2011年《新高考全案》高考数学总复习第一轮复习测评卷第十七章第四讲

专心 爱心 用心1 20112011 年年 新高考全案新高考全案 高考总复习第一轮复习测评卷第十七章高考总复习第一轮复习测评卷第十七章 第四讲第四讲 一 选择题 1 用数学归纳法证明 1 x x2 xn 1 x 1 n N N 在验证n 1 1 xn 2 1 x 时 左边计算的结果是 A 1 B 1 x C 1 x x2 D 1 x x2 x3 解析 等式左边共有n 2 项 故选 C 答案 C 2 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n N N 时 从n k到n k 1 时 等式左边应增乘的代数式是 A 2k 1 B 2k 1 k 1 C D 2k 1 2k 2 k 1 2k 3 k 1 解析 n k时等式左边f k k 1 k 2 k k n k 1 时等式左边f k 1 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k 4 k k 2k 1 2k 2 f k 故选 C 2k 1 2k 2 k 1 答案 C 3 用数学归纳法证明 1 n n N N 时 从n k到n k 1 时 1 2 1 3 1 2n 1 不等式左边应增加的项数是 A 2k 1 B 2k 1 C 2k D 2k 1 解析 当n k时 不等式左边f k 1 1 2 1 3 1 2k 1 专心 爱心 用心2 当n k 1 时 不等式左边f k 1 1 1 2 1 3 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 1 f k 故选 C 1 2k 1 2k 1 1 2k 2k 1 答案 C 4 2007 上海卷理 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题总成立的是 A 若f 3 9 成立 则当k 1 时 均有f k k2成立 B 若f 5 25 成立 则当k 5 时 均有f k k2成立 C 若f 7 49 成立 则当k 8 时 均有f k k2成立 D 若f 4 25 成立 则当k 4 时 均有f k k2成立 答案 D 5 设函数f n 2n 9 3n 1 9 当n N N 时 f n 能被m m N N 整除 猜想m的 最大值为 A 9 B 18 C 27 D 36 解析 由f n 1 f n 36 3n 1 n 6 知m的最大值为 36 答案 D 6 平面内有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 且每三个圆都不相交于同一点 则 这n个圆将平面分成几个部分 A 2n个 B 2n个 C n2 n 2 个 D n2 n 1 个 解析 n 2 时 分成 4 部分 可排除 D n 3 时 分成 8 部分 可排除 A n 4 时 分成 14 部分 可排除 B 故选 C 下面用数学归纳法证明 记f n n2 n 2 1 当n 1 时 一个圆把平面分成两部分 12 1 2 2 命题成立 2 假设当n k时命题成立 k N N 即k个圆把平面分成k2 k 2 个部分 当n k 1 时 这k 1 个圆中的k个圆把平面分成了k2 k 2 个部分 第k 1 个圆 被前k个圆分成 2k条弧 每条弧把它所在的部分分成了两块 这时共增加了 2k个部分 即k 1 个圆把平面分成 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 个部分 这说明当 专心 爱心 用心3 n k 1 时命题也成立 由 1 2 知 对一切n N N 命题都成立 答案 C 二 填空题 7 用数学归纳法证明不等式 的过程 由n k推导 1 n 1 1 n 2 1 n n 13 24 n k 1 时 不等式的左边增加的式子是 解析 不等式的左边增加的式子是 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 2k 1 2k 2 答案 1 2k 1 2k 2 8 用数学归纳法证明 1 2 n N N 且n 1 第一步要证的不等式 1 2 1 3 1 2n 1 是 解析 n 2 时 左边 1 1 右边 2 1 2 1 22 1 1 2 1 3 答案 1 2 1 2 1 3 9 数列 an 满足a1 2 an 1 试观察分析a2 a3 a4 归纳推测出 an 3an 1 an 解析 a1 2 an 1 a2 a3 a4 an an 3an 1 a1 3a1 1 2 7 a2 3a2 1 2 13 a3 3a3 1 2 19 2 6n 5 答案 2 6n 5 三 解答题 10 设an 1 n N N 是否存在n的整式g n 使得等式 1 2 1 3 1 n a1 a2 an 1 g n an 1 对大于 1 的一切自然数n都成立 证明你的结论 解 假设g n 存在 探索g n 当n 2 时 由a1 g 2 a2 1 得g 2 2 当n 3 时 由a1 a2 g 3 a3 1 得g 3 3 当n 4 时 由a1 a2 a3 g 4 a4 1 得g 4 4 由此猜想g n n n 2 n N N 下面用数学归纳法证明 当n 2 n N N 时 等式a1 a2 an 1 n an 1 成立 专心 爱心 用心4 1 当n 2 时 左边 a1 1 右边 2 a2 1 2 1 等式成立 1 2 2 假设当n k k 2 k N N 时等式成立 即a1 a2 ak 1 k ak 1 那么n k 1 时 a1 a2 ak 1 ak k ak 1 ak k 1 ak k k 1 ak k 1 1 k 1 k 1 ak 1 k 1 k 1 ak 1 1 当n k 1 时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切大于 1 的自然数n 都存在g n n 使等式 a1 a2 an 1 g n an 1 都成立 11 2009 陕西卷理 已知数列 xn 满足 x1 xn 1 n N N 1 2 1 1 xn 1 猜想数列 xn 的单调性 并证明你的结论 2 证明 xn 1 xn n 1 1 6 2 5 证明 1 由x1 及xn 1 得x2 x4 x4 由x2 x4 x6猜想 数 1 2 1 1 xn 2 3 5 8 13 21 列 x2n 是递减数列 下面用数学归纳法证明 当n 1 时 已证命题成立 假设当n k时命题成立 即x2k x2k 2易知x2k 0 那么 x2k 2 x2k 4 1 1 x2k 1 1 1 x2k 3 x2k 3 x2k 1 1 x2k 1 1 x2k 3 0 x2k x2k 2 1 x2k 1 x2k 1 1 x2k 2 1 x2k 3 即x2 k 1 x2 k 1 2 也就是说 当n k 1 时命题也成立 结合 1 和 2 知 命题成立 2 当n 1 时 xn 1 xn x2 x1 结论成立 1 6 当n 2 时 易知 0 xn 1 1 1 xn 1 2 xn 1 1 xn 1 1 2 1 xn 1 xn 1 1 1 xn 1 2 xn 1 1 1 xn 1 5 2 xn 1 xn 1 1 xn 1 1 xn 1 xn xn 1 2 xn 1 xn 2 n 1 x2 x1 n 1 xn xn 1 1 xn 1 xn 1 2 5 2 5 2 5 1 6 2 5 专心 爱心 用心5 亲爱的同学请你写上学习心得 1 数学归纳法