2012届高考数学一轮复习 9.6 空间向量及其运算（B）教案

1 9 69 6 空间向量及其运算 空间向量及其运算 B B 知识梳理 空间两个向量的加法 减法法则类同于平面向量 即平行四边形法则及三角形法则 a a b b a a b b cos a a b b a a2 a a 2 a a与b b不共线 那么向量p p与a a b b共面的充要条件是存在实数x y 使p p xa a yb b a a b b c c不共面 空间的任一向量p p 存在实数x y z 使p p xa a yb b zc c 点击双基 1 在以下四个式子中正确的有 a b ca b c a a b cb c a a b cb c a b a b a b a b A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 0 个 解析 根据数量积的定义 b cb c是一个实数 a a b b c c无意义 实数与向量无数量积 故 a a b b c c 错 a ba b a a b b cos a a b b 只有a a b b c c 正确 答案 A 2 设向量a a b b c c不共面 则下列集合可作为空间的一个基底的是 A a a b b b b a a a a B a a b b b b a a b b C a a b b b b a a c c D a a b b c c a a b b c c 解析 由已知及向量共面定理 易得a a b b b b a a c c不共面 故可作为空间的一个基底 故选 C 答案 C 3 在平行六面体ABCD A B C D 中 向量 是B A D A BD A 有相同起点的向量B 等长的向量 C 共面向量D 不共面向量 解析 D A B A DB BD 共面 B A D A BD 答案 C 4 已知a a 1 0 b b m m m 0 则 a a b b 答案 45 5 已知四边形ABCD中 a a 2c c 5a a 6b b 8c c 对角线AC BD的中点分别为ABCD E F 则 EF 解析 又 EFEAABBFEFECCDDF 两式相加 得 2 EFEAECABCDBFDF E是AC的中点 故 0 0 同理 0 0 EAECBFDF 2 a a 2c c 5a a 6b b 8c c 6a a 6b b 10c c 3a a 3b b 5c c EFABCDEF 2 答案 3a a 3b b 5c c 典例剖析 例 1 证明空间任意无三点共线的四点A B C D共面的充分必要条件是 对于空 间任一点O 存在实数x y z且x y z 1 使得 x y z OAOBOCOD 剖析 要寻求四点A B C D共面的充要条件 自然想到共面向量定理 解 依题意知 B C D三点不共线 则由共面向量定理的推论知 四点A B C D共 面对空间任一点O 存在实数x1 y1 使得 x1 OA OB BC y1 x1 y1 1 x1 y1 x1 y1 取BDOBOCOBODOBOBOCOD x 1 x1 y1 y x1 z y1 则有 x y z 且x y z 1 OAOBOCOD 特别提示 向量基本定理揭示了向量间的线性关系 即任一向量都可由基向量唯一的线性表示 为 向量的坐标表示奠定了基础 共 线 面向量基本定理给出了向量共 线 面的充要条件 可用以证明点共 线 面 本题的结论 可作为证明空间四点共面的定理使用 例 2 在平行四边形ABCD中 AB AC 1 ACD 90 将它沿对角线AC折起 使AB 与CD成 60 角 求B D间的距离 解 如下图 因为 ACD 90 A A C C B B D D 1 2 所以 0 同理 0 ACCDBAAC 因为AB与CD成 60 角 所以 60 或 120 因为 BACDBDBAACCD 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BDBAACCDBAACBACDACCDBAAC 2 2 3 2 1 1 cos 4 60 CDBACDBACD BACD 2 120 BACD 所以 2 或 BD2 即B D间的距离为 2 或 2 例 3 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 BD1交平面ACB1于点E 3 A A D D B B C C 1 1 1 1 E M 求证 1 BD1 平面ACB1 2 BE ED1 2 1 证明 1 我们先证明BD1 AC 1 BD BC CD 1 DDACAB BC 1 BDACBCCD 1 DDABBC BCBC CDAB BC 2 2 1 1 0 BC ABAB BC AB BD1 AC 同理可证BD1 AB1 于是BD1 平面ACB1 2 设底面正方形的对角线AC BD交于点M 则 即 2 BM 2 1 BD 2 1 11D BBM 对于空间任意一点O 设 b b m m b b1 d d1 则上述等式可改写成 11D BOBOM 1 OB 1 OD 2 m m b b d d1 b b1或b b1 2m m d d1 2b b 记 e e 此即表明 由e e向量所对应的点E 21 2 1 mb 21 2 1 bd 分线段B1M及D1B各成 2 之比 所以点E既在线段B1M B1M面ACB1 上又在线段 D1B上 所以点E是D1B与平面ACB1之交点 此交点E将D1B分成 2 与 1 之比 即 D1E EB 2 1 BE ED1 2 1 思考讨论 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直 线线平行 四点共面 求长度 求夹角 等问题 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为AC和BD的交点 若 a a b b 11B A 11D AAA1 c c 则下列式子中与相等的是MB1 A A B B C C D D 1 11 1 M A a a b b c c B a a b b c c 2 1 2 1 2 1 2 1 4 C a a b b c cD a a b b c c 2 1 2 1 2 1 2 1 解析 c c MB1BB1BMBB1 2 1 BABCAA1 2 1 11B A 2 1 11D A a a b b 故选 A 2 1 2 1 答案 A 2 O A B C为空间四个点 又 为空间的一个基底 则OAOBOC A O A B C四点不共线B O A B C四点共面 但不共线 C O A B C四点中任意三点不共线D O A B C四点不共面 解析 由基底意义 三个向量不共面 但 A B C 三种情形都有可能使OAOBOC 共面 只有 D 才能使这三个向量不共面 故应选 D OAOBOC 答案 D 3 已知a a 3b b与 7a a 5b b垂直 且a a 4b b与 7a a 2b b垂直 则 a a b b 解析 由条件知 a a 3b b 7a a 5b b 7 a a 2 15 b b 2 16a a b b 0 及 a a 4b b 7a a 2b b 7 a a 2 8 b b 2 30a a b b 0 两式相减得 46a a b b 23 b b 2 a a b b b b 2 代入上面两个式子中 2 1 的任意一个 即可得到 a a b b cos a a b b ba ba 2 2 2 1 b b 2 1 a a b b 60 答案 60 4 试用向量证明三垂线定理及其逆定理 已知 如下图 PO PA分别是平面 的垂线和斜线 OA是PA在 内的射影 a 求证 a PAa OA P O A a a 证明 设直线a上非零向量a a 要证a PAa OA 即证a a 0a a 0 AP AO a a a 0 a a a a a a a a a a OPAPAOOPAOOPAO a a 0a a 0 即a PAa OA AP AO 评述 向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具 在应用过程中 常需要通过 加 减法对向量进行转换 当然 转换的方向是有利于计算向量的数量积 5 直三棱柱ABC A1B1C1中 BC1 AB1 BC1 A1C 求证 AB1 A1C 5 A A D B B C C 1 1 1 证明 CA1 11111111111 CCBCCCCABCCACCBCCCCA 11C A 0 2 1 CCBC AB AC 又A1A B1B A1C AB1 评述 本题在利用空间向量来解决位置关系问题时 要用到空间多边形法则 向量的运 算 数量积以及平行 相等和垂直的条件 培养能力培养能力 6 沿着正四面体OABC的三条棱 的方向有大小等于 1 2 3 的三个力OAOBOC f f1 f f2 f f3 试求此三个力的合力f f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦 A B C O 1 2 3 解 用a a b b c c分别代表棱 上的三个单位向量 则OAOBOC f f1 a a f f2 2b b f f3 3c c 则f f f f1 f f2 f f3 a a 2b b 3c c f f 2 a a 2b b 3c c a a 2b b 3c c a a 2 4 b b 2 9 c c 2 4a a b b 6a a c c 12b b c c 1 4 9 4 a a b b cos a a b b 6 a a c c cos a a c c 12 b b c c cos b b c c 14 4cos60 6cos60 12cos60 14 2 3 6 25 f f 5 即所求合力的大小为 5 且 cos f f a a a f af 5 32 2 cabaa 5 2 3 11 10 7 同理 可得 cos f f b b cos f f c c 5 4 10 9 7 在空间四边形ABCD中 求证 0 ABCDACDBAD BC 6 证法一 把拆成 后重组 ABACCBABCDACDBAD BC AC CBCDACDBAD BC ACCDCBCDACDBAD BC AC 0 0 0 CDDBCBCDDAACCBCBCACBACCACB 证法二 如下图 设a a b b c c DADBDC 则 b b a a c c c c a a b b a a c c b b ABCDACDBAD BC b b c c a a c c c c b b a a b b a a c c a a b b 0 A B CD 评述 把平面向量的运算推广到空间后 许多基本的运算规则没有变 证法一中体现了 向量的拆分重组技巧 要求较高 证法二设定三个向量为基底 而原式中所有向量化归为关 于a a b b c c的式子 化简时的思路方向较清楚 探究创新探究创新 8 2004 年全国 理 20 如下图 已知四棱锥P ABCD PB AD 侧面PAD为边长等 于 2 的正三角形 底面ABCD为菱形 侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为 120 P A B C D 1 求点P到平面ABCD的距离 2 求面APB与面CPB所成二面角的大小 1 解 如下图 作PO 平面ABCD 垂足为点O 连结OB OA OD OB与AD交于点 E 连结PE P O A B C D E AD PB AD OB PA PD OA OD 于是OB平分AD 点E为AD的中点 PE AD 由此知 PEB为面PAD与面ABCD所成二 面角的平面角 PEB 120 PEO 60 由已知可求得PE PO PE sin60 3 即点P到平面ABCD的距离为 3 2 3 2 3 2 3 2 解法一 如下图建立直角坐标系 其中O为坐标原点 x轴平行于DA 7 P O A B C D G E x y z P 0 0 B 0 0 PB中点G的坐标为 0 连结AG 2 3 2 33 4 33 4 3 又知A 1 0 C 2 0 2 3 2 33 由此得到 1 GA 4 3 4 3 0 2 0 0 PB 2 33 2 3 BC 于是有 0 0 GAPB BC PB 的夹角 等于所求二面角的平面角 GAPB BC PBGA BC 于是 cos BCGA BCGA 7 72 所求二面角的大小为 arccos 7 72 解法二 如下图 取PB的中点G PC的中点F 连结EG AG GF 则AG PB FG BC FG BC 2 1 P O A B C D G F E AD PB BC PB FG PB AGF是所求二面角的平面角 AD 面POB AD EG 又 PE BE EG PB 且 PEG 60 在 Rt PEG中 EG PE cos60 2 3 在 Rt GAE中 AE AD 1 于是 tan GAE 2 1 AE EG 2 3 又 AGF GAE 所求二面角的大小为 arctan 2 3 思悟小结 1 若表示向量a a1 a a2 a an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形 则 a a1 a a2 a a3 a an 0 0 2 应用向量知识解决几何问题时 一方面要选择恰当的基向量 另一方面要熟练地进行 向量运算 8 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 要使学生正确理解空间向量的加法法则 减法法则以及空间向量的数量积 掌握空间 向量平行 垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件 2 空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示 这三个向量也称为一个 基底 在证明两个向量平行 垂直或求其夹角时 往往把它们用同一个基底来表示 从而实 现解题的目的 拓展题例拓展题例 例 1 下列命题中不正确的命题个数是 若A B C D是空间任意四点 则有 0 0 a a b b a a b b 是AB BC CDDA a a b b共线的充要条件 若a a b b共线 则a a与b b所在直线平行 对空间任意点O与不共