【教学设计】《两条直线的位置关系》（北师大版）

两条直线的位置关系两条直线的位置关系 本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第 1 节的内容 本节课教材内容主要有两 个 一是两条直线平行的条件 一个是两条直线垂直的条件 本节是在学生已经探索并掌 握了直线方程的含义以及利用已知条件求出直线的方程的基础上 进一步利用解方程组的 思想探索两条直线的位置关系的条件 并会利用两条直线相交或平行的条件判断两条直线 相交 平行或重合 为以后学习奠定基础 知识与能力目标 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件 会运用条件判定两直线是否平行或垂直 过程与方法目标 通过探究两直线平行或垂直的条件 培养学生运用已有知识解决新问题的能力 以及数形 结合能力 来源 情感态度价值观目标 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究 培养学生的成功意识 合作交流的学习方式 教材分析教材分析 教学目标教学目标 激发学生的学习兴趣 教学重点 两条直线平行和垂直的条件是重点 要求学生能熟练掌握 并灵活运用 教学难点 启发学生 把研究两条直线的平行或垂直问题 转化为研究两条直线的斜率的关系问题 电子课件调整 相应的教具带好 熟悉学生名单 电子白板要调试好 一 导入部分 在平面几何中 两条直线平行 同位角相等 在平面直角坐标系中 若 l1 l2 那么它 们的倾斜角有什么关系 斜率有什么关系 二 研探新知 建构概念 1 电子白板投影出上面实例 倾斜角相等 斜率相等或不存在 若 l1 l2的斜率相等 l1与 l2一定平行吗 答案是肯定的 2 教师组织学生分组讨论 先让学生分析 师生一起归纳 两直线平行或垂直的判断两直线平行或垂直的判断 l1 l2l1 l2 l1 l2的倾斜角 1 2 间的关系 1 2 2 1 900 图示 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 斜率间的关系 若 l1 l2的斜率都存在 设 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 若 l1 l2的斜率都存在 则 l1 l2 k1 k2 且 b1 b2 如图 所示 若 l1 l2的斜率都不存在 则 l1 l2 如图 所示 或 l1与 l2重合 若 l1 l2的斜率都存在 则 l1 l2 k1 k2 1 如 图 所示 若 l1 l2有一条 直线的斜率不存在 则 l1 l2 另一条直线的斜率 为 0 如图 所示 三 质疑答辩 发展思维 1 举例 举例 已知 A 2 3 B 4 0 P 3 1 Q 1 2 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关 系 并证明你的结论 解 解 直线 BA 的斜率 k1 3 0 2 4 0 5 直线 PQ 的斜率 k2 2 1 1 3 0 5 因为 k1 k2 0 5 所以直线 BA PQ 2 思考思考 1 1 若两直线斜率相等 能否判定这两直线就一定平行 解 解 不一定 两直线的斜率相等 两直线是平行或是重合的 思考思考 2 2 怎么判断两直线是否平行 解 解 判断两条直线是否平行的步骤 思考思考 3 3 怎么判断两直线垂直 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 1 一看 就是看所给两点的横坐标是否相等 若相等 则直线的斜率不存在 只需看 另一条直线的两点的纵坐标是否相等 若相等 则垂直 若不相等 则进行第二步 2 二代 就是将点的坐标代入斜率公式 3 求值 计算斜率的值 进行判断 尤其是点的坐标中含有参数时 应用斜率公式要 对参数进行讨论 思考思考 4 4 如果已知两直线的一般式方程 怎么利用方程系数间的关系来判断两直线的 平行或垂直 解 解 设两直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则 l1 l2 A1B2 A2B1 0 且 A1C2 A2C1 0 l1 l2 A1A2 B1B2 0 3 例题 例例 1 1 判断下列各小题中的直线 l1 l2的位置关系 1 直线 l1经过点 A 3 4 B 3 100 直线 l2经过点 M 1 40 N 1 40 2 l1经过点 A 3 2 B 3 10 l2经过点 M 5 2 N 5 5 3 l1的倾斜角为 60 l2经过点 1 3 2 2 3 解解 1 直线 l1经过点 A 3 4 B 3 100 故其斜率不存在 直线 l2经过点 M 1 40 N 1 40 斜率为 0 所以两直线垂直 2 因为 l1 l2都与 x 轴垂直且 l1 l2不重合 故 l1 l2 3 由题意可知直线 l1的斜率 k1 tan 60 3 直线 l2的斜率 k2 因为 k1 k2 所以 l1 l2或 l1 l2重合 2 3 3 2 1 3 例例 2 2 已知三点 A 5 1 B 1 1 C 2 3 求证 ABC 是直角三角形 解由斜率公式得 kAB kBC kAC 1 1 5 1 1 2 3 1 2 1 2 1 3 5 2 4 3 因为 kAB kBC 2 1 所以 AB BC 所以 ABC 是直角三角形 1 2 例例 3 3 已知直线 l1 2x m 1 y 4 0 与 l2 mx 3y 2 0 1 若 l1 l2 求 m 的值 2 若 l1 l2 求 m 的值 解析 1 法一 l1 l2 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 A1 2 B1 m 1 C1 4 A2 m B2 3 C2 2 2 3 1 0 1 2 3 4 0 即解得 m 3 或 m 2 2 6 0 7 3或 2 7 法二 当 m 1 时 直线 l1的斜率 k1 在 y 轴上的截距 b1 直线 l2 2 1 4 1 的斜率 k2 在 y 轴上的截距 b2 3 2 3 l1 l2 且 解得 m 3 或 m 2 2 1 3 4 1 2 3 当 m 1 时 直线 l1的斜率不存在 直线 l2的斜率 k2 显然不平行 1 3 综上可知 当 m 3 或 m 2 时 直线 l1与 l2平行 2 若 l1 l2 则有 2 m m 1 3 0 即 5m 3 0 解得 m 3 5 4 巩固练习 1 若直线 2ay 1 0 与直线 3a 1 x y 1 0 平行 则实数 a 等于 A B C D 1 2 1 2 1 3 1 3 解析 因为两直线平行 所以 3a 1 0 即 a 1 3 2 经过点 m 3 和 2 m 的直线 l 与斜率为 4 的直线互相垂直 则 m 的值是 解析 由已知得 解得 m 3 2 4 1 14 5 3 已知直线 l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 当 l1 l2时 求 m 的值 正解一 由题设 l2的方程可化为 y x m 2 3 2 3 其斜率 k2 纵截距 b2 m l1 l2 l1的斜率一定存在即 m 0 2 3 2 3 l1的方程为 y x 1 6 由 l1 l2得解得 m 1 m 的值为 1 2 3 1 2 3 6 正解二 令 1 3 m m 2 即由 m2 2m 3 0 解得 m 3 或 m 1 当 m 1 时 l1的方程为 x y 6 0 l2的方程为 3x 3y 2 0 即 x y 0 l1 l2 2 3 当 m 3 时 l1的方程为 x 3y 6 0 l2的方程为 x 3y 6 0 l1与 l2重合 不合题意 m 的值为 1 四 课堂小结 l1 l2l1 l2 l1 l2的倾斜角 1 2 间的关系 1 2 2 1 900 图示 斜率间的关系 若 l1 l2的斜率都存在 设 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 若 l1 l2的斜率都存在 则 l1 l2 k1 k2 且 b1 b2 如图 所示