相量法(板书)4

9 6 正弦电流电路的串联谐振正弦电流电路的串联谐振 一 一 定义定义 R L C 串联 阻抗 jXRjZ CL XXjR C LjR 1 当时 X 0 CL XX Z R 为纯电阻性 同相 称该电路发生了串联谐振串联谐振 这时的电路就U I 叫做串联谐振电路串联谐振电路 二 谐振条件二 谐振条件 jXRXXjRjZ CL 发生串联谐振时 X 0 电路呈电阻性 其条件 0Im jZ 对以上电路 亦即 C L 1 要达到串联谐振 有两种办法 的值改变 改变 CL 三 谐振频率三 谐振频率 假设电路的 R L C 为定值 电源角频率 可变 则 使电路发生串联谐振的频率 称为谐振频率谐振频率 用表示 0 由谐振条件得 C L 1 SU RU LU CU RL C I LC 1 0 表明 仅由电路参数 L C 确定 因此 也称作电路 0 0 的固有频率固有频率 上式还表明 当电源频率等于电路固有频率时 电路发 0 生串联谐振 思考思考 RLC 串联电路并未与电源相接 该电路是否存在 谐振频率 四 谐振时电路的特性四 谐振时电路的特性 1 输入阻抗 电流与电压输入阻抗 电流与电压 输入阻抗 RjZ 达最小值达最小值 Z 电流 设端电压 tUU S0 sin2 0 UUS 则 0 0 R U R U Z U I S 与与同相 同相 I 达最大值达最大值 I S U 电压 ILjU L 0 I C jUC 0 1 谐振时 及 C L 0 0 1 CL UU CL UU L 与与 C 上电压大小相等 相位相反 上电压大小相等 相位相反 L C 之间的端电之间的端电 压为零 电感电压与电容电压相互抵消 压为零 电感电压与电容电压相互抵消 0 CLX UUU 对电路其余部分来说 L C 串联部分相当于短路 于是 串联谐振也叫电压谐振电压谐振 电路端电压 电源电压 等于电阻上的电压 RXRS UUUU 电流 电压相量图 2 L 与与 C 中的能量中的能量 设 tIi 0 sin2 在时刻 t L 中的储能为 tLItILtLit L0 22 2 0 2 sinsin2 2 1 2 1 磁场能量最大值为 2 LIWLm 90sin 1 2 0 0 tI C tuc tLItcut CC0 222 cos 2 1 电场能量最大值为 2 LIWcm 表明表明 谐振时 磁场能量最大值等于电场能量 cmLm WW 最大值 o IRUU RS LU CU I 常数 cmLmCL WWLItLItLItt 22 0 2 0 22 cossin 即 在稳定的谐振状态 在任一时刻在稳定的谐振状态 在任一时刻 t L 与与 C 中储能之和中储能之和 为恒定值 且等于为恒定值 且等于 L 或或 C 中的储能最大值 中的储能最大值 R L C 电路与电源之间没有能量交换 Q 0 只单纯从 电源吸收有功功率 但 R L C 电路内部 L C1cos 之间有能量互换 这个现象称为电磁振荡电磁振荡 五 串联谐振电路的两个特征参数五 串联谐振电路的两个特征参数 串联谐振电路的性状 用两个特征参数可以表征 1 特征阻抗特征阻抗 串联谐振时的感抗 或容抗 C L 0 0 1 将代入上式 并化简 LC 1 0 C L 表明 特征阻抗特征阻抗 仅由电路参数仅由电路参数 L 与与 C 确定 而与电路确定 而与电路 的工作频率的工作频率 无关无关 的单位 欧姆 2 品质因素品质因素 多种定义 但结果是相同的 用电压定义 在谐振时 电感 电容 电压是 S C S L U U U U Q 电路端电压的 Q 倍 通常 Q 1 在高频电路中 Q 可以高达几百 串联谐振电路能放大电压 收音机 但 如果在 Q 1 的电力系统中发生串联谐振 将在电 感器与电容器上出现危险的过电压 在严重的情况下 令 导致电气设备的损坏 这一现象必须避免 用阻抗定义 Q 由电路的等值参考 C L RRR L Q 1 0 R L C 确定 Q 无量纲 思考 RLC 电路工作在非谐振状态 该电路有无 与 Q 用功率与能量定义 PWRILIQ Lm 0 22 0 用能量定义 00 0 2 2 TP W P Wf Q LmLm 能量一段电路电阻上消耗的内在一个周期谐振时 中的最大储能或谐振时 2 0 T CL 例 1 R L C 串联电路 100LpFC100 10R 1 S U 求 Q 及 0 0 I L U0 C U0 解 rad s 7 126 0 10 1010010100 11 LC 100 10 1010100 76 0 R L Q 3 12 6 10 10100 10100 C L A R U I S 1 0 10 1 0 VQUUU SoCoL 100 VI1001 0103 0 六 频率响应六 频率响应 特性与谐振曲线特性与谐振曲线 频率响应频率响应 电路的复阻抗 复导纳 电流相量 电压相量的模 及辐角随电源角频率 的变化特性 其中 幅频响应幅频响应 模随 的变化特性 相频响应相频响应 辐角随 的变化特性 谐振曲线谐振曲线 表明电流 电压与频率的关系的曲线 1 阻抗频率特性阻抗频率特性 1 Z C LjRjXRZ 2 2 1 C LRZ R C L tg R X tg 1 11 o R XL XC Z X 0 o 2 2 0 Z 曲线 幅频响应 曲线 相频响应 0 Z R最小 0 0 1 0 0 C LX 趋于感性 0 0 CL XX ZX 趋于容性 0 0 CL XX 0ZX 2 电流的频率响应电流的频率响应 设电源电压 US不变 0 SS UU 频率响应与 Z 相反 Z U Z U I SS 其中 1 2 2 YU C LR U Z U I S SS 当 直流 C 开路 I 0 0 0 0I I Y L 0 I I 0 0 最大 0 0 II I 可见 附近 电流 I 最大 较远离 则 I 很小 0 0 电路对电流的抑制作用较强 这种性质称为谐振电路的选选 频特性频特性 选择性 选择性 对于不同的电路 为了便于比较 取 I I0 相对电流 以相对电流为纵坐标 22 2 2 2 0 1 1 1 11 1 1 1 CRR L C L R R U C LR U I I S S 2 0 0 1 1 QQ 其中相对频率 2 2 1 1 1 Q 0 可见 相对电流是相对频率的函数 以 I I0为纵坐标 以 为横坐标作出频率响应 特性曲线 1 o 1 0 707 0 I I Q1 Q2 Q3 123 QQQ Q 值越大 频率响应曲线越尖 选择性越好 Q 值越小 曲线越平滑 选择性差 通频带通频带 当谐振电流曲线 I I0由 1 下降到 0 707 处对应两频 率点之间的频率范围 2 1 1 1 1 1 2 1 707 0 2 2 2 2 Q Q 2 2 11 Q 解得 2 1 4 1 1 2 1 QQ 2 2 4 1 1 2 1 QQ Q 1 12 通频带 宽 bandwidth Q BW 0 12012 可见 Q 越大 BW 窄 选择性好 Q 越小 BW 宽 选择性差 在实际应用中 Q 值主要取决于电感线圈 实际电感线圈有电感和电阻 L R 不可分离 线圈的品质因素 线圈品质因素 R L QL 3 UL UC的频率特性的频率特性 同理可得其频率特性如图 9 20 所示 p215 2 2 2 2 2 21 1 11 Q QU C LR LU UL 2 222 2 2 2 2 111 1 Q QU C LRC U C LR U C UC UCmax ULmax分别出现在的左 右 0 且 SLC QUUUU maxmaxmax 但 Q 很大时 SLC QUUU maxmax 当时 707 0 2 1 Q 对 UC 1 2 1 1 2 1 Q 0 2 01 2 1 1 Q QU Q QU UU CC 2 1max 4 1 1 1o U S U 0 1 2 1 2 C U L U 对 UL Q 越大 1 12 2 2 2 2 Q Q 21 1 0 2 2 02 12 2 Q Q QU Q QU UU LL 2 2max 4 1 1 当时 UC UL没有峰值 707 0 Q 4 串联谐振电路所用信号源应要求是低内阻 串联谐振电路所用信号源应要求是低内阻 9 7 正弦电流电路的并联谐振正弦电流电路的并联谐振 并联谐振电路 有理想的并联谐振电路 与由实际电 感器与电容器组成的并联谐振电路 一 一 理想并联谐振电路的分析理想并联谐振电路的分析 L CjGjBGY 1 当与同相时 称并联电路发生并联谐振并联谐振 S I U 谐振条件谐振条件 0 jYIm SI U RI CI LI Cj L j 1 G 即 0 1 L CB 亦即 与串联电路相同 LC 1 0 其余性质 特点都与 RLC 串联谐振成对偶关系 不再详述 归纳为 1 电路的输入导纳 Y G 达最小值 亦即输入阻抗 Z 1 G 为最大值 特别 当 G 支路断路时 Z 为无穷 大 信号不能通过 2 电感电流与电容电流 LC II LC II RS II 互相抵消 对电路其余部分来说 L C 并联部分相当于开 路 所以 并联谐振也叫做电流谐振电流谐振 电导电流等于端电 流 电流电压相量图 3 L C 中能量交换现象 与串联谐振相似 常数 LmCmLC WWCUtt 2 4 品质因数 G L C I I I I G L G C Q S L S c P 00 1 在一般的并联谐振电路中 即 1 P Q 理想的并联谐振电路能放大电流 U CI LI UGIIS1 o 二 由实际电感器与电容器并联的谐振电路二 由实际电感器与电容器并联的谐振电路 在实际工程应用中 常采用电感线圈与电容并联的谐 振电路 而一个实际电感线圈中 R 和 L 是不可分的 一般 以 R 和 L 的串联组合来表示 当这样的电路发生谐振时 应为并联谐振 此时要求 同相 即谐振条件为 U I 0 jYIm 而 222222 1 LR R LR L jCj LjR CjjY 222222 LR R RL L Cj 其中 令 222 LR R Ge 222 LR L BLe L RL Le 2 222 SI 2 I1 I C L R SI GeI CI LeI C e L e G 谐振条件为 0 222 0 0 0 RL L C 解得 L CR LCCL CRL 2 2 2 0 1 1 L CR LC f 2 0 1 2 1 因为实际中不可能为虚数 必有成立 0 01 2 L CR 即 当时 才有可能发生谐振 C L R 当时 谐振不可能发生 C L R 当时 谐振特点与理想并联谐振电路的特点接近 C L R 谐振时 1 电纳为零 L CR LR R GjY e 2 0 2 0 此时电路为电阻性 若以电阻 R0表达 则 CR L G R e 1 0 谐振电阻 谐振阻抗 0 R 2 端电压 SS S I CR L RI jY I U 0 0 0 各支路电流 0101 jYUI 101 jYI CR L S S ICj CR L jYUI 00202 相量图 可见 的无功分量之和为零 1 I 2 I 此时 远大于 所以并联谐振又称为电流电流 C I 1 I S I 谐振谐振 且当很接近于 90 时 R L tg 01 01 很大时 其谐振的特点与理想的 R L tg 0 01 GLC 并联谐振十分接近 例例 若要 UR tUtUu mm 200cos100sin 21 HL1 0 1 中电压分量尽量小 电压分尽量大 100 200 求 C L 解 若 L1与 C 发生 对rad s 并联谐振 则 UR中100 rad s 的电压将为零 当rad s 时 上述结果中100 200 L C 并联阻抗呈容性 若与 L2发生串联谐振 则 UR中 U SI 2CII 1 I L1L2 C Ru rad s 的电压将为最大 200 即并联谐振 FF L Csrad CL 33 42 1 1 1010 101 0 1 100 1 100 1 串联谐振 2LC XX 3 20 1 0200 1 10200 1 1 1 3 12 2 L C XC CL XLX 3 20 200 22 mHL 3 33 2 当 时 FC 100 mHL3 33 2 UR中rad s 的电压分量为最小 100 1 rad s 的电压分量为最大 200 2 例例 已知 L1 100mH 欲使 试确定电容 C1 3 10jZin 值 如果再要使 在上述已确定的 C1值下 0500 jZin 确定电容 C2值 解 欲使 必须是 L1 C1并联部分电路 3 10jZin 在时发生并联谐振 有 srad 103 0 F L C CL 10 1010010 111 3 2 3 1 2 0 1 11 0 a b1 1 C j 1 Lj 2 1 C j 要使 则要整个电路在时 0500 jZinsrad 500 1 发生串联谐振 在该频率时的输入阻抗为 0 1 11 500 11 11 21 L Cj C jjZin 即 11 11 21 1 11 L C C 解得 FC 30 2 9 8 最大功率传输最大功率传输 对于任何线性正弦交流有源二端电路 都可以等效成 一个戴维南等效电路 电压源串联一个阻抗 Z0 Z0称为 S U 内阻抗 其负载阻抗为 LLL jXRZ 流过负载的电流为