2011年高考数学一轮复习必备 平面所成的角

用心 爱心 专心1 D E C B A 第第 7979 课时 第九章课时 第九章 直线 平面 简单几何体直线 平面 简单几何体 平面所成的角平面所成的角 课题 平面所成的角 一 复习目标 一 复习目标 掌握二面角及二面角的平面角的概念 熟练掌握作二面角平面角的一般方法 二 知识要点 二 知识要点 1 二面角的概念 2 二面角的平面角 3 求二面角平面角大小的一般方法 三 课前预习 三 课前预习 1 二面角内有一点 若到平面的距离分别是 且在平面的内的射影的距l PP 5 8P 离为 则二面角的度数是 7l C A 30 B 60 C 120 D 150 2 已知分别是正方体的棱的中点 则截面与底面所成 E F 1111 ABCDA BC D 1 BC CC 1 AEFDABCD 二面角的正弦值是 C A 3 2 B 3 2 C 3 5 D 3 22 3 对于平面几何中的命题 如果两个角的两边分别对应垂直 那么这两个角相等或互补 在立体几 何中 类比上述的命题 可以得到命题 这个命题的真假性是 4 在四面体中 两两垂直 且ABCD AB BC BD 是中点 异面直线所成的2ABBC EAC AD BE 角为 则二面角的大小为 10 arccos 10 DACB 四 例题分析 四 例题分析 例 1 如图 点为斜三棱柱的侧棱上一点 交于点 P 111 CBAABC 1 BB 1 BBPM 1 AAM A A1 B1 B C1 C M N P A B E C D F A1 B1 D1C1 用心 爱心 专心2 AB DC P AB D C P M N E O 交于点 1 求证 1 BBPN 1 CCNMNCC 1 2 在任意中有余弦定理 拓展到空间 类比三角DEF DFEEFDFEFDFDE cos2 222 形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式 并予以证 明 例 2 如图 已知四棱锥的底面是直角梯形 PABCD 90ABCBCD 侧面底面 2ABBCPBPCCD PBC ABCD 1 与是否相互垂直 请证明你的结论 PABD 2 求二面角的大小 PBDC 3 求证 平面 平面 PADPAB 解 1 与相互垂直 证明如下 PABD 取的中点 连结 交于点 连结 BCOAOBDEPO 又 平面 平面 PBPC POBC PBCABCD 平面 平面 平面 PBCABCDBC POABCD 在梯形中 可得 ABCDRt ABORt BCD 90BEOOABDBADBCDBA 即 AOBD PABD 2 连结 PE 由 平面 可得 POABCDAOBD PEBD 为二面角的平面角 PEO PBDC 设 则在中 22ABBCPBPCCDa Rt PEO 5 3 5 POa OEa 二面角为 15tan EO PO PEOPBDC arctan 15 3 取的中点 连结 由题意知 平面 平面 PBNCNPBCPAB 则同 1 可得平面 CN PAB 取的中点 连结 则由 PAM DM MN MNABCD 用心 爱心 专心3 得四边形为平行四边形 1 2 MNABCD MNCD CNDM 平面 平面 平面 DMPABPADPAB 解答二 取的中点 由侧面 底面 BCOPBCABCD 是等边三角形 PBC 得 底面 POABCD 以为原点 以所在直线为轴 OBCx 过点与平行的直线为轴 OABy 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 设 则在直角梯形中 1CD 2ABBC 在等边三角形中 PBC3PO 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 3 ABDP 3 2 1 0 1 2 PABD 1 与相互垂直 证明如下 PABD 0 3 0 2 1 1 2 PABD PABD PABD 2 连结 设与相交于点 连结 AOAOBDEPE 由得 000 1 2 2 1 BDOA OABDAOBD 即 又 为在平面内的射影 AOPAABCD 为二面角的平面角 PEBD PEO PBDC 在中 Rt BEO 5 sin 5 OEOBOBE 在中 Rt PEO tan15 PO PEO OE 二面角为 PBDC arctan 15 3 取的中点 连结 则的坐标为 PAMDMM 13 1 22 又 33 0 22 DM 1 0 3 PB 33 1 0 2 3 0 22 DM PA 用心 爱心 专心4 33 1 0 0 3 0 22 DM PB DMPA DMPBDMPA DMPB 即 平面 平面 平面 DMPABPADPAB 小结 三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法 五 课后作业 五 课后作业 1 过正方形的顶点 引 平面 若 则平面和平面所成的ABCDAPAABCDPAAB ABPCDP 二面角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 2 已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为 那么的取值范围 或 A 18060 B 60 C 90 D 90 60 3 已知正方形 交于点 若将正方形沿折成的二面角 并给出四个结论 ABCDBDAC OBD 60 1 2 3 为正三角形 4 则其中正确命BDAC COAD AOC 4 3 cos ADC 题的序号为 4 平行六面体的底面是矩形 侧棱长为 点在底面上的射影是 1111 DCBAABCD 2cm 1 CABCDH 的中点 与底面成的角 二面角的平面角等于 求此平行六面体的CD 1 CCABCD60 1 ACCD 30 表面积 5 在四棱锥中 底面是正方形 侧棱底面 是中PABCD ABCDPD ABCDPDDC EPC 点 作交于 EFPB PBF 1 证明平面 PAEDB 2 证明平面 PB EFD 3 求二面