2011高三数学一轮热身AB组 2.3《函数的性质》

用心 爱心 专心 1 第三节第三节 函数的性质函数的性质 A A 组组 1 设偶函数 f x loga x b 在 0 上单调递增 则 f a 1 与 f b 2 的大小关系为 解析 由 f x 为偶函数 知 b 0 f x loga x 又 f x 在 0 上单调递增 所以 0 a 1 1 a 1f b 2 答案 f a 1 f b 2 2 2010 年广东三校模拟 定义在 R 上的函数 f x 既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数 则 f 1 f 4 f 7 等于 解析 f x 为奇函数 且 x R 所以 f 0 0 由周期为 2 可知 f 4 0 f 7 f 1 又 由 f x 2 f x 令 x 1 得 f 1 f 1 f 1 f 1 0 所以 f 1 f 4 f 7 0 答案 0 3 2009 年高考山东卷改编 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 4 f x 且在区间 0 2 上 是增函数 则 f 25 f 11 f 80 的大小关系为 解析 因为 f x 满足 f x 4 f x 所以 f x 8 f x 所以函数是以 8 为周期的周期 函数 则 f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 又因为 f x 在 R 上是奇函数 f 0 0 得 f 80 f 0 0 f 25 f 1 f 1 而由 f x 4 f x 得 f 11 f 3 f 3 f 1 4 f 1 又因为 f x 在区间 0 2 上是增函数 所以 f 1 f 0 0 所以 f 1 0 即 f 25 f 80 f 11 答案 f 25 f 80 f 11 4 2009 年高考辽宁卷改编 已知偶函数 f x 在区间 0 上单调增加 则满足 f 2x 1 f 的 x 取值范围是 1 3 解析 由于 f x 是偶函数 故 f x f x 由 f 2x 1 f 再根据 f x 的单调性得 1 3 2x 1 解得 x0 由 f 1 f 4 0 得 a 1 2 2 5 a 4 2 2 5 0 a 2 f x 2 x 2 2 5 1 x 4 3 y f x 1 x 1 是奇函数 f 0 0 又知 y f x 在 0 1 上是一次函数 可设 f x kx 0 x 1 而 f 1 2 1 2 2 5 3 k 3 当 0 x 1 时 f x 3x 从 而当 1 x 0 时 f x f x 3x 故 1 x 1 时 f x 3x 当 4 x 6 时 有 1 x 5 1 f x f x 5 3 x 5 3x 15 当 6 x 9 时 10 若 f 1 0 那么关于 x 的不等式 xf x 0 则在 0 上 f x 是增函数 在 0 上是减函 数 又 f x 在 R 上是偶函数 且 f 1 0 f 1 0 从而可知 x 1 时 f x 0 x 1 0 时 f x 0 x 0 1 时 f x 0 不等式的解集为 1 0 1 答案 1 0 1 用心 爱心 专心 3 5 2009 年高考江西卷改编 已知函数 f x 是 上的偶函数 若对于 x 0 都有 f x 2 f x 且当 x 0 2 时 f x log2 x 1 则 f 2009 f 2010 的值为 解析 f x 是偶函数 f 2009 f 2009 f x 在 x 0 时 f x 2 f x f x 周期 为 2 f 2009 f 2010 f 2009 f 2010 f 1 f 0 log22 log21 0 1 1 答案 1 6 2010 年江苏苏州模拟 已知函数 f x 是偶函数 并且对于定义域内任意的 x 满足 f x 2 若当 2 x 3 时 f x x 则 f 2009 5 1 f x 解析 由 f x 2 可得 f x 4 f x f 2009 5 f 502 4 1 5 f 1 5 f 2 5 1 f x f x 是偶函数 f 2009 5 f 2 5 答案 5 2 5 2 7 2010 年安徽黄山质检 定义在 R 上的函数 f x 在 a 上是增函数 函数 y f x a 是 偶函数 当 x1a 且 x1 a x2 a 时 则 f 2a x1 与 f x2 的大小关系为 解析 y f x a 为偶函数 y f x a 的图象关于 y 轴对称 y f x 的图象关于 x a 对称 又 f x 在 a 上是增函数 f x 在 a 上是减函数 当 x1a 且 x1 a x2 a 时 有 a x1 x2 a 即 a 2a x1f x2 答案 f 2a x1 f x2 8 已知函数 f x 为 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x x 1 若 f a 2 则实数 a 解析 当 x 0 时 f x x x 1 0 由 f x 为奇函数知 x 0 时 f x 0 a0 时 x0 用心 爱心 专心 4 f x Error 即 f x xlg 2 x x R 11 已知函数 f x 当 x y R 时 恒有 f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 如果 x R f x 0 并且 f 1 试求 f x 在区间 2 6 上的最值 1 2 解 1 证明 函数定义域为 R 其定义域关于原点对称 f x y f x f y 令 y x f 0 f x f x 令 x y 0 f 0 f 0 f 0 得 f 0 0 f x f x 0 得 f x f x f x 为奇函数 2 法一 设 x y R f x y f x f y f x y f x f y x R f x 0 f x y f x 0 f x y x f x 在 0 上是 减函数 又 f x 为奇函数 f 0 0 f x 在 上是减函数 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 1 2 所求 f x 在区间 2 6 上的最大值为 1 最小值为 3 法二 设 x10 f x2 x1 0 f x2 f x1 0 即 f x 在 R 上单调递减 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 1 2 所求 f x 在区间 2 6 上的最大值为 1 最小值为 3 12 已知函数 f x 的定义域为 R 且满足 f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若 f x 为奇函数 且当 0 x 1 时 f x x 求使 f x 在 0 2010 上的所有 x 的 1 2 1 2 个数 解 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x f x 是以 4 为周期的周期函数 2 当 0 x 1 时 f x x 1 2 设 1 x 0 则 0 x 1 f x x x f x 是奇函数 f x f x 1 2 1 2 f x x 即 f x x 故 f x x 1 x 1 1 2 1 2 1 2 又设 1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 1 2 又 f x 2 f 2 x f x 2 f x f x f x x 2 f x 1 2 x 2 1 x 3 f x Err