2012高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 名师预测卷 5

用心 爱心 专心 1 卷卷 5 5 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分分 1 复数在复平面上对应的点在第 象限 2 i i 2 某商场有四类食品 其中粮食类 植物油类 动物性食品类及果蔬类分别有 40 种 10 种 30 种 20 种 从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测 若采用分层抽样 的方法抽取样本 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 3 已知集合 5 Ax x 集合 Bx xa 若命题 xA 是命 题 xB 的充分不必要条件 则实数a的取值范围是 4 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 AB 1 BC 2 AC AA1 3 5 M为线段BB1上的一动点 则当AM MC1最小时 AMC1的面积 为 第 4 题 5 集合 2 3 log AaBa b 若 2 AB 则AB 6 阅读如图所示的程序框 若输入的n是 100 则输出的变量S的值 是 7 向量 cos10 sin10 cos70 sin70 ab 2 ab 8 方程lg 2 1xx 有 个不同的实数根 9 设等差数列的前项和为 若 则的取值范围是 n an n S 5 a42 6 a3 6 S 10 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左焦点 0 0 Fcc 作圆 2 22 4 a xy 的切 线 切点为E 直线FE交双曲线右支于点P 若 1 2 OEOFOP 则双曲线的离 心率为 11 若函数 2 ln2f xmxxx 在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 12 如果圆 22 4xaya 上总存在两个点到原点的距离为 1 则实数a的取值范围是 13 已知实数 x y满足13xxyy 则xy 的最大值为 14 当n为正整数时 函数 N n表示n的最大奇因数 如 3 3 10 5 NN 设 1 2 3 4 21 2 nn n SNNNNNN 则 n S 答案答案 1 四 2 6 3 5a 4 5 2 3 4 6 5049 7 7 3 8 2 2 9 3 12 42 10 11 1 2 m 12 322 3 2 2 2222 13 4 14 10 2 用心 爱心 专心 2 42 3 n 二 解答题二 解答题 本大题共六小题 共计本大题共六小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 在锐角中 角 所对的边分别为 已知 ABC ABCabc 3 cos2 4 C 1 求 2 当 且时 求 sinC2ca 3 7b a 解 1 由已知可得 所以 2 3 12sin 4 C 2 7 sin 8 C 2 分 因为在中 所以 4ABC sin0C 14 sin 4 C 分 2 因为 所以 6 分2ca 114 sinsin 28 AC 因为是锐角三角形 所以 8 分ABC 2 cos 4 C 5 2 cos 8 A 所以 sinsin BAC sincoscossinACAC 1425 214 8484 3 7 8 11 分 由正弦定理可得 所以 3 7 sinsin a BA 14a 14 分 说明 用余弦定理也同样给分 16 本题满分 14 分 如图 是边长为的正方形 平面 ABCD3DE ABCD DEAF AFDE3 1 求证 平面 AC BDE 2 设点是线段上一个动点 试确定点的位置 MBDM 使得平面 并证明你的结论 AMBEF 解 1 证明 因为平面 DE ABCD 所以 2 分ACDE 因为是正方形 ABCD 所以 因为 4 分BDAC DEBDD 从而平面 6 分AC BDE 2 当M是BD的一个三等分点 即 3BM BD时 AM 平面BEF 7 分 取BE上的三等分点N 使 3BN BE 连结MN NF 则DE MN 且DE 3MN 因为AF DE 且DE 3AF 所以AF MN 且AF MN 故四边形AMNF是平行四边形 10 分 所以AM FN 因为AM平面BEF FN平面BEF 12 分 所以AM 平面BEF 14 分 17 本题满分 14 分 已知椭圆的中心为坐标原点 短轴长为 2 一条准线方程为l 2x 用心 爱心 专心 3 求椭圆的标准方程 设O为坐标原点 F是椭圆的右焦点 点M是直线l上的动点 过点F作OM的垂线 与以OM为直径的圆交于点N 求证 线段ON的长为定值 解 椭圆C的短轴长为 2 椭圆C的一条准线为l 2x 不妨设椭圆C的方程为 2 2 2 1 x y a 2 2 分 分 22 1 2 ac cc 4 4 分 分 即1c 5 5 分 分 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 6 6 分 分 F 1 0 右准线为l 2x 设 00 N xy 则直线FN的斜率为 0 0 1 FN y k x 直线ON的斜率为 0 0 ON y k x 8 8 分 分 FN OM 直线OM的斜率为 0 0 1 OM x k y 9 9 分 分 直线OM的方程为 0 0 1x yx y 点M的坐标为 0 0 2 1 2 x M y 1111 分 分 直线MN的斜率为 0 0 0 0 2 1 2 MN x y y k x 1212 分 分 MN ON 1 MNON kk 0 0 00 00 2 1 1 2 x y yy xx 2 0000 2 1 2 0yxx x 即 22 00 2xy 1313 分 分 2ON 为定值 1414 分 分 说明说明 若学生用平面几何知识 圆幂定理或相似形均可 也得分 设垂足为P 准线l 与x轴交于Q 则有 又 所以为定值 2 ONOP OM g2OP OMOF OQ gg2ON 18 本题满分 16 分 如图 直角三角形ABC中 B 90 AB 1 BC 3 点M N分别在边AB和AC 上 M点和B点不重合 将 AMN沿MN翻折 AMN变为 A MN 使顶点 A 落在边BC 上 A 点和B点不重合 设 AMN 1 用 表示线段AM的长度 并写出 的取值范围 2 求线段A N 长度的最小值 解 1 设MAMAx 则1MBx 2 2 分 分 在 Rt MB A 中 1 cos 1802 x x 4 4 分 分 2 11 1cos22sin MAx 5 5 分 分 点M在线段AB上 M点和B点不重合 A 点和B点不重合 4590 7 7 分 分 2 在 AMN中 ANM 120 8 8 分 分 sinsin 120 ANMA 9 9 分 分 2 1 sin 2sin sin 120 AN 1 2sin sin 120 1010 分 分 用心 爱心 专心 4 令 13 2sin sin 120 2sin sincos 22 t 2 sin3sin cos 1311 sin2cos2sin 230 2222 1313 分 分 4590 60230150 1414 分 分 当且仅当23090 60 时 有最大值 3 2 1515 分 分 60 时 A N 有最小值 2 3 1616 分 分 19 本题满分 16 分 已知kR 函数 01 01 xx f xmk nmn 1 如果实数 m n满足1 1mmn 函数 f x是否具有奇偶性 如果有 求出相应的k 值 如果没有 说明为什么 2 如果10 mn 判断函数 f x的单调性 3 如果2m 1 2 n 且0k 求函数 yf x 的对称轴或对称中心 解 1 如果 f x为偶函数 则 fxf x xxxx mk nmk n 恒成立 1 1 分 分 即 xxxx nk mmk n 0 xxxx nmk mn 1 0 xx nmk 2 2 分 分 由0 xx nm 不恒成立 得1 k 3 3 分 分 如果 f x为奇函数 则 fxf x xxxx mk nmk n 恒成立 4 4 分 分 即 xxxx nk mmk n 0 xxxx nmk mn 5 5 分 分 1 0 xx nmk 由0 xx nm 恒成立 得1 k 6 6 分 分 2 10 mn 1 m n 当0k 时 显然 xx f xmk n 在R上为增函数 8 8 分 分 当0k 时 lnln lnln 0 xxxx m fxmmknnmkn n n 由0 x n 得 lnln0 x m mkn n 得 ln log ln x m mn kkn nm 得log log mm n xkn 9 9 分 分 当 log log mm n xkn 时 0fx f x为减函数 1010 分 分 当 log log mm n xkn 时 0fx f x为增函数 1111 分 分 3 当 1 2 2 mn 时 22 xx f xk 如果0 k 22 log log 222 222222 kkxxxxxxxx f xkk 1 13 3分分 则 2 log fkxf x 函数 yf x 有对称中心 2 1 log 0 2 k 1414 分 分 如果0 k 22 loglog 2222222 kkxxxxxx f xk 1515 分 分 则 2 log fkxf x 函数 yf x 有对称轴 2 1 log 2 xk 1616 分 分 20 本题满分 16 分 已知各项均不为零的数列 an 的前n项和为Sn 且满足a1 c 2Sn anan 1 r 1 若r 6 数列 an 能否成为等差数列 若能 求c满足的条件 若不能 请说明 理由 用心 爱心 专心 5 2 设 3211 1234212 n n nn aaa P aaaaaa 224 2345221 n n nn aaa Q aaaaaa 若r c 4 求证 对于一切n N N 不等式 2 nn nPQnn 恒成立 解 1 n 1 时 2a1 a1a2 r a1 c 0 2c ca2 r 2 2 r a c 1 1 分 分 n 2 时 2Sn anan 1 r 2Sn 1 an 1an r 得 2an an an 1 an 1 an 0 an 1 an 1 2 3 3 分 分 则a1 a3 a5 a2n 1 成公差为 2 的等差数列 a2n 1 a1 2 n 1 a2 a4 a6 a2n 成公差为 2 的等差数列 a2n a2 2 n 1 要使 an 为等差数列 当且仅当a2 a1 1 即21 r c c r c c2 4 4 分 分 r 6 c2 c 6 0 c 2 或 3 当c 2 3 0a 不合题意 舍去 当且仅当3c 时 数列 n a为等差数列 5 5 分 分 2 212nn aa a1 2 n 1 a2 2 n 1 a1 a2 r c c 2 221nn aa a2 2 n 1 a1 2n a2 a1 2 r c c 8 8 分 分 n P 1 1 1 1 2 1 2 22 n n nan nc rr cc cc 9 9 分 分 2 1 1 1 2 1 2 n n nr Qnan n rr c cc cc 1010 分 分 11 1 1 2 nn r PQn ncn n rr c cc cc 2 1 111 22 r c c nn rrrr cccc cccc 1111 分 分 r c 4 2 r cr c 4 2 r c c 2 0 11113 244 2 rr cc cc 1 1313 分 分 且 1 111 1 22 r ccc c rrrr cccc cccc 1 1414 分 分 又 r c 4 1 r c 则 0 12 r cc c 01 r cc c 1 2 c r c c 1 1 1 c r c c 11 1 2 cc rr cc cc 1 1515 分 分 对于一切n N N 不等式 2 nn nPQnn 恒成立 1616 分 分 附加题部分 21 21 选做题 本大题包括 A A B B C C D D 共 4 小题 请从这 4 题中选做 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 请在答题卡上准确填涂题目标记 解答时应写出文字说明 证明 过程或演算步骤 A A 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O上一点 用心 爱心 专心 6 AE AC 求证 PDE POC 证明证明 因AE AC AB为直径 故 OAC OAE 3 分 所以 POC OAC OCA OAC OAC EAC 又 EAC PDE 所以 PDE POC 10 分 B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换矩阵与变换 已知矩阵M 2 21 a 其中Ra 若点 1 2 P 在矩阵M的变换下得到点 4 0 P 1 求实数a的值 2 求矩阵M的特征值及其对应的特征向量 解 1 由 2 21 a 1 2 4 0 2 2 分 分 2243aa 3 3 分 分 2 由 1 知M 23 21 则矩阵M的特征多项式为 2 23 2 1 634 21 f 5 5 分 分 令0 f 得矩阵M的特征值为1 与 4 6 6 分 分 当1 时 2 30 0 2 1 0 xy xy xy 矩阵M的属于特征值1 的一个特征向量为 1 1 8 8 分 分 当4 时 2 30 230 2 1 0 xy xy xy 矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为 3 2 1010 分 分 C C 选修 选修 4 4 4 4 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy中 动圆 R R 的 222 8 cos6 sin7cos80 xyxy q 圆心为 求的取值范围 00 P xy 00 2xy 解 由题设得 为参数 R R 5 分 0 0 4cos 3sin x y q q q q 于是 00 28cos3sin73cos xy 所以 10 分 00 73273xy D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 已知x y z均为正数 求证 111 y xz yzzxxyxyz 证明证明 因为x y z都是为正数 所以 12 xyxy yzzxz yxz 3 分 同理可得 22yzzx zxxyx xyyzy 用心 爱心 专心 7 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 111xyz yzzxxyxyz 10 分 22 22 必做题 本小题 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 已知抛物线的焦点为 直线过点 2 4yx F 4 0 M 1 若点到直线的距离为 求直线的斜率 4 分 F3 2 设为抛物线上两点 且不与轴垂直 若线段的垂直平分线恰过点 A BABxAB 求证 线段中点的横坐标为定值 6 分 MAB 解 1 由已知 不合题意 设直线的方程为 4x 4 yk x 由已知 抛物线的焦点坐标为 1C 1 0 分 因为点到直线的距离为 所以 2F3 2 3 3 1 k k 分 解得 所以直线的斜率为 4 2 2 k 2 2 分 2 设线段中点的坐标为 AB 00 N xy 2211 yxByxA 因为不垂直于轴 则直线的斜率为 直线的斜率为 ABxMN 0 0 4 y x AB 0 0 4x y 直线的方程为 5AB 0 00 0 4 x yyxx y 分 联立方程 0 00 0 2 4 4 x yyxx y yx 消去得 7 分x 22 0 0000 1 4 0 4 x yy yyx x 所以 8 0 12 0 4 4 y yy x 分 因为为中点 所以 即 9 分NAB 12 0 2 yy y 0 0 0 2 4 y y x 所以 即线段中点的横坐标为定值 10 分 0 2x AB2 2323 必做题 本小题 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 已知 n n xxf 1 1 若 求的值 3 分 2011 2011012011 fxaa xax 2011200931 aaaa 2 若 求中含项的系