第行的第 2 2 个数构成数列个数构成数列 a an n 则有 则有 a a3 3 a a2 2 2 2 a a4 4 a a3 3 3 3 a a5 5 a a4 4 4 4 a an n a an n 1 1 n n 1 1 相加得相加得a an n a a2 2 2 2 3 3 n n 1 1 n n 2 2 2 2 n n 1 1 2 2 n n 1 1 n n 2 2 2 2 a an n 2 2 n n 1 1 n n 2 2 2 2 n n2 2 n n 2 2 2 2 用心 爱心 专心 答案 答案 n n2 2 n n 2 2 2 2 9 9 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员 第某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员 第 1 1 名得全部资金的一半多一万元 第二名得全部资金的一半多一万元 第二 名得剩下的一半多一万元 以名次类推都得到剩下的一半多一万元 到第名得剩下的一半多一万元 以名次类推都得到剩下的一半多一万元 到第 1010 名恰好资金名恰好资金 分完 则此科研单位共拿出分完 则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励万元资金进行奖励 解析 设第解析 设第 1010 名到第名到第 1 1 名得的奖金数分别是名得的奖金数分别是a a1 1 a a2 2 a a10 10 则 则a an n S Sn n 1 1 则 则 1 1 2 2 a a1 1 2 2 a an n a an n 1 1 a an n 即 即a an n 2 2a an n 1 1 因此每人得的奖金额组成以 因此每人得的奖金额组成以 2 2 为首项 以为首项 以 2 2 为公为公 1 1 2 2 比的等比数列 所以比的等比数列 所以S S10 10 2046 2046 2 2 1 1 2 21 10 0 1 1 2 2 答案 答案 20462046 三 解答题三 解答题 10 10 某公司按现有能力 每月收入为某公司按现有能力 每月收入为 7070 万元 公司分析部门测算 若不进行改革 经济危万元 公司分析部门测算 若不进行改革 经济危 机后因竞争加剧收入将逐月减少机后因竞争加剧收入将逐月减少 分析测算得经济危机第一个月收入将减少分析测算得经济危机第一个月收入将减少 3 3 万元 以后万元 以后 逐月多减少逐月多减少 2 2 万元 如果进行改革 即投入技术改造万元 如果进行改革 即投入技术改造 300300 万元 且经济危机后每月再投万元 且经济危机后每月再投 入入 1 1 万元进行员工培训 则测算得自经济危机后第一个月起累计收入万元进行员工培训 则测算得自经济危机后第一个月起累计收入T Tn n与时间与时间n n 以月为以月为 单位单位 的关系为的关系为T Tn n anan b b 且经济危机第一个月时收入为 且经济危机第一个月时收入为 9090 万元 第二个月时累计收万元 第二个月时累计收 入为入为 170170 万元 问经济危机后经过几个月 该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的万元 问经济危机后经过几个月 该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的 累计纯收入累计纯收入 解 则该公司经济危机后经过解 则该公司经济危机后经过n n个月 改革后的累计纯收入为个月 改革后的累计纯收入为T Tn n 300300 n n 不改革时 不改革时 的累计纯收入为的累计纯收入为 7070n n 3 3n n 2 2 n n n n 1 1 2 2 9080 170210 aba abb 又 又 由题意建立不等式由题意建立不等式 8080n n 1010 300300 n n 7070n n 3 3n n n n n n 1 1 即即n n2 2 1111n n 290290 0 0 得 得n n 12 4 12 4 n n N N 取取n n 13 13 则经济危机后经过则经济危机后经过 1313 个月 该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入个月 该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 11 11 已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n 公差 公差d d 0 0 a a1 1 1 1 且 且a a1 1 a a2 2 a a7 7成等比数列成等比数列 1 1 求数列求数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n 2 2 设设b bn n 数列 数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n 求证 求证 2 2S Sn n 2 2n n 1 1 2 2T Tn n 9 9b bn n 1 1 1818 n n 1 1 6 64 4b bn n n n 9 9 b bn n 1 1 用心 爱心 专心 解 解 1 1 a a1 1 a a2 2 a a7 7成等比数列 成等比数列 a a a a1 1 a a7 7 即 即 a a1 1 d d 2 2 a a1 1 a a1 1 6 6d d 2 2 2 2 又又a a1 1 1 1 d d 0 0 d d 4 4 S Sn n nana1 1 d d n n 2 2n n n n 1 1 2 2n n2 2 n n n n n n 1 1 2 2 2 2 证明 由证明 由 1 1 知知b bn n 2 2n n 2 2S Sn n 2 2n n 1 1 2 2n n 2 2n n 1 1 2 2n n 1 1 b bn n 是首项为是首项为 2 2 公差为 公差为 2 2 的等差数列 的等差数列 T Tn n n n2 2 n n n n 2 2 2 2n n 2 2 2 2T Tn n 9 9b bn n 1 1 1818 2 2n n2 2 2 2n n 18 18 n n 1 1 1818 2 2n n2 2 1616n n 3636 2 2 n n2 2 8 8n n 16 16 4 4 2 2 n n 4 4 2 2 4 44 4 当且仅当 当且仅当n n 4 4 时取等号时取等号 4 4 6 64 4b bn n n n 9 9 b bn n 1 1 6 64 4 2 2n n n n 9 9 2 2 n n 1 1 6 64 4n n n n2 2 1 10 0n n 9 9 6 64 4 n n 9 9 n n 1 10 0 6 64 4 6 6 1 10 0 当且仅当当且仅当n n 即 即n n 3 3 时取等号时取等号 9 9 n n 又又 中等号不能同时取到 中等号不能同时取到 2 2T Tn n 9 9b bn n 1 1 1818 n n 1 1 6 64 4b bn n n n 9 9 b bn n 1 1 12 12 某一电视频道在一天内有某一电视频道在一天内有x x次插播广告的时段 一共播放了次插播广告的时段 一共播放了y y条广告 第条广告 第 1 1 次播放了次播放了 1 1 条和余下的条和余下的y y 1 1 条的条的 第 第 2 2 次播放了次播放了 2 2 条以及余下的条以及余下的 第 第 3 3 次播放了次播放了 3 3 条以及余下的条以及余下的 1 1 8 8 1 1 8 8 以后每次按此规律插播广告 在第 以后每次按此规律插播广告 在第x x次播放了余下的次播放了余下的x x条条 x x 1 1 1 1 8 8 1 1 设第设第k k次播放后余下次播放后余下a ak k条 这里条 这里a a0 0 y