2012年高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题05 概率与统计(文科）（学生版）

用心 爱心 专心1 概率与统计概率与统计 一 高考预测一 高考预测 计数原理 概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块 高考对该部分 的考查分值也较多 从近几年的情况看 该部分考查的主要问题是排列组合应用问题 二 项式定理及其简单应用 随机抽样 样本估计总体 线性回归分析 独立性检验 古典概 型 几何概型 事件的独立性 随机变量的分布 期望和方差 正态分布的简单应用 在 试卷中一般是 2 3 个选择题 填空题 一个解答题 试题难度中等或者稍易 预计 2012 年该部分的基本考查方向还是这样 虽然可能出现一些适度创新 但考查的基本点不会发 生大的变化 计数原理 概率统计部分的复习要从整体上 从知识的相互关系上进行 概 率试题的核心是概率计算 其中事件之间的互斥 对立和独立性是概率计算的核心 排列 组合是进行概率计算的工具 在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具 统计问题 的核心是样本数据的分布 反映样本数据的方法 样本频数表 样本频率分布表 频率分 布直方图 频率折线图 茎叶图 得到样本 数据的方法是随机抽样 在复习统计部分时 要紧紧抓住这些图表和方法 把图表的含义弄清楚 这样剩下的问题就是有关的计算和对 统计思想的理解 如样本均值和方差的计算 用样本估计总体等 二 知识导学二 知识导学 要立足于基础知识 基本方法 基本问题的练习 恰当选取典型例题 构建思维模式 造就思维依托和思维的合理定势 3 对立事件是互斥事件的一种特殊情况 是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个 事件 集合A的对立事件记作A 从集合的角度来看 事件A所含结果的集合正是全集U 用心 爱心 专心2 中由事件A所含结果组成集合的补集 即A A U A A 对立事件一定是互斥事件 但互斥事件不一定是对立事件 要点 1 求等可能性事件 互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识 1 等可能性事件 古典概型 的概率 P A 等可能事件概率的计算步等可能事件概率的计算步 Icard Acard n m 骤 骤 计算一次试验的基本事件总数 设所求事件 A 并计算事件 A 包含的基本事件的个数n 依公式求值 答 即给问题一个明确的答复 m m P A n 用心 爱心 专心3 4 解决概率问题要注意解决概率问题要注意 四个步骤 一个结合四个步骤 一个结合 求概率的步骤是 第一步 确定 事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种 第二步 判断 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 事件的运算即是至少有一个发生 还是同时发生 分别运用相加或相乘事件 第 和事件 积事件 三步 运用公式求解第四步 答 即给提出的问题 1 kkn k nn m P A n P ABP AP B P A BP AP B P kC pp 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 有一个明确的答复 要点 3 3 正正态态分分布布与与线线性性回回归归 1 1 正正态态分分布布的的概概念念及及主主要要性性质质 1 正态分布的概念如果连续型随机变量 的概率密度函数为 x 2 2 2 1 2 x f xe 其中 为常数 并且 0 则称服从正态分布 记为 R N 2 用心 爱心 专心4 2 期望E 方差 2 D 3 正态分布的性质正态曲线具有下列性质 曲线在x 轴上方 并且关于直线x 对称 曲线在x 时处于最高点 由这一点向左右两边延伸时 曲线逐渐降低 曲线的对 称轴位置由 确定 曲线的形状由确定 越大 曲线越 矮胖 反之越 高瘦 4 标准正态分布 当 0 1 时 服从标准的正态分布 记作 0 1 N 5 两个重要的公式 1 xx P abba 6 与二者联系 若 则 2 N 0 1 N 2 N 0 1 N 若 则 2 N ba P ab 三 易错点点睛三 易错点点睛 一 概念理解不清致错一 概念理解不清致错 例 1 抛掷一枚均匀的骰子 若事件 A 朝上一面为奇数 事件 B 朝上一面的 点数不超过 3 求 P A B 用心 爱心 专心5 错误解法 2 事件 A 朝上一面的点数为 1 3 5 事件 B 朝上一面的点数为 1 2 3 即以 A B 事件中重复的点数 1 3 P A B P A P B P A B 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 错因分析 A B 事件中重复点数为 1 3 所以 P A B 这种错误解法在于简 6 2 单地类比应用容斥原理致错 BACardBCardACardBACard 正确解答 P A B P A P B P A B 3 2 6 2 2 1 2 1 例 2 某人抛掷一枚均匀骰子 构造数列 使 记 n a 1 1 次掷出奇数当第 次掷出偶数当第 n n an 求且的概率 nn aaaS 21 4 3 2 1 0 iSi2 8 S 二 有序与无序不分致错二 有序与无序不分致错 例 3 甲 乙两人参加普法知识竞赛 共有 10 个不同的题目 其中选择题 6 个 判断 用心 爱心 专心6 题 4 个 甲 乙依次各抽一题 求 1 甲抽到选择题 乙提到判断题的概率是多少 2 甲 乙两人中至少有 1 人抽到选择题的概率是多少 错误解法 1 甲从选择题抽到一题的结果为乙从判断题中抽到一题的结果为 1 6 C 1 4 C 而甲 乙依次抽到一题的结果为 所求概率为 2 10 C 15 8 2 10 1 4 1 6 C CC 错因分析 甲 乙依次从 10 个题目各抽一题的结果 应当是先选后排 所以应为 2 10 A 为避免错误 对于基本事件总数也可这样做 甲抽取一道题目的结果应为种 乙再抽 1 10 C 取余下的 9 道题中的任一道的结果应为种 所以正确解答 1 9 C 15 4 1 9 1 10 1 4 1 6 CC CC 例 4 已知 8 支球队中有 3 支弱队 以抽签方式将这 8 支球队分为 A B 两组 每组 4 支 求 A B 两组中有一组恰有两支弱队的概率 错解 1 将 8 支球队均分为 A B 两组 共有种方法 A B 两组中有一组恰有两 4 4 4 8C C 支弱队的分法为 先从 3 支弱队取 2 支弱队 又从 5 支强队取 2 支强队 组成这一组共有 种方法 其它球队分在另一组 只有一种分法 所求事件的概率为 2 3 2 5C C 7 3 4 4 4 8 2 2 2 5 CC CC 用心 爱心 专心7 错因分析 从基本事件的结果数来看 分组是讲求顺序的 那么指定事件 A B 组 中有一组有 2 支弱队 应分为两种情形 即 A 组有 或 B 组有 所以正确解答为 正解 或 7 62 4 4 4 8 2 2 2 5 CC CC 7 6 2 2 4 4 4 8 2 2 2 5 ACC CC 说明 这道题也可从对立事件求解 3 支弱队分法同一组共有 种结果 1 5 1 5 CC 所求事件概率为 7 6 1 4 4 4 8 1 5 1 5 CC CC 三 分步与分类不清致错三 分步与分类不清致错 例 5 某种射击比赛的规则是 开始时在距目标 100m 处射击 若命中记 3 分 同时停 止射击 若第一次未命中 进行第二次射击 但目标已在 150m 远处 这时命中记 2 分 同 时停止射击 若第 2 次仍未命中 还可以进行第 3 次射击 此时目标已在 200m 远处 若第 3 次命中则记 1 分 同时停止射击 若前 3 次都未命中 则记 0 分 已知身手甲在 100m 处 击中目标的概率为 他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比 且各次射击都是独 2 1 立的 求 射手甲得 k 分的概率为 Pk 求 P3 P2 P1 P0的值 设射手射击命中目标的概率 P 与目标距离之间的关系x 为 由已知 2 x k P 5000 1002 1 2 k k 用心 爱心 专心8 错误解法 2 1 3 P 9 2 150 5000 2 2 P 8 1 200 5000 2 1 P 144 49 8 1 1 9 2 1 2 1 1 0 P 正解 2 1 3 P 9 1 9 2 2 1 1 2 P 144 7 8 1 9 2 1 2 1 1 1 P 144 49 8 1 1 9 2 1 2 1 1 0 P 四 考虑不周致错四 考虑不周致错 例 6 某运动员射击一次所得环数的分布列如下 x x 78910 P0 20 20 20 2 现进行两次射击 以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为 求 的 用心 爱心 专心9 分布列 例 7 将 n 个球等可能地放入到 N n n 个有编号的盒子中 盒子中容纳球的个数不 限 求 A 某指定的 n 个盒子中恰有一球的概率 错误解法 将 n 个球等可能地放入到 N 个盒子中 共有 Nn种方法 而指定的 n 个盆中各有一球的放法有 n 种 则所求概率 m N n AP 错因分析 这种解法不全面 如果球是有编号的 则答案是对的 若球是不可辨认的 则答案错了 若球是不可辨认的 则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球 为 此 我们用 表示一个盒子 用 表示一个球 先将盒子按编号 12345n 把 n 个球放入 N 中盒子中 形如 1010011 10001 正好看作 N 1 个 1 和 n 个 0 的全排列 由于两边必为 1 所以排法只有种 而指定的 n 个盒子中恰有一 n nN C 1 球的放法只有 1 种 故 1 1 1 1 nN Nn C AP n nN 六六 混淆有放回与不放回致错混淆有放回与不放回致错 例 9 某产品有 3 只次品 7 只正品 每次取 1 只测试 取后不放回 求 1 恰好 到第 5 次 3 只次品全部被测出的概率 2 恰好到第 k 次 3 只次品全部被测出的概率 用心 爱心 专心10 的最大值和最小值 kf 错解 1 P A 2 144 1 6 1 7 5 8 7 9 2 10 3 21 0 10 3 1 10 3 3 23 55 CP 错因分析 错解 1 的错误的原因在于忽视了 不放回摸球 问题的每一次摸球是不 独立的 而错解 2 的错误的原因则在于忽视了 不放回摸球 问题的每一次摸球袋内球 的总数是变的 比前一次少一个 正解 1 20 1 5 42 7 1 3 10 3 44 3 A ACC P 2 103 2 1 240 1 1 1 31 4 3 4 37 43 3 Zkkkk ACC P k k k 当时 当时 3 k 120 1 3 min fkf3 k 10 3 10 max fkf 四 典型习题导练四 典型习题导练 II 若第一次抽 张卡片 放回后再抽取 1 张卡片 求两次抽取中至少一次抽到数 1 字 3 的概率 3 某篮球队甲 乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下 I 比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小 II 从乙比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析 求抽到恰好有 1 场得分不足 10 分的概 用心 爱心 专心11 率 4 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计 随机抽取M名学生作为样本 得到这M名学生参加社区服务的次数 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布 直方图如下 求出表中 M p及图中a的值 若该校高三学生有 240 人 试估计该校 高三学生参加社区服务的次数在区间 10 15 内的人数 在所取样本中 从参加社 区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人 求至多一人参加社区服务次数在区间 25 30 内的概率 分组频数频率 10 15 100 25 15 20 24 n 20 25 m p 25 30 20 05 合计M 1 频率 组距 15252010 0 30 次数 a 用心 爱心 专心12 6 某工厂有甲 乙两个车间 每个车间各有编号为 1 2 3 4 5 的 5 名技 工 在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表 1 号2 号3 号4 号5 号 甲车间 457910 乙车间 56789 分别求出甲 乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差 并由此比较两个车间技工的技术水平 质检部门从甲 乙两个车间中各随机抽取 1名技工 对其加工的零件进行检测 若两人完成合格零件个数之和不小于 12 个 则称 该工厂 质量合格 求该工厂 质量合格 的概率 用心 爱心 专心13 8 某学校共有教职工 900 人 分成三个批次进行继续教育培训 在三个批次中男 女教职工人数如左表所示 已知在全体教职工中随机抽取 1 名 抽到第二批次中女教职工 的概率是 0 16 求x的值 现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训效果 的调查 问应在第三批次中抽取教职工多少名 已知96 96yz 求第三批次中 女教职工比男教职工多的概率 第一 批次 第二 批次 第三 批次 女教 职工 196 x y 男教 职工 204156 z 9 某日用品按行业质量标准分成五个等级 等级系数 X 依次为 1 2 3 4 5 现从 一批日用品中随机抽取 20 件 对其等级系数进行统计分析 得到频率分布表如下表所示 等 级 频 数 频率 1c a 24b 390 45 420 1 用心 爱心 专心14 若所抽取的 20 件日用品中 等级系数为 2 的恰有 4 件 求a b c的值 在 的条件下 从等级为 4 的 2 件日用品和 等级为 5 的 3 件日用品中任取两件 假定每件日用品被取出 的可能性相同 写出所有可能的结果 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率 10 某大学对该校参加某项活动的志愿者实施 社会教育实施 学分考核 该大学考 核只有合格和优秀两个等次 若某志愿者考核为合格 授予个学分 考核为优秀 授予0 5 个学分 假设该校志愿者甲 乙考核为优秀的概率分别为 乙考核合格且丙考核1 4 5 2 3 优秀的概率为 甲 乙 丙三人考核所得等次相互独立 求在这次考核中 志愿者 2 9 甲 乙 丙三人中至少有一名考核为优秀的概率 求在这次考核中 甲 乙 丙三名 志愿者所得学分之和为的概率 2 5 12 某校高二年级研究性学习小组 为了分析 2011 年我国宏观经济形势 上网查阅了 2010 年和 2011 年 2 6 月我国 CPI 同比 即当年某月与前一年同月相比 的增长数据 见 下表 但 2011 年 4 5 6 三个月的数据 分别记为x y z 没有查到 有的同学清楚 记得 2011 年 2 3 4 5 6 五个月的 CPI 数据成等差数列 求x y z的值 求 2011 年 2 6 月我国 CPI 的数据的方差 一般认为 某月 CPI 达到或超过 3 个百分点就已经通货膨胀 而达到或超过 5 个百分点则严重通货膨胀 现随机地从上表 2010 年的五个月和 2011 年的五个月的数据中各抽取一个数据 求相同月份 2010 年通货膨 胀 并且 2011 年严 530 15 合 计 201 用心 爱心 专心15 13 某校为了解学生的视力情况 随机抽查了一部分学生的视力 将调查结果分组 分组 区间为 3 9 4 2 4 2 4 5 5 1 5 4 经过数据处理 得到如下频率分布 表 分组 频 数 频率 3 9 4 2 30 06 4 2 4 5 60 12 4 5 4 8 25x 4 8 5 1 yz 5 1 5 4 20 04 合计 n1 00 求频率分布表中未知量n x y z的值 从样本中视力在 3 9 4 2 和 5 1 5 4 的所有同学中随机抽取两人 求两人的视力差的绝对值低于 0 5 的概率 14 口袋中有 6 个大小相同的小球 其中 1 个小球标有数字 3 2 个小球标有数字 用心 爱心 专心16 2 3 个小球标有数字 1 每次从中任取一个小球 取后放回 连续抽取两次 I 求两 次取出的小球所标数字不同的概率 II 记两次取出的小球所标数字之和为 求事件 的概率5 17 对人们的休闲方式的一次调查中 共调查了 100 人 其中女性 60 人 男性 40 人 女性中有 38 人主要的休闲方式是看电视 另外 22 人主要的休闲方式是运动 男性中 有 15 人主要的休闲方式是看电视 另外 25 人主要的休闲方式是运动 1 根据以上数据建 立一个 2 2 列联表 2 判断性别与休闲方式是否有关 参考公式 2 2 n adbc K ab cd ac bd nabcd 2 P Kk 0 50 0 40 0 25 0 15 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 001 k 0 455 0 708 1 323 2 072 2 706 3 84 5 024 6 635 7 879 1 0 83 参考数据 60 40 53 47 5978400 620 620 384400 384400 59784 6 4298 用心 爱心 专心17 18 时维壬辰 序属仲春 值春耕播种时机 某中学生物研究性学习