2012年各地中考数学 压轴题精选41~50（解析版）

用心 爱心 专心1 20122012 年各地中考数学压轴题精选年各地中考数学压轴题精选 41 50 41 50 解析版解析版 41 2012 长沙 26 如图半径分别为 m n 0 m n 的两圆 O1和 O2相交于 P Q 两点 且点 P 4 1 两圆同时与两坐标轴相切 O1与 x 轴 y 轴分别切于点 M 点 N O2与 x 轴 y 轴分别 切于点 R 点 H 1 求两圆的圆心 O1 O2所在直线的解析式 2 求两圆的圆心 O1 O2之间的距离 d 3 令四边形 PO1QO2的面积为 S1 四边形 RMO1O2的面积为 S2 试探究 是否存在一条经过 P Q 两点 开口向下 且在 x 轴上截得的线段长为 的抛物线 若存在 请求出此抛物线的解析式 若不存在 请说明理由 解答 解 1 由题意可知 O1 m m O2 n n 设过点 O1 O2的直线解析式为 y kx b 则有 0 m n 解得 所求直线的解析式为 y x 2 由相交两圆的性质 可知 P Q 点关于 O1O2对称 P 4 1 直线 O1O2解析式为 y x Q 1 4 如解答图 1 连接 O1Q Q 1 4 O1 m m 根据两点间距离公式得到 O1Q 又 O1Q 为小圆半径 即 QO1 m m 化简得 m2 10m 17 0 如解答图 1 连接 O2Q 同理可得 n2 10n 17 0 由 式可知 m n 是一元二次方程 x2 10 x 17 0 的两个根 解 得 x 5 0 m n m 5 n 5 用心 爱心 专心2 O1 m m O2 n n d O1O2 8 3 假设存在这样的抛物线 其解析式为 y ax2 bx c 因为开口向下 所以 a 0 如解答图 2 连接 PQ 由相交两圆性质可知 PQ O1O2 P 4 1 Q 1 4 PQ 又 O1O2 8 S1 PQ O1O2 8 又 S2 O2R O1M MR n m n m 1 即抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1 抛物线过点 P 4 1 Q 1 4 解得 抛物线解析式为 y ax2 5a 1 x 5 4a 令 y 0 则有 ax2 5a 1 x 5 4a 0 设两根为 x1 x2 则有 x1 x2 x1x2 在 x 轴上截得的线段长为 1 即 x1 x2 1 x1 x2 2 1 x1 x2 2 4x1x2 1 即 2 4 1 化简得 8a2 10a 1 0 解得 a 可见 a 的两个根均大于 0 这与抛物线开口向下 即 a 0 矛盾 不存在这样的抛物线 用心 爱心 专心3 42 2012 六盘水 25 如图 1 已知 ABC 中 AB 10cm AC 8cm BC 6cm 如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向点 A 匀速运动 同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 它们的速度均为 2cm s 连接 PQ 设运动的时间为 t 单位 s 0 t 4 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PQ BC 2 设 AQP 面积为 S 单位 cm2 当 t 为何值时 S 取得最大值 并求出最大值 3 是否存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 若存在 求出此时 t 的值 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心4 4 如图 2 把 AQP 沿 AP 翻折 得到四边形 AQPQ 那么是否存在某时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 若存在 求出此时菱形的面积 若不存在 请说明理由 考点 相似三角形的判定与性质 一元二次方程的应用 二次函数的最值 勾股定理 勾 股定理的逆定理 菱形的性质 翻折变换 折叠问题 专题 代数几何综合题 压轴题 分析 1 由 PQ BC 时的比例线段关系 列一元一次方程求解 2 如解答图 1 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D 构造比例线段 求得 PD 从而可以得到 S 的表达式 然后利用二次函数的极值求得 S 的最大值 3 要点是利用 2 中求得的 AQP 的面积表达式 再由线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平 分 列出一元二次方程 由于此一元二次方程的判别式小于 0 则可以得出结论 不存在 这样的某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 4 首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系 求得 PQ QD 和 PD 的长度 然后在 Rt PQD 中 求得时间 t 的值 最后求菱形的面积 值得注意的是菱形的面积等于 AQP 面 积的 2 倍 从而可以利用 2 中 AQP 面积的表达式 这样可以化简计算 解答 解 AB 10cm AC 8cm BC 6cm 由勾股定理逆定理得 ABC 为直角三角形 C 为直角 1 BP 2t 则 AP 10 2t PQ BC 即 解得 t 当 t s 时 PQ BC 2 如答图 1 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D PD BC 即 解得 PD 6 t S AQ PD 2t 6 t t2 6t t 2 当 t s 时 S 取得最大值 最大值为cm2 3 假设存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 则有 S AQP S ABC 而 S ABC AC BC 24 此时 S AQP 12 由 2 可知 S AQP t2 6t t2 6t 12 化简得 t2 5t 10 0 5 2 4 1 10 15 0 此方程无解 不存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 4 假设存在时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 则有 AQ PQ BP 2t 如答图 2 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D 则有 PD BC 即 解得 PD 6 t AD 8 t 用心 爱心 专心5 QD AD AQ 8 t 2t 8 t 在 Rt PQD 中 由勾股定理得 QD2 PD2 PQ2 即 8 t 2 6 t 2 2t 2 化简得 13t2 90t 125 0 解得 t1 5 t2 t 5s 时 AQ 10cm AC 不符合题意 舍去 t 由 2 可知 S AQP t2 6t S菱形 AQPQ 2S AQP 2 t2 6t 2 2 6 cm2 所以存在时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 此时菱形的面积为cm2 点评 本题是非常典型的动点型综合题 全面考查了相似三角形线段比例关系 菱形的性 质 勾股定理及其逆定理 一元一次方程的解法 一元二次方程的解法与判别式 二次函 数的极值等知识点 涉及的考点众多 计算量偏大 有一定的难度 本题考查知识点非常 全面 是一道测试学生综合能力的好题 43 2012 攀枝花 23 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 四边形 ABCD 是菱形 顶点 A C D 均在坐标轴上 且 AB 5 sinB 1 求过 A C D 三点的抛物线的解析式 用心 爱心 专心6 2 记直线 AB 的解析式为 y1 mx n 1 中抛物线的解析式为 y2 ax2 bx c 求当 y1 y2 时 自变量 x 的取值范围 3 设直线 AB 与 1 中抛物线的另一个交点为 E P 点为抛物线上 A E 两点之间的一个 动点 当 P 点在何处时 PAE 的面积最大 并求出面积的最大值 考点 二次函数综合题 专题 动点型 分析 1 由菱形 ABCD 的边长和一角的正弦值 可求出 OC OD OA 的长 进而确定 A C D 三点坐标 通过待定系数法可求出抛物线的解析式 2 首先由 A B 的坐标确定直线 AB 的解析式 然后求出直线 AB 与抛物线解析式的两个 交点 然后通过观察图象找出直线 y1在抛物线 y2图象下方的部分 3 该题的关键点是确定点 P 的位置 APE 的面积最大 那么 S APE AE h 中 h 的值 最大 即点 P 离直线 AE 的距离最远 那么点 P 为与直线 AB 平行且与抛物线有且仅有的唯 一交点 解答 解 1 四边形 ABCD 是菱形 AB AD CD BC 5 sinB sinD Rt OCD 中 OC CD sinD 4 OD 3 OA AD OD 2 即 A 2 0 B 5 4 C 0 4 D 3 0 设抛物线的解析式为 y a x 2 x 3 得 2 3 a 4 a 抛物线 y x2 x 4 2 由 A 2 0 B 5 4 得直线 AB y1 x 由 1 得 y2 x2 x 4 则 用心 爱心 专心7 解得 由图可知 当 y1 y2时 2 x 5 3 S APE AE h 当 P 到直线 AB 的距离最远时 S ABC最大 若设直线 L AB 则直线 L 与抛物线有且只有一个交点时 该交点为点 P 设直线 L y x b 当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时 x b x2 x 4 且 0 求得 b 即直线 L y x 可得点 P 由 2 得 E 5 则直线 PE y x 9 则点 F 0 AF OA OF PAE 的最大值 S PAE S PAF S AEF 综上所述 当 P 时 PAE 的面积最大 为 点评 该题考查的是函数的动点问题 其中综合了特殊四边形 图形面积的求法等知识 找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路 用心 爱心 专心8 44 2012 山西 26 综合与实践 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 点 D 是该抛物线的顶点 1 求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标 2 点 P 是 x 轴上一个动点 过 P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q 试探究 随着 P 点的运 动 在抛物线上是否存在点 Q 使以点 A P Q C 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出符合条件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 请在直线 AC 上找一点 M 使 BDM 的周长最小 求出 M 点的坐标 考点 二次函数综合题 解答 解 1 当 y 0 时 x2 2x 3 0 解得 x1 1 x2 3 点 A 在点 B 的左侧 A B 的坐标分别为 1 0 3 0 当 x 0 时 y 3 C 点的坐标为 0 3 设直线 AC 的解析式为 y k1x b1 k1 0 则 解得 直线 AC 的解析式为 y 3x 3 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点 D 的坐标为 1 4 2 抛物线上有三个这样的点 Q 用心 爱心 专心9 当点 Q 在 Q1 位置时 Q1 的纵坐标为 3 代入抛物线可得点 Q1 的坐标为 2 3 当点 Q 在点 Q2 位置时 点 Q2 的纵坐标为 3 代入抛物线可得点 Q2 坐标为 1 3 当点 Q 在 Q3 位置时 点 Q3 的纵坐标为 3 代入抛物线解析式可得 点 Q3 的坐标为 1 3 综上可得满足题意的点 Q 有三个 分别为 Q1 2 3 Q2 1 3 Q3 1 3 3 点 B 作 BB AC 于点 F 使 B F BF 则 B 为点 B 关于直线 AC 的对称点 连接 B D 交直线 AC 与点 M 则点 M 为所求 过点 B 作 B E x 轴于点 E 1 和 2 都是 3 的余角 1 2 Rt AOC Rt AFB 由 A 1 0 B 3 0 C 0 3 得 OA 1 OB 3 OC 3 AC AB 4 BF BB 2BF 由 1 2 可得 Rt AOC Rt B EB 即 B E BE OE BE OB 3 B 点的坐标为 设直线 B D 的解析式为 y k2x b2 k2 0 解得 用心 爱心 专心10 直线 B D 的解析式为 y x 联立 B D 与 AC 的直线解析式可得 解得 M 点的坐标为 45 2012 黄石 25 本小题满分 10 分 已知抛物线的函数解析式为 若抛物 1 C 2 3 0 yaxbxa b 线经过点 方程的两根为 且 1 C 0 3 2 30axbxa 1 x 2 x 12 4xx 1 求抛物线的顶点坐标 1 C 2 已知实数 请证明 并说明为何值时才会有 0 x 1 x x 2x 1 2x x 3 若抛物线先向上平移 4 个单位 再向左平移 1 个单位后得到抛物线 设 2 C 是上的两个不同点 且满足 1 A m y 2 B n y 2 C 0 90AOB 0m 0n 请你用含有的表达式表示出 的面积 并求出的最小值及取最小值时mAOBSSS 一次函数的函数解析式 OA 参考公式 在平面直角坐标系中 若 则 两点间的距 11 P x y 22 Q xyPQ 离为 22 2121 xxyy 考点 二次函数综合题 专题 压轴题 配方法 用心 爱心 专心11 分析 1 求抛物线的顶点坐标 需要先求出抛物线的解析式 即确定待定系数 a b 的值 已知抛物线图象与 y 轴交点 可确定解析式中的常数项 由 此得到 a 的值 然后从方程入手求 b 的值 题干给出了两根差的绝对值 将其进行适当变形 转化为两根和 两根积的形式 结合根与系数的关 系即可求出 b 的值 2 因此将配成完全平方式 然后根据平方的非负性即可 1 1x x 1 x x 得证 3 结合 1 的抛物线的解析式以及函数的平移规律 可得出抛物线 C2的解 析式 在 Rt OAB 中 由勾股定理可确定 m n 的关系式 然后用 m 列出 AOB 的面积表达式 结合不等式的相关知识可确定 OAB 的最小面积值 以及此时 m 的值 进而由待定系数法确定一次函数 OA 的解析式 解答 解 1 抛物线过 点 3a a 分 x2 bx x2 bx 的两根为x1 x2且 21 x x 且b 21 2 2121 4 xxxxxx b 分 x2 x x 抛物线 的顶点坐标为 分 2 x 0 1 2 1 x x x x 显然当x 时 才有 分 2 1 x x 2 1 x x 3 方法一 由平移知识易得 的解析式为 y x2 分 m m B n n AOB为 Rt OA OB AB m m n n m n m n 化简得 m n 分 AOB OBOA 2 1 4242 2 1 nnmm m n AOB 2 222 1 2 2 1 2 2 1 m mnm 12 2 11 2 1 1 2 1 2 m m m m AOB的最小值为 此时m 用心 爱心 专心12 分 直线OA的一次函数解析式为 x 分 方法二 由题意可求抛物线的解析式为 1 分 2 C 2 yx 2 A m m 2 B n n 过点 作轴的垂线 垂足分别为 则ABxCD AOCBODACDB SSSS AA梯形 2222 111 222 mnmnm mn n 1 2 mn mn 由 得 BOD OAC BDOD OCAC 即 2 2 nn mm 1 分 1mn 1 n m 1 2 Smn mn 11 2 m m 由 2 知 1 2m m 111 21 22 Sm m 当且仅当 取得最小值 11m S 此时的坐标为 2 分 A 一次函数的解析式为 1 分 OAyx 点评 该题考查了二次函数解析式的确定 函数图象的平移 不等式的应用等知识 解题过程中完全平方式的变形被多次提及 应熟练掌握并能灵活应用 46 2012 广安 26 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 AB x 轴于点 B AB 3 tan AOB 将 OAB 绕着 原点 O 逆时针旋转 90 得到 OA1B1 再将 OA1B1绕着线段 OB1的中点旋转 180 得到 OA2B1 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 B B1 A2 1 求抛物线的解析式 2 在第三象限内 抛物线上的点 P 在什么位置时 PBB1的面积最大 求出这时点 P 的 坐标 B n n2 A m m2 OCD y x 用心 爱心 专心13 3 在第三象限内 抛物线上是否存在点 Q 使点 Q 到线段 BB1的距离为 若存在 求 出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 首先根据旋转的性质确定点 B B1 A2三点的坐标 然后利用待定系数法求得 抛物线的解析式 2 求出 PBB1的面积表达式 这是一个关于 P 点横坐标的二次函数 利用二次 函数求极值的方法求出 PBB1 面积的最大值 值得注意的是求 PBB1面积的方法 如图 1 所示 3 本问引用了 2 问中三角形面积表达式的结论 利用此表达式表示出 QBB1 的面积 然后解一元二次方程求得 Q 点的坐标 解答 解 1 AB x 轴 AB 3 tan AOB OB 4 B 4 0 B1 0 4 A2 3 0 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 B B1 A2 解得 抛物线的解析式为 y x2 x 4 2 点 P 是第三象限内抛物线 y x2 x 4 上的一点 如答图 1 过点 P 作 PC x 轴于点 C 设点 P 的坐标为 m n 则 m 0 n 0 n m2 m 4 用心 爱心 专心14 于是 PC n n m2 m 4 OC m m BC OB OC 4 m 4 m S PBB1 S PBC S梯形 PB1OC S OBB1 BC PC PC OB1 OC OB OB1 4 m m2 m 4 m2 m 4 4 m 4 4 m2 m m 2 2 当 m 2 时 PBB1的面积最大 这时 n 即点 P 2 3 假设在第三象限的抛物线上存在点 Q x0 y0 使点 Q 到线段 BB1的距离为 如答图 2 过点 Q 作 QD BB1于点 D 由 2 可知 此时 QBB1的面积可以表示为 x0 2 2 在 Rt OBB1中 BB1 S QBB1 BB1 QD 2 x0 2 2 2 解得 x0 1 或 x0 3 当 x0 1 时 y0 4 当 x0 3 时 y0 2 因此 在第三象限内 抛物线上存在点 Q 使点 Q 到线段 BB1的距离为 这样的 点 Q 的坐标是 1 4 或 3 2 用心 爱心 专心15 点评 本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式 二次函数图象上点的坐标特征 一元 二次方程 旋转与坐标变化 图形面积求法 勾股定理等重要知识点 第 2 问 起承上启下的作用 是本题的难点与核心 其中的要点是坐标平面内图形面积的求 解方法 这种方法是压轴题中常见的一种解题方法 同学们需要认真掌握 47 2012 张家界 25 如图 抛物线 y x2 x 2 与 x 轴交于 C A 两点 与 y 轴交于点 B OB 4 点 O 关于直线 AB 的对称点为 D E 为线段 AB 的中点 1 分别求出点 A 点 B 的坐标 2 求直线 AB 的解析式 3 若反比例函数 y 的图象过点 D 求 k 值 4 两动点 P Q 同时从点 A 出发 分别沿 AB AO 方向向 B O 移动 点 P 每秒移动 1 个 单位 点 Q 每秒移动 个单位 设 POQ 的面积为 S 移动时间为 t 问 S 是否存在最大 值 若存在 求出这个最大值 并求出此时的 t 值 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心16 考点 二次函数综合题 解答 解 1 令 y 0 即 x2 x 2 0 解得 x1 x2 2 C 0 A 2 0 令 x 0 即 y 2 B 0 2 综上 A 2 0 B 0 2 2 令 AB 方程为 y k1x 2 因为点 A 2 0 在直线上 0 k12 2 k1 直线 AB 的解析式为 y x 2 3 由 A 2 0 B 0 2 得 OA 2 OB 2 AB 4 BAO 30 DOA 60 OD 与 O 点关于 AB 对称 OD OA 2 D 点的横坐标为 纵坐标为 3 即 D 3 因为 y 过点 D 3 k 3 4 AP t AQ t P 到 x 轴的距离 AP sin30 t OQ OA AQ 2 t S OPQ 2 t t t 2 2 依题意 得 0 t 4 当 t 2时 S 有最大值为 48 2012 宜宾 22 如图 抛物线 y x2 2x c 的顶点 A 在直线 l y x 5 上 1 求抛物线顶点 A 的坐标 2 设抛物线与 y 轴交于点 B 与 x 轴交于点 C D C 点在 D 点的左侧 试判断 ABD 的 形状 3 在直线 l 上是否存在一点 P 使以点 P A B D 为顶点的四边形是平行四边形 若 存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心17 考点 二次函数综合题 解答 解 1 顶点 A 的横坐标为 x 1 且顶点 A 在 y x 5 上 当 x 1 时 y 1 5 4 A 1 4 2 ABD 是直角三角形 将 A 1 4 代入 y x2 2x c 可得 1 2 c 4 c 3 y x2 2x 3 B 0 3 当 y 0 时 x2 2x 3 0 x1 1 x2 3 C 1 0 D 3 0 BD2 OB2 OD2 18 AB2 4 3 2 12 2 AD2 3 1 2 42 20 BD2 AB2 AD2 ABD 90 即 ABD 是直角三角形 3 存在 由题意知 直线 y x 5 交 y 轴于点 A 0 5 交 x 轴于点 F 5 0 OE OF 5 又 OB OD 3 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形 BD l 即 PA BD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD 如图 过点 P 作 y 轴的垂线 过点 A 作 x 轴的垂线并交于点 C 设 P x1 x1 5 则 G 1 x1 5 则 PC 1 x1 AG 5 x1 4 1 x1 PA BD 3 由勾股定理得 1 x1 2 1 x1 2 18 x12 2x1 8 0 x1 2 4 P 2 7 P 4 1 存在点 P 2 7 或 P 4 1 使以点 A B D P 为顶点的四边形是平行四边形 用心 爱心 专心18 49 2012 武汉 25 如图 1 点 A 为抛物线 C1 y x2 2 的顶点 点 B 的坐标为 1 0 直线 AB 交抛物 线 C1于另一点 C 1 求点 C 的坐标 2 如图 1 平行于 y 轴的直线 x 3 交直线 AB 于点 D 交抛物线 C1于点 E 平行于 y 轴的 直线 x a 交直线 AB 于 F 交抛物线 C1于 G 若 FG DE 4 3 求 a 的值 3 如图 2 将抛物线 C1向下平移 m m 0 个单位得到抛物线 C2 且抛物线 C2的顶点 为点 P 交 x 轴于点 M 交射线 BC 于点 N NQ x 轴于点 Q 当 NP 平分 MNQ 时 求 m 的 值 考点 二次函数综合题 解答 解 1 当 x 0 时 y 2 A 0 2 设直线 AB 的解析式为 y kx b 则 解得 直线 AB 解析式为 y 2x 2 用心 爱心 专心19 点 C 为直线 y 2x 2 与抛物线 y x2 2 的交点 则点 C 的横 纵坐标满足 解得 舍 点 C 的坐标为 4 6 2 直线 x 3 分别交直线 AB 和抛物线 C1于 D E 两点 yD 4 yE DE FG DE 4 3 FG 2 直线 x a 分别交直线 AB 和抛物线 C1于 F G 两点 yF 2a 2 yG a2 2 FG 2a a2 2 解得 a1 2 a2 2 2 a3 2 2 3 设直线 MN 交 y 轴于 T 过点 N 做 NH y 轴于点 H 设点 M 的坐标为 t 0 抛物线 C2的解析式为 y x2 2 m 0 t2 2 m 2 m t2 y x2 t2 点 P 坐标为 0 t2 点 N 是直线 AB 与抛物线 y x2 t2的交点 则点 N 的横 纵坐标满足 解得 舍 N 2 t 2 2t NQ 2 2t MQ 2 2t MQ NQ MNQ 45 MOT NHT 均为等腰直角三角形 MO OT HT HN 用心 爱心 专心20 OT 4 NT NH 2 t PT t t2 PN 平分 MNQ PT NT t t2 2 t t1 2 t2 2 舍 2 m t2 2 2 m 2 用心 爱心 专心21 50 2012 潜江 24 如图 抛物线 y ax2 bx 2 交 x 轴于 A 1 0 B 4 0 两点 交 y 轴于点 C 与 过点 C 且平行于 x 轴的直线交于另一点 D 点 P 是抛物线上一动点 1 求抛物线解析式及点 D 坐标 2 点 E 在 x 轴上 若