【教学设计】《正弦定理 》（北师大）-1

正弦定理正弦定理 本节的主要任务是引入并证明正弦定理 在课型上属于定理教学课 做好正弦定理的 教学 不仅能复习巩固旧知识 使学生掌握新的有用的知识 体会联系 发展等辩证观点 而且能培养学生的应用意识和实践操作能力 以及提出问题 解决问题等研究性学习的能 力 本节课以及后面的解三角形中涉及计算器的使用与近似计算 这是一种基本运算能力 学生基本上已经掌握了 若在解题中出现了错误 则应及时纠正 若没出现问题就顺其自 然 不必花费过多的时间 知识与能力目标 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 会运用正 弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 过程与方法目标 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学生通 过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 情感态度价值观目标 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合情推理探索数学规 教材分析教材分析 教学目标教学目标 律的数学思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联系来体现事 物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点 通过对于三角形的边角关系的探究 证明正弦定理并用它解决有关问题 教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 电子课件调整 相应的教具带好 熟悉学生名单 电子白板要调试好 一 导入部分一 导入部分 如图 某农场为了及时发现火情 在林场中设立了 两个观测点 A 和 B 某日两个观测点的林场人员分别测 到 C 处出现火情 在 A 处测到火情在北偏西 40 方向 而在 B 处观测到火情在北偏西 60 方向 已知 B 在 A 的 正东方向 10 km 处 现在要确定火场 C 距 A B 多远 将此问题转化为数学问题 即 在 ABC 中 已知 CAB 130 CBA 30 AB 10 km 求 AC 与 BC 的长 这就是一个解三角形的问题 为此我们需要 学习一些解三角形的必要知识 今天要探究的是解三角 形的第一个重要定理 正弦定理 由此展开新课的探究学习 二 研探新知 建构概念二 研探新知 建构概念 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的 等式关系 如图 1 1 2 在 Rt ABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正 弦函数的定义 有 又 sin a A c sin b B c sin1 c C c 则 sinsinsin abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中 sinsinsin abc ABC 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 1 直角三角形中 sinA sinB sinC 1 c a c b 即 c c c A a sinB b sinC c sinA a sinB b sinC c sin 2 斜三角形中 证明一 外接圆法 如图所示 RCD D a A a 2 sinsin 同理 2R 2R B b sinC c sin 证明二 向量法 过 A 作单位向量垂直于由 j AC AC CB AB 两边同乘以单位向量得 j j AC CB j AB 则 jACjCBjAB cos90 cos 90 C j AC j CB cos 90 A j AB AcCasinsin A a sinC c sin 同理 若过 C 作垂直于得 j CB C c sinB b sin A a sinB b sinC c sin 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 sinsinsin abc ABC 正弦定理的应用正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题 1 两角和任意一边 求其它两边和一角 2 两边和其中一边对角 求另一边的对角 进而可求其它的边和角 理解定理理解定理 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同一正数 即 存在正数 k 使si nakA si nbkB si nckC 2 等价于 si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C sinsinsin abc ABC 从而正弦定理可解决两类有关解三角形的问题 已知两边与任一边 求其他两边和一角 a b c O B C A D 已知两边与其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求出其他的边和角 解三角形 解三角形 一般地 把三角形的三个角和它们的对边 a b c 叫做三角形的元素 已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 三 质疑答辩 发展思维三 质疑答辩 发展思维 例例 1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩 其一角已破损 现测得如下数据 为了复原 请计算原玉佩两边的长cmBC57 2 cmBD38 4 0 45 B 0 120 C 结果精确到 cm01 0 分析 将分别延长相交于一点 CEBD A 在中 已知的长度和角与 ABC BCBC 可以通过正弦定理求的长ACAB 解 将分别延长交于一点 在CEBD A 中 ABC cmBC57 2 0 45 B 0 120 C 00 15 180 CBA 因为 所以 B AC A BC sinsin cm A BBC AC02 7 15sin 45sin57 2 sin sin 0 0 cmAB60 8 答 原玉佩两边的长分别约为 cmcm60 8 02 7 点评 点评 1 此类问题结果为唯一解 学生较易掌握 如果已知两角及两角所夹的边 也 是先利用三角形内角和定理求出第三个角 再利用正弦定理 2 解三角形的实际问题中 数字计算往往较烦琐 可借助计算器或其他的计算工具 变式训练变式训练 1 1 在 ABC 中 1 已知 c A 45 B 60 求 b 3 2 已知 b 12 A 30 B 120 求 a 结果保留两个有效数字 解 解 1 C 180 A B 180 45 60 75 sinsin bc BC 3 60 75 1 6 2 sinsin ab AB 12 30 120 6 9 点评 点评 此题为正弦定理的直接应用 意在使学生熟悉正弦定理的内容 可以让数学成 绩较差的学生在黑板上解答 以增强其自信心 A C E D B C E D C BA 例 2 台风中心位于某市正东方向 300处 正以的速度向西北方向移动 距离kmhkm 40 台风中心范围内将会受其影响 如果台风风速不变 那么该市从何时起要遭受台风km250 影响 这种影响持续多长时间 结果精确到 h1 0 分析 台风沿着运动时 由于 所以开始台风影响不了城BDkmkmAB250300 市 由点到台风移动路径的最小距离AABD kmkmABAE250 5 211 2 2 30045sin 0 所以台风在运动过程中肯定要影响城市 这就要在A 上求影响的始点和终点 然后根据台风BDA 1 C 2 C 的速度计算台风从到持续的时间 1 C 2 C 解 设台风中心从点向西北方向沿射线移动 BBD 该市位于点的正西方向处的点 假设经Bkm300A 过 台风中心到达点 则在中 thCABC 0 45 40 250 300 BtkmBCkmACkmAB 由正弦定理得知 A BC C AB B AC sinsinsin 8485 0 5 23 250 45sin300sin sin 0 AC BAB C 利用计算器得角 0 2 0 1 05 58 95 121 CC 当时 0 1 95 121 C 0000 1 0 05 13 95 12145 180 180 CBA 所以 83 79 45sin 05 13sin250 sin sin 0 0 1 1 km B AAC BC h BC t0 2 40 83 79 40 1 1 同理 当时 0 2 05 58 ChtkmBC6 8 4 344 22 6 60 26 8 12 htt 答 约后将要遭受台风影响 持续约 h2h6 6 思考 通过这个问题的解决我们发现 如果已知两边和其中一边的对角 解三角形时会出 现两解的情况 还会出现其他情况吗 为什么有两个解 你还能用其他方法解决这个问题 吗 已知 a b 和 A 用正弦定理求 B 时的各种情况 若 A 为锐角时 a b C B A a b C B A ba babsinA bsinA a sin 锐角一解 一钝一锐二解 直角一解 无解Aba b a b a b a b a a 一 一 一 a b一 A 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 a b CH bsinA a b a CH bsinA a CH bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H HH 若 A 为直角或钝角时 一解 无解 ba ba 无解一解ba ba 变式训练变式训练 2 2 根据下列已知条件 判定有没有解 若有解 判断解的个数 1 求 2 求5 a4 b 120 AB5 a4 b 90 AB 3 求 4 4 a 求5 a 3 310 b 60 AB 3 310 b 60 AB 解 1 只能为锐角 因此仅有一解 120 AB 2 只能为锐角 因此仅有一解 90 AB 3 即 仅有一解 1sin B 90 B 4 由 3 改编 由图知 本题无解 60sin4ba 例 3 在中 ABC yxAB vuAC 求证 的面积ABC 2 1 yuxvS 证明 AACABSsin 2 1 AACAB 222 sin 2 1 cos1 2 1 222 AACAB 222 cos 2 1 AACABACAB 22 2 1 ACABACAB 因为 yxAB vuAC 所以 22222 2 1 yvxuvuyxS 2 1 2 1 2 yuxvyuxv 四 课堂小结 四 课堂小结 1 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 2 正弦定理的证明 3 正弦定理的应用范围 已知三角形的两角和任一边 求三角形的其他边和角 已知三角形的两边和其中一边的对角 求三角形的其他边和角 4 解三角形时根的个数数问题 五 作业布置 五 作业布置 1 1 已知在 BbaCAcABC和求中 30 45 10 00 解 00 30 45 10 CAc 00 105 180 CAB 由得由得 C c A a sinsin 210 30sin 45sin10 sin sin 0 0 C Ac a C c B b sinsin 2565 4 26 2075sin20 30sin 105sin10 sin sin 0 0 0 C Bc b 2 2 在CAacBbABC 1 60 3 0 和求中 解 2 1 3 60sin1sin sin sinsin 0 b Bc C C c B b 000 90 30 60 BCCBCBcb为锐角 2 22 cba