高三数学-盐城中学2016届高三上学期阶段考试12月份月考数学试题

1 江苏省盐城中学高三年级阶段考试江苏省盐城中学高三年级阶段考试 数学数学 I I 试题试题 2015 12 11 2015 12 11 编制人 蔡广军 马岚 审核人 姚动 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 题 每小题题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 请把答案填写在答题纸相应位置分 请把答案填写在答题纸相应位置 上 上 1 已知集合 02Mxx 1Nx x 则MN 2 函数 3sin 2 4 f xx 的最小正周期为 3 若函数 4 2 x x a y 是奇函数 则实数a等于 4 已知直线 1 l 210axya 和 2 l 2 1 20 xay a R 则 12 ll 的充要条件是 a 5 设 x y为正实数 且9xy 则 11 xy 的最小值是 6 若Sn为等差数列 an 的前n项和 S13 104 则a7的值为 7 已知实数yx 满足线性约束条件 240 10 1 xy xy x 则目标函数zxy 的最大值是 8 已知函数 2 1 33 1 x x f x xx 则满足 4f a 的实数a的取值范围是 9 若直线3yxb 是曲线 32 3yxx 的一条切线 则实数b的值是 10 已知直线0 myx与圆4 22 yx交于不同的两点A B O是坐标原点 若 圆周上存在一点 C 使得ABC 为等边三角形 则实数m的值为 11 若0 4 且tan2cos2 4 则 的值为 12 如图 已知直角梯形 ABCD 中 AB CD BCD 600 E 是线段 AD 上靠近 A 的三等分点 F 是线段 DC 的中点 若 AB 2 AD 3 则EB EF A 13 已知三个互不相等的整数 x y z之和在区间 40 44 内 若 x y z依次 2 构成公差为d的等差数列 xy yz zx 依次构成公比为q的等比数列 则d q 的值为 14 对于实数a和b 定义运算 baabb baaba ba 2 2 设 1 12 xxxf 且关于x的方程为f x m m R R 恰有三个互不相等的实数 根 123 xxx 则 123 xxx 的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在ABC 中 内角CBA 所对的边分别为cba 已知 B b A a cos3sin 求角B的值 求CAsinsin 的取值范围 16 本小题满分 14 分 平面直角坐标系xoy中 直线20 xy 截以原点O为圆心的圆所得的弦长 为2 2 求圆O的方程 3 B A C P Q 过点 2 4 P的直线l与圆O相切 求直线l的方程 17 本小题满分 14 分 一农村合作社新承包了一块如图所示的等腰直角三角形荒地ABC 用于开发利用 其 中90C ACa 米 现需要在该荒地上划一条分割线PQ PQ为直线段 其中 P Q分别在线段 AB AC上 以将该土地划分成面积相等的两块 分别种植两种不同的 作物 请你设计合理的分割线 以解决下面的问题 设AQ为x AP为y 求y关于x的函数关系式 并写出定义域 如果准备在分割线上建造一道栅栏 请设计分割线使建造 栅栏的费用最少 并求出此时分割线的长度 如果准备在分割线上种植一排果树 且假定单位长度的果树 产量一定 请设计分割线使果树产量最大 并且求出此时分割线的长度 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知A B C是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上不同的三点 4 3 2 3 2 2 A 3 3 B C在第三象限 线段BC的中点在直线OA上 求椭圆的标准方程 求点C的坐标 设动点P在椭圆上 异于点A B C 且直线PB PC分别交直线OA于M N两点 证明OM ON 为定值并求出该定值 19 本小题满分 16 分 设数列 n a n b n c 已知4 1 a 3 1 b 5 1 c nn aa 1 2 1 nn n ca b 2 1 nn n ba c N n 求数列 nn bc 的通项公式 求证 对任意 N n nn cb 为定值 设 n S为数列 n c的前n项和 若对任意 N n 都有 3 1 4 nSp n 求实 数p的取值范围 20 本小题满分 16 分 已知函数 lnf xx 若方程 f xxa 有且只有一个实数解 求a的值 若函数 2 15 22 g xf xxmx m 的极值点 1212 x x xx 恰好是函数 2 h xf xcxbx 的零点 求 12 12 2 xx yxx h 的最小值 5 江苏省盐城中学高三年级阶段考试江苏省盐城中学高三年级阶段考试 数学数学 IIII 附加题 附加题 2015 12 11 2015 12 11 21 选做题 本题包括 A B C D 共 4 小题 请从这 4 题中选做 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 请在答题卡上准确填涂题目标记 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在正 ABC 中 点 D E 分别在边 AC AB 上 且 AD 1 3 AC AE 2 3 AB BD CE 相交于点 F 求证 A E F D 四点共圆 若正 ABC 的边长为 2 求 A E F D 所在圆的半径 B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 1 2 a A b 属于特征值 4 的一个特征向量为 2 3 求 2 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 直线 4 2 2cos 1 24 xat ltC yt 为参数圆 极轴与x轴的非负半轴重合 6 且单位长度相同 求圆心 C 到直线l的距离 用a表示 若直线l被圆 C 截的弦长为 6 5 5 a求的值 D 选修 4 5 不等式选讲 设函数 222f xxx 求不等式2 xf的解集 若Rx 2 7 2 f xtt 恒成立 求实数t的取值范围 22 必做题 本题满分 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 已知 ABCD 是正方形 直线 AE平面 ABCD 且 AB AE 1 求异面直线 AC DE 所成的角 求二面角DCEA 的大小 23 必做题 本题满分 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如 7 果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 nN 的函数解析式 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花 X表示当天的利润 单位 元 求X的分布列 数学期 望 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 你认为应购进 16 枝还是 17 枝 请说明理由 日需求量n 14151617181920 频数 10201616151310 8 高三数学练习高三数学练习 2015 12 11 2015 12 11 参考答案参考答案 一 填空题 共一 填空题 共 1414 题 每小题题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 已知集合 02Mxx 1Nx x 则MN 12xx 2 函数 3sin 2 4 f xx 的最小正周期为 3 若函数 4 2 x x a y 的图象关于原点对称 则实数a等于 1 4 已知直线1 l 210axya 和 2 l 2 1 20 xay a R 则 12 ll 的充要条件是 1 3 5 设 x y为正实数 且9xy 则 11 xy 的最小值是 2 3 6 若Sn为等差数列 an 的前n项和 S13 104 则a7的值为 8 7 已知实数yx 满足线性约束条件 240 10 1 xy xy x 则目标函数zxy 的最大值是 3 8 已知函数 2 1 33 1 x x f x xx 则满足 4f a 的实数a的取值范围是 1 2 3 9 若直线3yxb 是曲线 32 3yxx 的一条切线 则实数b的值是 1 10 已知直线0 myx与圆4 22 yx交于不同的两点A B O是坐标原点 若 圆周上存在一点 C 使得ABC 为等边三角形 则实数m的值为 2 11 若 0 4 且 tan 2cos2 4 则 的值为 12 12 已知直角梯形 ABCD 中 AB CD BCD 600 E 是线段 AD 上靠近 A 的三等分点 F 是 线段 DC 的中点 若 AB 2 AD 3 则EB EF A 7 3 13 已知三个互不相等的整数 x y z之和在区间 40 44 内 若 x y z依次构成 公差为d的等差数列 xy yz zx 依次构成公比为q的等比数列 则d q 的值为 9 42 14 对于实数a和b 定义运算 baabb baaba ba 2 2 设 1 12 xxxf 且关于x的方程为f x m m R R 恰有三个互不相等的实数 根 123 xxx 则 123 xxx 的取值范围是 答案 123 53 1 4 xxx 二 解答题 共二 解答题 共 9090 分 第分 第 1515 1616 1717 题各题各 1414 分 第分 第 1818 1919 2020 题各题各 1616 分 分 15 在ABC 中 内角CBA 所对的边分别为cba 已知 B b A a cos3sin 求角B的值 求CAsinsin 的取值范围 解 由正弦定理 B B A A cos3 sin sin sin 3tan B 0 B 3 B 7 分 由 知 3 sin sinsinsin AACA 6 sin 3cos 2 3 sin 2 3 AAA 3 2 0 A 6 5 6 6 A 1 2 1 6 sin A 3 2 3 sinsin CA 14 分 16 平面直角坐标系xoy中 直线20 xy 截以原点O为圆心的圆所得的弦长 为2 2 1 求圆O的方程 2 过点 2 4 P的直线l与圆O相切 求直线l的方程 解 1 22 4xy 10 2 2x 或 35 42 yx 17 一农村合作社新承包了一块如图所示的等腰直角三角形荒地ABC 用于开发利用 其 中90C ACa 米 现需要在该荒地上划一条分割线PQ PQ为直线段 其中 P Q分别在线段 AB AC上 以将该土地划分成面积相等的两块 分别种植两种不同的作物 请你设计合理的分割线 以解决下面的 问题 1 如果准备在分割线上建造一道栅栏 请设计分割线使建 造栅栏的费用最少 并求出此时分割线的长度 2 如果准备在分 割线上种植一排果树 且假定单位长度的果树产量一定 请设计分 割线使果树产量最大 并且求出此时分割线的长度 1 设 0 AQxxa 02 APyya 则 2 11 sin45 24 APQ Sxya 2 2 0 2 2 a ya x 1 2 xa 又0 xa 2 21 22 a ya a x 2 在APQ 中 由余弦定理可得 4 22222 2 2cos45 2 a PQxyxyxa x 4 2222 2 221 2 a PQxaa x 故当 4 8 2 APAQa 时 分割线PQ的长度取得 最小值为21a 此时建造栅栏费用最少 3 令 4 22 2 1 22 a f xxaxa a x 则 4 3 2 a fxx x 令 0fx 得 4 8 2 xa 且当 4 18 22 xaa 时 0fx 当 4 8 2 xa a 时 0fx 又 22 151 242 faaf aa 2 max 15 24 f xfaa 此时 1 2 2 xa ya 分 割线PQ的长度为 5 2 a 故当P取在B点 Q取在AC中点时 分割线PQ的长度取得 B A C P Q 11 最大值为 5 2 a 此时可使果树的产量最大 18 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知A B C是 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上不同的三点 3 2 3 2 2 A 3 3 B C在第三象限 线段BC的中点在直线 OA上 1 求椭圆的标准方程 2 求点C的坐标 3 设动点P在椭圆上 异于点A B C 且直线PB PC分别交直线OA于M N两点 证明OM ON 为定值并求出该定值 答案 1 22 1 27 27 2 xy 2 5 1 3 45 2 所以椭圆的标准方程为 22 1 27 27 2 xy 3 分 12 19 设数列 n a n b n c 已知4 1 a 3 1 b 5 1 c nn aa 1 2 1 nn n ca b 2 1 nn n ba c N n 1 求数列 nn bc 的通项公式 2 求证 对任意 N n nn cb 为定值 3 设 n S为数列 n c的前n项和 若对任意 N n 都有 3 1 4 nSp n 求实数 p的取值范围 解 1 因为 nn aa 1 4 1 a 所以4 n a N n 分 所以2 22 4 2 1 nnnn n ccca b 2 22 1 nnn n bba c 2 1 2 1 11nnnnnn bccbbc 2 分 即数列 nn bc 是首项为2 公比为 2 1 的等比数列 所以 1 2 1 2 n nn bc 4 分 2 解 4 2 1 11 nnnn cbcb 6 分 所以 8 2 1 4 2 8 11 nn nn nn cb cb cb 8 分 13 而08 11 cb 所以由上述递推关系可得 当 N n时 08 nn cb恒成立 即 nn ba 恒为定值 10 分 3 由 1 2 知 1 2 1 2 8 n nn nn bc cb 所以 1 2 1 4 n n c 12 分 所以 n n n nnS 2 1 1 3 2 4 2 1 1 2 1 1 4 所以 n n p nSp 2 1 1 3 2 4 由 3 1 4 nSp n 得3 2 1 1 3 2 1 n p 因为0 2 1 1 n 所以 nn p 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 14 分 当n为奇数时 nn 2 1 1 1 2 1 1 1 随n的增大而递增 且1 2 1 1 1 0 n 当n为偶数时 nn 2 1 1 1 2 1 1 1 随n的增大而递减 且1 2 1 1 1 n 所以 n 2 1 1 1 的最大值为 3 4 n 2 1 1 3 的最小值为2 由 nn p 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 得2 3 2 3 4 p 解得32 p 所以 所求实数p的取值范围是 3 2 16 分 14 20 已知函数 lnf xx 1 若方程 f xxa 有且只有一个实数解 求a的值 2 若函数 2 15 22 g xf xxmx m 的极值点 1212 x x xx 恰好是函数 2 h xf xcxbx 的零点 求 12 12 2 xx yxx h 的最小值 解 1 1a 2 2 15 ln 22 g xxxmx m 2 1 xmx g x x 由已知条件得方程 2 10 xmx 的两根为 12 x x 当 5 2 m 时方程 2 10 xmx 的0 则 1212 1xxm x x 又由 12 x x为 2 lnh xxcxbx 的零点可得 2 111 ln0 xcxbx 2 222 ln0 xcxbx 两式相减得 1 121212 2 ln0 x c xxxxb xx x 可解得 1 2 12 12 ln x x bc xx xx 而 1 2h xcxb x 所以 12 121212 12 2 2 xx yxxhxxc xxb xx 结合 式得 1 2 12 1212 ln 2 x x yxx xxxx 12 1 122 2 ln xxx xxx 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x 令 1 2 01 x tt x 由 1212 1xxm x x 可得 2 1 2tm t 又 5 2 m 于是可得 1 0 4 t 设函数 21 ln 1 t G tt t 则 2 2 1 0 1 t G t t t 则 yG t 在 1 0 4 t 上单调递减 所以 min 16 ln4 45 G tG 即 12 12 2 xx yxx h 的最小值为 6 ln4 5 15 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在正 ABC 中 点 D E 分别在边 AC AB 上 且 AD 1 3 AC AE 2 3 AB BD CE 相交于点 F 求证 A E F D 四点共圆 若正 ABC 的边长为 2 求 A E F D 所在圆的半径 证明 2 3 AEAB 1 3 BEAB 在正 ABC中 1 3 ADAC ADBE 又 ABBC BADCBE BAD CBE ADBBEC 即 ADFAEF 所以A E F D 四点共圆 5 分 解 如图 取 AE 的中点G 连结GD 则 1 2 AGGEAE 2 3 AEAB 12 33 AGGEAB 12 33 ADAC 60DAE AGD为正三角形 2 3 GDAGAD 即 2 3 GAGEGD 所以点G是 AED外接圆的圆心 且圆G的半径为 2 3 由于A E F D 四点共圆 即A E F D 四点共圆G 其半径为 2 3 10 分 B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 1 2 a A b 属于特征值 4 的一个特征向量为 2 3 求 2 A 由条件 122 4 233 a b 238 2612 a b 解得 2 3 a b 5 分 12 32 A 2 76 910 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 直线 4 2 2cos 1 24 xat ltC yt 为参数圆 极轴与x轴的非负半轴重合 且单位长度相同 16 求圆心 C 到直线l的距离 若直线l被圆 C 截的弦长为 6 5 5 a求的值 解 把 ty tax 21 4 化为普通方程为 022 ayx 把 4 cos 22 化为直角坐标系中的方程为 022 22 yxyx 4 分 圆心 1 1 C 到直线的距离为 5 1 5a 5 分 由已知圆的半径为2 弦长的一半为 3 5 所以 2 2 2 13 2 55 a 8 分 02 2 aa 02aa 或 10 分 D 选修 4 5 不等式选讲 设函数 222f xxx 求不等式2 xf的解集 若Rx 2 7 2 f xtt 恒成立 求实数t的取值范围 解 4 1 3 12 4 2 xx f xxx xx 2 分 当1 42 6 6xxxx 当 22 12 32 2 33 xxxx 当2 42 2 2xxxx 综上所述 2 6 3 x xx 或 5 分 17 易得 min 1 3f xf 若Rx ttxf 2 11 2 恒成立 则只需 22 min 73 327602 22 f xttttt 综上所述 3 2 2 t 10 分 22 必做题 本题满分 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 已知 ABCD 是正方形 直线 AE平面 ABCD 且 AB AE 1 求