2011年高中数学 三角形四心与向量的典型问题分析学案 新人教A版

用心 爱心 专心1 三角形四心与向量的典型问题分析三角形四心与向量的典型问题分析 在平面向量的应用中 用平面向量解决平面几何问题时 首先将几何问题中的几何元素和几何 关系用向量表示 然后选择适当的基底向量 将相关向量表示为基向量的线性组合 把问题转化为 基向量的运算问题 最后将运算的结果再还原为几何关系 下面就以三角形的四心为出发点 应用 向量相关知识 巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质 既学习了三角形四心的一些特 定性质 又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感 一 重心 的向量风采 命题 1 已知是所在平面上的一点 若 则是的重GABC 0GAGBGC GABC 心 如图 A G C A B 命题 2 已知是平面上一定点 是平面上不共线的三个点 动点满足OABC P 则的轨迹一定通过的重心 OPOAABAC 0 PABC 解析 由题意 当时 由于表示边上的中线 APABAC 0 ABAC BC 所在直线的向量 所以动点的轨迹一定通过的重心 如图 PABC 二 垂心 的向量风采 命题 3 是所在平面上一点 若 则是的垂PABC PAPCPCPBPBPA PABC 心 解析 由 得 即 所以 同PA PBPB PC 0PBPAPC 0PB CA PBCA 理可证 是的垂心 如图 PCAB PABC PABC 图 图 M P C B A O 用心 爱心 专心2 P A B C 命题 4 已知是平面上一定点 是平面上不共线的三个点 动点满足OABC P 则动点的轨迹一定通过的垂 coscos ABAC OPOA ABBACC 0 PABC 心 解析 由题意 由于 coscos ABAC AP ABBACC 0 coscos ABAC BC ABBACC 即 所以表示垂直于的向量 即点在过点0 coscos AB BCAC BC BCCB ABBACC AP BC P 且垂直于的直线上 所以动点的轨迹一定通过的垂心 如图 ABCPABC 三 内心 的向量风采 命题 5 已知为所在平面上的一点 且 若IABC ABc ACb BCa 则是的内心 0aIAbIBcIC IABC 解析 则由题意得 IBIAAB ICIAAC 0abc IAbABcAC 图 图 图 图 H F E M A B C O P A B C O P b a c I AC B 用心 爱心 专心3 O C A B ABAC bABcACAC ABAB ACACAB ABAC 与分别为和方向上的单位向量 bcABAC AI abc ABAC AB AB AC AC AB AC 与平分线共线 即平分 AI BAC AIBAC 同理可证 平分 平分 从而是的内心 如图 BIABC CIACB IABC 命题 6 已知是平面上一定点 是平面上不共线的三个点 动点满足OABC P 则动点的轨迹一定通过的内心 ABAC OPOA ABAC 0 PABC 解析 由题意得 当时 表示的平分线所在 ABAC AP ABAC 0 AP BAC 直线方向的向量 故动点的轨迹一定通过的内心 如图 PABC 四 外心 的向量风采 命题 7 已知是所在平面上一点 若 则是的外心 OABC 222 OAOBOC OABC 解析 若 则 则是 222 OAOBOC 222 OAOBOC OAOBOC O 的外心 如图 ABC 命题 7 已知是平面上的一定点 是平面上不共线的三个点 动点满足OABC P 则动点的轨迹一定通过 2 coscos OBOCABAC OP ABBACC 0 P 图 M O B C A P 图 用心 爱心 专心4 的外心 ABC 解析 由于过的中点 当时 表示垂 2 OBOC