2012年中考数学第二轮复习 专题讲解 几何计算题选讲

用心 爱心 专心 八 八 几何计算题选讲几何计算题选讲 几何计算题历年来是中考的热点问题 几何计算是以推理为基础的几何量的计算 主要有线段 与弧的长度 计算 角和弧的度数计算 三角函数值的计算 线段比值的计算以及面积 体积的计算 从图形上分类有 三 角形 四边形 多边形以及圆的有关计算 解几何计算题的常用方法有 几何法 代数法 三角法等 一 三种常用解题方法举例一 三种常用解题方法举例 例 1 如图 在矩形 ABCD 中 以边 AB 为直径的半圆 O 恰与对边 CD 相切于 T 与对角线 AC 交于 P PE AB 于 E AB 10 求 PE 的长 解法一解法一 几何法 连结 OT 则 OT CD 且 OT AB 5 2 1 BC OT 5 AC 25100 55 BC 是 O 切线 BC2 CP CA PC AP CA CP 554 PE BC PE 5 4 AC AP BC PE 55 54 说明 几何法即根据几何推理 由几何关系式进行求解的方法 推理时特别要注意图形中的隐含条件 解法二解法二 代数法 PE BC AB AE CB PE 2 1 AB CB AE PE 设 PE x 则 AE 2 x EB 10 2 x 连结 PB AB 是直径 APB 900 在 Rt APB 中 PE AB PBE APE EP 2EB 即x 2 10 2x 2 1 AE PE EP EB 解得x 4 PE 4 说明 代数法即为设未知数列方程求解 关键在于找出可供列方程的相等关系 例如 相似三角形中的线段比 例式 勾股定理中的等式 相交弦定理 切割线定理中的线段等积式 以及其他的相等关系 解法三 解法三 三角法 连结 PB 则 BP AC 设 PAB 在 Rt APB 中 AP 10COS 在 Rt APE 中 PE APsin PE 10sin COS 在 Rt ABC 中 BC 5 AC sin 55 5 5 55 5 COS PE 10 4 5 52 55 10 5 52 5 5 说明 在几何计算中 必须注意以下几点 1 注意 数形结合 多角度 全方位观察图形 挖掘隐含条件 寻找数量关系和相等关系 2 注意推理和计算相结合 先推理后计算 或边推理边计算 力求解题过程规范化 3 注意几何法 代数法 三角法的灵活运用和综合运用 二二 其他题型举例其他题型举例 例 2 如图 ABCD 是边长为 2 a 的正方形 AB 为半圆 O 的直径 CE 切 O 于 E 与 O P AB TC D E O B A D C F E 用心 爱心 专心 BA 的延长线交于 F 求 EF 的长 分析 本题考察切线的性质 切割线定理 相似三角形性质 以及正方形有关性质 本题可用代数法求解 解 连结 OE CE 切 O 于 E OE CF EFO BFC 又 OE AB BC EF FB FB FE BC OE 2 1 2 1 2 1 设 EF x 则 FB 2x FA 2x 2a FE 切 O 于 E FE2 FA FB x2 2x 2a 2x 解得x a EF a 3 4 3 4 例 3 已知 如图 O1 与 O2相交于点 A B 且点O1在 O2上 连心线O1O2交 O1于点 C D 交 O2于点 E 过点 C 作 CF CE 交 EA 的延长线于点 F 若 DE 2 AE 52 1 求证 EF 是 O1的切线 2 求线段 CF 的长 3 求 tan DAE 的值 分析 1 连结O1A O1E 是 O2的直径 O1A EF 从而知 EF 是 O1的切线 2 由已知条件 DE 2 AE 且 EA EDC 分别是 O1的切52 线和割线 运用切割 线定理 EA2 ED EC 可求得 EC 10 由 CF CE 可得 CF 是 O1的切线 从而 FC FA 在 Rt EFC 中 设 CF x 则 FE x 又 CE 10 由勾股定理可52得 x 2 52 x2 102 解得 x 即 CF 5454 3 要求 tan DAE 的值 通常有两种方法 构造含 DAE 的直角三角形 把求 tan DAE 的值转化为求某 一直角三角形一锐角的正切 等角转化 在求正切值时 又有两种方法可供选择 分别求出两线段 对边和 邻边 的值 整体求出两线段 对边和邻边 的比值 解 1 连结O1A O1E 是 O2的直径 O1A EF EF 是 O1的切线 2 DE 2 AE 且 EA EDC 分别是 O1的切线和割线52 EA2 ED EC EC 10 由 CF CE 可得 CF 是 O1的切线 从而 FC FA 在 Rt EFC 中 设 CF x 则 FE x 又 CE 10 由勾股定52 理可得 x 2 x2 102 解得 x 即 CF 525454 3 解法一 构造含 DAE 的直角三角形 作 DG AE 于 G 求 AG 和 DG 的值 分析已知条件 在 Rt A O1E中 三边长都已知或可求 O1A 4 O1E 6 又 DE 2 且 DG A O1 因为 DG AE 运用平行分线段成比例可求得 DG 从而 tan DAE 3 54 3 4 AG 5 5 解法二 等角转化 连结 AC 由 EA 是 O1的切线知 DAE ACD 只需求 tan ACD 易得 CAD 900 所以只需求的值即可 观察 AC AD 和分析图形 可得 ADE CAE 从而 tan ACD 即 tan DAE 5 5 10 52 CE AE AC AD 5 5 AC AD 5 5 B O1 D C O2 E A F 用心 爱心 专心 说明 1 从已知条件出发快速地找到基本图形 得到基本结论 在解综合题时更显出它的基础性和重要性 如本题 2 求 CF 的长时 要能很快地运用切割线定理 先求出 CE 的长 2 方程思想是几何计算中一种常用的 重要的方法 要熟练地掌握 例 4 如图 已知矩形 ABCD 以 A 为圆心 AD 为半径的圆交 AC AB 于 M E CE 的延长线交 A 于 F CM 2 AB 4 1 求 A 的半径 2 求 CF 的长和 AFC 的面积 解 1 四边形 ABCD 是矩形 CD AB 4 在 Rt ACD 中 AC2 CD2 AD2 2 AD 2 42 AD2 解得 AD 3 2 A 作 AG EF 于 G BG 3 BE AB AE 1 CE 1013 2222 BEBC 由 CE CF CD2 得 CF 又 B AGE 900 BEC GEA BCE GAE 10 5 8 10 42 2 CE CD 即S AFC CF AG AE CE AG BC 3 103 AG2 1 5 36 例 5 如图 ABC 内接于 O BC 4 S ABC B 为锐角 且关于 x 的方程 x2 4xcosB 1 0 有两个相等36 的实数根 D 是劣弧 AC 上的任一点 点 D 不与点 A C 重合 DE 平分 ADC 交 O于点 E 交 AC 于点 F 1 求 B 的度数 2 求 CE 的长 分析 本题是一道综合了代数知识的几何计算题 考察了圆的有关性质 解题时应注意 线段的转化 解 1 关于 x 的方程 x2 4xcosB 1 0 有两个相等的实数根 4cosB 2 4 0 cosB 或 cosB 舍去 2 1 2 1 又 B 为锐角 B 600 2 点 A 作 AH BC 垂足为 H S ABC BC AH BC AB sin600 解得 AB 6 2 1 2 1 36 在 Rt ABH 中 BH AB cos600 6 3 AH AB sin600 6 CH BC BH 4 3 1 在 Rt ACH 中 2 1 33 2 3 AC2 CH2 27 1 28 AC 负值舍去 AC 连结 AE 在圆内接四边形 ABCD 中 72 72 B ADC 1800 ADC 1200 又 DE 平分 ADC EDC 600 EAC 又 AEC B 600 AEC EAC CE AC 72 例 6 已知 如图 O的半径为 r CE 切 O于点 C 且与弦 AB 的延长线交于点 E CD AB 于 D 如果 CE 2BE 且 AC BC 的长是关于 x 的方程 x2 3 r 2 x r2 4 0 的两个实数根 求 1 AC BC 的长 2 CD 的长 分析 1 图中显然存在切割线定理的基本图形 从而可得 ECB EAC AC 2BC 又 AC BC 是方程的两根 由根与系数关系可列出关于 AC BC 的方程组求解 2 CD 是 Rt CDB 的一边 所以考虑构造直角三角形与 之对应 若过 C 作直径 CF 连结 AF 则 Rt CDB Rt CAF 据此可列式计算 M A E B D C F G O D B A C E H F 用心 爱心 专心 解 1 CE 切 O 于 C ECB A 又 E 是公共角 ECB EAC AC 2BC 由 AC BC 的长 2 1 CE BE AC BC是关于 x 的方程 x2 3 r 2 x r2 4 0 的两个实数根 AC BC 3 r 2 AC BC r2 4 解 得 r 6 BC 4 AC 8 2 CO 并延长交 O于 F 连结 AF 则 CAF 900 CFA CBD CDB 900 CAF CAF CDB CD BC CF CD AC 3 8 12 48 CF BCAC 说明 1 这是一道代数 几何的综合题 关键是寻找相似三角形 建立线段之间的比例关系 再根据根与系 数关系列等式计算 2 构造与相似的直角三角形的方法有许多种 同学们不妨试一试 例 7 如图 ABC 内接于 O AB 是 O的直径 PA 是过 A 点的直线 PAC B 1 求证 PA 是 O的切线 2 如果弦 CD 交 AB 于 E CD 的延长线交 PA 于 F AC CE EB 6 5 AE EB 2 3 求 AB 的长和 FCB 的正切 值 解 1 AB 是 O的直径 ACB 900 CAB B 900 又 PAC B CAB PAC 900 即 PA AB PA 是 O的切线 2 设 CE 6a AE 2x 则 ED 5a EB 3 x 由相交弦定理 得 2x 3x 5a 6a x a 连结 AD 由 BCE DAE 得5 连 5 53 ED EB AD BC 结 BD 由 BED CEA 得 2 5 AE BE AC BD BD 由勾股定理得 BC AD 54 22 8 AB 2 54