常见数列通项公式的求法

常见数列通项公式的求法 第 1 页 共 9 页 常常见见数列通数列通项项公式的求法公式的求法 1 利用等差等比数列通项公式 利用等差等比数列通项公式 例例 1 设是等差数列 是各项都为正数的等比数列 且 n a n b 11 1ab 35 21ab 求 的通项公式 53 13ab n a n b 相关高考相关高考 1 等差数列的前项和为 求数列的通项 n an 13 1293 2 n SaS n a n a 相关高考相关高考 2 实数列等比数列 成等差数列 求数列的通项 是 n a 7456 1 1 aa aa 且 n a n a 2 利用数列的前 利用数列的前项和 项和 n 11 1 1 2 n nn aSn a SSn 例例 2 各项全不为零的数列 ak 的前 k 项和为 Sk 且 Sk N 其中 a1 1 Z 求数列 ak kaa kk 2 1 1 相关高考相关高考 1 已知数列的前项和 则其通项 若它的第项满足 n an 2 9 n Snn n a k 则 58 k a 相关高考相关高考 2 数列的前项和为 求数列的通项 n an n S 1 1a 1 2 nn aSn N n a n a 相关高考相关高考 3 已知各项均为正数的数列的前项和满足 且 n an n S 1 1S 6 1 2 nnn Saa 求的通项公式 n N n a 3 利用递推关系 利用递推关系 3 1 递推关系递推关系 其中其中为常数为常数 1 1 nn aaf n aa a 例例 3 数列中 是常数 且成公比不为 n a 1 2a 1nn aacn c12 3n 123 aaa 1 的等比数列 求的通项公式 n a 相关高考相关高考 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 11 2 21 nn aaan n n a 相关高考相关高考 2 已知数列满足 且 求数列的通项公式 n a 1 12 nn nana 1 2a n a 3 2 递推关系递推关系 其中其中为常数为常数 1 1 nn af n a aa a 常见数列通项公式的求法 第 2 页 共 9 页 例例 4 已知数列的首项 其前项和 求数列的通项公式 n b 1 1b n 1 1 2 nn Snb n b 相关高考 相关高考 数列满足且 求数列的通项公式 n a 112 2 nn naaaa 1 1a n a 3 3 递推关系递推关系 其中其中为常数且为常数且 1 1 nn apaq aa p q a1p 令 整理得 所以 1nn ap a 1 1 nn apap 1pq 即 从而 所以数列是等比数列 1 q p 1 11 nn qq ap a pp 1 n q a p 例例 5 已知数列中 求的通项公式 n a 1 2a 1 21 2 nn aa 1 2 3 n n a 相关高考相关高考 1 设数列的首项 求的通项公式 n a 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan n a 相关高考相关高考 2 已知数列 3 5 7 9 另作一数列 使得 且 n a21n n b 11 ba 当时 求数列的通项公式 2n 1n nb ba n b 相关高考相关高考 3 数列中 设且 求数列的通项公式 n a 1 0 1 n aa 26 1 3 nn aa n a 解 解 由 得 令 有 则 26 1 3 nn aa 313 2loglog6 nn aa 3 log nn ba 1 26 nn bb 所以 1 1 22 2 nn bb 11 2 13 11 22log 1 22 22 nn n n bb 从而 故 2 22 n n b 222 3 n n a 3 4 递推关系递推关系 其中其中为常数且为常数且 为非常数为非常数 1 1 nn apaf n aa p a1p f n 由递推式两边同除以 得 对此采用 3 1 中所述 1nn apaf n 1n p 1 11 nn nnn f naa ppp 的累加法可求 例例 6 在数列中 其中 求 n a 1 11 2 2 2 nn nn aaan N 0 n a 解 解 由N N可得 1 1 2 2 nn nn aan 0 1 1 1 22 1 nn nn nn aa 常见数列通项公式的求法 第 3 页 共 9 页 所以为等数列 其公差为 1 首项为 0 故 2 n n n a 2 1 n n n a n 所以数列的通项公式为 n a 1 2 nn n an 相关高考 相关高考 数列的前项和为且满足 求 n an n S 2 11 1 21 nn aaSnn n a 解 解 由 有 两式相减得 2 1 21 nn aSnn 2 1 2111 nn aSnn 即 两边同除以 得 1 222 nnn aaan 1 322 nn aan 1 3n 令 则 从而 1 11 22 333 nn nnn aan 3 n n n a b 1 11 1 211 333 nn n na bbb 11 1 11 11 211111 121121 22 33334 3322 3 nn n kknn kk kknn bb 故 31 22 n n an 3 5 递推关系递推关系 其中其中为常数为常数 11 12 2 nnn apaqan aaab p q a b 3 5 1 若时 即 知为等比数列 1pq 1pq 11nnnn aaq aa 1nn aa 对此采用 3 1 中所述的累加法可求 例例 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1221 552 1 333 nnn aaaaa n a 解 解 由两边减去 得 所以 21 52 33 nnn aaa 1n a 211 2 3 nnnn aaaa 是公比为 首项为的等比数列 所以 1nn aa 2 3 21 2 3 aa 1 2 3 n nn aa 即 即 1 121 1 22 1 33 222 2 333 1 3 n n n aa 1 2 121 3 n n a 相关高考 相关高考 已知数列中 求数列的通项公式 n a 1221 21 1 2 33 nnn aaaaa n a 常见数列通项公式的求法 第 4 页 共 9 页 解 解 由两边减去 得 所以 21 21 33 nnn aaa 1n a 211 1 3 nnnn aaaa 是公比为 首项为的等比数列 所以 1nn aa 1 3 21 1aa 1 1 1 3 n nn aa 即 即 1 012 1 1 1 1113 1 333 1 3 n n n aa 1 31 11 43 n n a 3 5 2 若时 存在满足 整理得1pq 12 x x 11211nnnn ax axax a 有 从而是等比数 112121nnn axxax x a 1212 xxp x xq 11nn ax a 列 对此采用 3 4 中所述的方法即可 4 利用倒数变形 利用倒数变形 两边取倒数后换元转化为两边取倒数后换元转化为 1 n n n a a paq qpaa nn 1 例例 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a1 13 1 1 1 a a a a n n n n a 解 解 取倒数 是等差数列 11 1 1 3 131 nn n n aa a a n a 1 3 1 11 1 n aan 3 1 1 n 23 1 n an 相关高考相关高考 1 数列满足 且 求 n a 1 3 2 a 1 1 3 2 21 n n n na an an n a 解 解 将条件变为 1 因此为一个等比数列 其首项为 n n a 1 11 1 3 n n a 1 n n a 1 公比 从而 1 据此得 1 1 a 1 3 1 3 n n a n 1 3 n a 3 3 n n n 1 相关高考相关高考 2 数列满足 求数列的通项公式 n a 1 2aa 2 1 2 0 n n a aaa a n a 解 解 所以 1 0 n nn n a aa aaaa a a 1 111 n nnn a aaa aaaaa 常见数列通项公式的求法 第 5 页 共 9 页 令 则 因而是首项为 公差为的等差数列 1 n n b aa 1 1 nn bb a n b 1 1 b a 1 a 所以 故 11 1 n n bn aaa 1 n n a aaa bn 5 利用归纳猜想 利用归纳猜想 例例 9 设正整数数列满足 且对于任何 有 n a 2 4a n N 1 1 11 11 22 11 1 nn nn aa aa nn 1 求 2 求数列的通项 1 a 3 a n a n a 解 解 由 猜想 1 1a 2 4a 3 9a 2 n an 下面用数学归纳法证明 1 当 时 由 1 知均成立 1n 2 2 n an 2 假设成立 则 则时 2 nk k 2 k ak 1nk 由 得 22 11 1111 2 1 2 kk k k akak 22 1 2 1 1 11 k kkk kk a kkk 2 22 1 2 1 1 1 1 11 k k kak kk 因为时 所以 2k 22 1 1 1 2 0kkk kk 2 2 1 01 1 k k 所以 又 所以 1 1k 1 01 1k 1k a N 22 1 1 1 k kak 故 即时 成立 2 1 1 k ak 1nk 2 n an 由 1 2 知 对任意 n N 2 n an 相关高考 相关高考 已知点的序列 其中 是线段的中 0 NnxA nn 0 1 x 0 2 aax 3 A 21A A 点 是线段的中点 是线段的中点 4 A 32A A n A 12 nn AA 1 写出与之间的关系式 n x 21 nn xx3 n 常见数列通项公式的求法 第 6 页 共 9 页 2 设 计算 并求出数列的通项公式 nnn xxa 1321 aaa n a 解 解 1 当当 12 3 2 nn n xx nx 时 2 121 axxa 12 232221 11 222 xx axxxxxa 23 343332 11 224 xx axxxxxa 由此推测 下面用数学归纳法证明 1 1 2 n n aa nN 0 21 1 2 xxaa 1 当n 1时 a公式成立 假设当 n k 时公式成立 即成立 那么当 n k 1 时 1 1 2 k k aa 1 12111 11 222 kk kkkkkkk xx axxxxxa 公式仍成立 1 1 1 111 222 kk aa 综上对任意公式都成立 nN 6 利用函数的不动点 方程的特征根 利用函数的不动点 方程的特征根 6 1 若数列满足 且是方程的 n x 2 2 1 2 0 4 nnn bb xaxbxa a 2 2 2 4 bb xaxbx a 最小根 则 2 1nn xx 例例 10 已知数列满足 求数列的通项公式 n x 2 11 241 1 nnn xxxx n x 解 解 令 则是其最小根 得 由题意知 2 241xxx 1x 2 1 121 nn xx 0 n x 两边取对数 得 两边同时加 1 得 212 log12log11 nn xx 212 log112 log11 nn xx 故是首项为公比为 2 的等比数列 2 log11 n x 21 log112x 常见数列通项公式的求法 第 7 页 共 9 页 所以 故 2 log112n n x 21 21 n n x 6 2 若数列满足且 n x 1 0 0 n n n axb xcadbc cxd 1 1 1 axb x cxd 6 2 1 若方程有两个相异实根 则 axb x cxd 1 1 nn nn xxac xacx 例例 11 已知数列满足 求数列的通项公式 n x 11 72 3 4 n n n x xx x n x 解 解 令 得为其两根 所以有 72 4 x x x 1 2 1 1 116 252 nn nn xx xx 所以数列是以为首项 以为公比的等比数列 1 2 n n x x 1 1 1 2 2 x x 6 5 所以 故 1 16 2 25 n n n x x 1 1 2 6 21 5 nn x 6 2 2 若方程有两个相等实根 且 则 axb x cxd ad 1 121 nn c xadx 例例 12 已知数列满足 求数列的通项公式 n x 11 311 472 n n n x xx x n x 解 解 令 得为其根 所以 31 47 x x x 1 2 x 1 114 11 5 22 nn xx 所以数列是以为首项 以为公差的等差数列 1 1 2 n x 1 1 1 1 2 x 4 5 所以 故 14 11 1 5 2 n n x 94 28 n n x n 6 3 若数列满足 若是方程的两个相异实根 则 n x 2 1 0 2 n n n axc xa axf 2 2 axc x axf 常见数列通项公式的求法 第 8 页 共 9 页 2 1 1 nn nn xx xx 例例 13 已知数列满足 求数列的通项公式 n x 2 11 3219 656 n n n