2011届高三数学一轮巩固与练习：空间中的垂直关系

用心 爱心 专心 1 巩固巩固 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面 连结 PB PC PD AC BD 则下列垂直关系正 确的是 面 PAB 面 PBC 面 PAB 面 PAD 面 PAB 面 PCD 面 PAB 面 PAC A B C D 解析 选 A 易证 BC 平面 PAB 则平面 PAB 平面 PBC 又 AD BC 故 AD 平面 PAB 则平面 PAD 平面 PAB 因此选 A 2 设 a b c 表示三条直线 表示两个平面 则下列命 题的逆命题不成立的是 A c 若 c 则 B b c 若 c 则 b c C b 若 b 则 D b c 是 a 在 内的射影 若 b c 则 b a 解析 选 C C 选项的逆命题为 b 若 则 b 不正确 因为根据平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 其中一个平面 内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面 故选 C 3 若 l m n 是互不相同的空间直线 是不重合的平面 则下列命题中为真命题的是 A 若 l n 则 l n B 若 l 则 l C 若 l n m n 则 l m D 若 l l 则 解析 选 D 选项 A 中 l 除平行 n 外 还有异面的位置关系 则 A 不正确 选项 B 中 l 与 的位置关系有相交 平行 在 内 三种 则 B 不正确 选项 C 中 l 与 m 的位置关系还有相交和异面 故 C 不正确 故选 D 4 已知 a b 是两条不重合的直线 是三个两两不重合 的平面 给出下列四个命题 用心 爱心 专心 2 若 a a 则 若 则 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 其中正确命题的序号有 解析 垂直于同一直线的两平面平行 正确 也成立 错 a b 也可异面 错 由面面平行性质知 a b 正确 答案 5 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 且底 面各边都相等 M 是 PC 上的一动点 当点 M 满足 时 平面 MBD 平面 PCD 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析 由定理可知 BD PC 当 DM PC 或 BM PC 时 即有 PC 平面 MBD 而 PC 平面 PCD 平面 MBD 平面 PCD 答案 DM PC 或 BM PC 等 6 2008 年高考江苏卷 如图 在四面体 ABCD 中 CB CD AD BD 点 E F 分 别是 AB BD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 ACD 2 平面 EFC 平面 BCD 证明 1 在 ABD 中 因为 E F 分别 是 AB BD 的中点 所以 EF AD 又 AD 平面 ACD EF 平面 ACD 所以直线 EF 平面 ACD 2 在 ABD 中 因为 AD BD EF AD 所以 EF BD 在 BCD 中 因为 CD CB F 为 BD 的中点 所以 CF BD 用心 爱心 专心 3 因为 EF 平面 EFC CF 平面 EFC EF 与 CF 交于点 F 所以 BD 平面 EFC 又因为 BD 平面 BCD 所以平面 EFC 平面 BCD 练习 1 若 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题中为真命题的是 A 若 m 则 m B 若 m n m n 则 C 若 则 D 若 m m 则 解析 选 D 对于选项 D 若 m 则过直线 m 的平面与平面 相交得交线 n 由线面平行的性质定理可得 m n 又 m 故 n 且 n 故由面面垂直的判定定理可得 2 设 a b 是不同的直线 是不同的平面 则下列四个命 题中正确的是 A 若 a b a 则 b B 若 a 则 a C 若 a 则 a D 若 a b a b 则 解析 选 D A 中 b 可能在 内 B 中 a 可能在 内 也可 能与 平行或相交 不垂直 C 中 a 可能在 内 D 中 a b a 则 b 或 b 又 b 3 如图 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 BC1 AC 则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在 A 直线 AB 上 B 直线 BC 上 C 直线 AC 上 D ABC 内部 解析 选 A BA AC BC1 AC BA BC1 B 用心 爱心 专心 4 AC 平面 ABC1 AC 平面 ABC 平面 ABC 平面 ABC1 且交线是 AB 故平面 ABC1上一点 C1在 底面 ABC 的射影 H 必在交线 AB 上 4 如图 已知 ABC 为直角三角形 其中 ACB 90 M 为 AB 中点 PM 垂直于 ABC 所在平面 那么 A PA PB PC B PA PB PC C PA PB PC D PA PB PC 解析 选 C M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点 MA MB MC 又 PM 平面 ABC MA MB MC 分别是 PA PB PC 在 平面 ABC 上的射影 PA PB PC 应选 C 5 在二面角 l 的两个面 内 分别有直线 a b 它 们与棱 l 都不垂直 则 A 当该二面角是直二面角时 可能 a b 也可能 a b B 当该二面角是直二面角时 可能 a b 但不可能 a b C 当该二面角不是直二面角时 可能 a b 但不可能 a b D 当该二面角不是直二面角时 不可能 a b 也不可能 a b 解析 选 B 当该二面角为直二面角时 如图 若 a b b 与 l 不垂直 在 b 上取点 A 过 A 作 AB l AB b A 由Error Error a a l 这和 a 与 l 不垂直相矛盾 不可能 a b 故 A 错误 B 正确 6 在正四面体 P ABC 中 D E F 分别是 AB BC CA 的中 点 下面四个结论中不成立的是 A BC 平面 PDF B DF 平面 PAE C 平面 PDF 平面 ABC D 平面 PAE 平面 ABC 解析 选 C 如图 BC DF 用心 爱心 专心 5 BC 平面 PDF A 正确 由题设知 BC PE BC AE BC 平面 PAE DF 平面 PAE B 正确 平面 ABC 平面 PAE BC 平面 PAE D 正确 7 已知 m n 是直线 是平面 给出下列命题 则 若 n n 则 若 n m 且 n m 则 若 m n 为异面直线 n n m m 则 则其中正确的命题是 把你认为正确 的命题序号都填上 解析 依题意可构造正方体 ABCD A1B1C1D1 如图所示 在正方体中逐一判断各命题 易得正确的命题是 答案 8 在正四棱锥 P ABCD 中 PA AB M 是 BC 的中点 G 3 2 是 PAD 的重心 则在平面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的 直线有 条 解析 设正四棱锥的底面边长为 a 则 侧棱长为a 3 2 由 PM BC PM a f r 3 2 a 2 f a 2 2 2 2 连结 PG 并延长与 AD 相交于 N 点 则 PN a MN AB a 2 2 PM2 PN2 MN2 PM PN 又 PM AD PM 面 PAD 在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直 答案 无数 用心 爱心 专心 6 9 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1的 棱长是 1 过 A 点作平面 A1BD 的垂线 垂足 为点 H 有下列三个命题 点 H 是 A1BD 的中心 AH 垂直于平面 CB1D1 AC1与 B1C 所成的角是 90 其中正确命题的序号是 解析 由于 ABCD A1B1C1D1是正方体 所以 A A1BD 是一个正三棱锥 因此 A 点在平面 A1BD 上的射影 H 是三角形 A1BD 的中心 故 正确 又因为平面 CB1D1与平面 A1BD 平行 所以 AH 平面 CB1D1 故 正确 从而可得 AC1 平 面 CB1D1 即 AC1与 B1C 垂直 所成的角等于 90 答案 10 2010 年南京模拟 如图 已知矩 形 ABCD 中 AB 10 BC 6 沿矩形 的对角线 BD 把 ABD 折起 使 A 移 到 A1点 且 A1在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上 求证 1 BC A1D 2 平面 A1BC 平面 A1BD 证明 1 由于 A1在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上 则 A1O 平面 BCD 又 BC 平面 BCD 则 BC A1O 又 BC CO A1O CO O 则 BC 平面 A1CD 又 A1D 平面 A1CD 故 BC A1D 2 因为 ABCD 为矩形 所以 A1B A1D 由 1 知 BC A1D A1B BC B 则 A1D 平面 A1BC 又 A1D 平面 A1BD 从而有平面 A1BC 平面 A1BD 11 如图所示 ABC 是正三角形 AE 和 CD 都垂直于平面 ABC 且 AE AB 2a CD a F 是 BE 的中点 1 求证 DF 平面 ABC 2 求证 AF BD 证明 1 取 AB 的中点 G 连结 FG 可得 FG AE FG AE 1 2 用心 爱心 专心 7 又 CD 平面 ABC AE 平面 ABC CD AE CD AE 1 2 FG CD FG CD FG 平面 ABC 四边形 CDFG 是矩形 DF CG CG 平面 ABC DF 平面 ABC DF 平面 ABC 2 Rt ABE 中 AE 2a AB 2a F 为 BE 中点 AF BE ABC 是正三角形 CG AB DF AB 又 DF FG DF 平面 ABE DF AF AF 平面 BDF AF BD 12 如图所示 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 DB BC DB AC 点 M 是棱 BB1上一点 1 求证 B1D1 面 A1BD 2 求证 MD AC 3 试确定点 M 的位置 使得平面 DMC1 平面 CC1D1D 解 1 证明 由直四棱柱 得 BB1 DD1且 BB1 DD1 所以 BB1D1D 是平 行四边形 所以 B1D1 BD 而 BD 平面 A1BD B1D1 平面 A1BD 所以 B1D1 平面 A1BD 用心 爱心 专心 8 2 证明 因为 BB1 面 ABCD AC 面 ABCD 所以 BB1 AC 又因为 BD AC 且 BD BB1 B 所以 AC 面 BB1D 而 MD 面 BB1D 所以 MD AC 3 当点 M 为棱 BB1的中点时 平面 DMC1 平面 CC