07 第二篇 运动学 第七章 点的运动学

第二篇运动学 本篇教学目标本篇教学目标 1 能选用合适的方法描述点的运动与刚体的基本运动 能熟练计算速度和加速度 角速度和角加速 度 包括简单机构的运动分析 2 对运动的相对性有比较清晰的概念 掌握点和刚体的运动合成与分解方法 在具体的问题中能恰 当地选取动点和动参考系 会正确运用合成法 求解符合运动中点的速度和加速度问题以及平面运 动图形上各点的速度与加速度 本篇重点本篇重点 分析计算各种情况下点的速度和加速度 运动的合成与分解的方法 重点的章节是点的复合运动与 刚体的平面运动 本篇难点本篇难点 牵连速度 牵连加速度和哥氏加速度的概念 以及相对运动的分析和运动合成的方法 运动学概述 运动学概述 运动学的任务 研究物体运动的几何性质 包括物体运动时位置的确定 点运动的轨迹 速度 加 速度等 力学模型 点 刚体 参照物 本文约定 若不特别指明 参照物应是地球 第七章 点的运动学 教学目标教学目标 1 能用矢量法建立点的运动方程 求速度和加速度 2 能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程 求轨迹 速度和加速度 3 能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程 速度和加速度 并正确理解切向加 速度和法向加速度的物理意义 本章重点本章重点 1 点的曲线运动的直角坐标法 点的运动方程 点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影 2 点的曲线运动的自然法 点沿已知轨迹的运动方程 点的切向加速度和法向加速度 本章难点本章难点 矢量求导及自然轴系的概念 教学过程教学过程 本章介绍描述点运动常用的四种坐标法 一 矢量法 点位置确定Mr 运动方程 单质 连续函数 轨迹 矢端曲线r r t 举例 另出画面 探照灯照飞机 动画演示 飞机 光柱 灯 速度 方向沿轨迹切线r dt rd t r v t lim 0 加速度方向沿速度端图切线 图 3 rv t v a t lim 0 点动跟着变化最后到 Mr r M 二 直角坐标法 zyxM r i j k x y z O 点位置确定Mzyx 运动方程单质连续 tzz tyy txx 轨迹 0 0 2 1 zy yx f f kzj yi xr kzj yi xv vzzv vyyv vxxv v z y x cos cos cos 2 2 2 kzj yi xa 2 22 cos cos cos a a xx a a yy a a zz a y xz 三 自然坐标法 前提 点的轨迹已知 显示火车沿轨迹行驶的一段动画 弧坐标的建立 在轨迹上确定点 规定 0 M 点位置确定 弧坐标 SM 付法线 主法线 0 MMb n 轨迹切线 主法线 付法线 0 M sM bn 动画显示点运动时 跟着一起动 Mbn 运动方程单质连续函数自然轴系 tss 沿点轨迹的切线 指向 M 沿主法线 过曲率中心 指向曲线凹向n 沿付法线 且组成右手坐标系nb bn 0 M M r s M r r o v C n M a M n a a a n a s r s t s s r t r v s t lim lim 0 0 指向 方向沿切线 1lim lim 0 0 s r s r s s sv sv 加速度 dt d ss t v a t lim 0 n s t s stt tdt d ttt t 方向沿 limlimlim lim 000 0 n s sa 2 切向加速度sa 法向加速度 2 s an 22 n aaa n a a tan 四 极坐标 点在做平面曲线运动时 还可有极坐标表示 M y x x 常数 y 常数 M r 常数 常数 常数 x常数 y常数 r常数 O x 极坐标的建立 如图 极点 极轴 极半径 幅角 点位置的确定ooxr M rM 运动方程 t trr 极坐标的单位矢量 r e e 在图中 显示当点沿径向移动时 随之变动的情形 再显示点随幅角运动Mr r e e M 时 随之运动的情形 r e e rr ee ee 先求和 dt ed r dt ed 增加方向沿方向 大小 tt e t e dt ed t r t r t rlimlim lim 0 0 0 e dt ed r 减小的方向沿方向 大小 tt e t e dt ed t t t lim lim lim 0 0 0 e dt ed 速度 由 有 r err erer dt ed rer dt rd v r r r 径向速度 横向速度rvr rv 方向 tan 如图 2 2 rrv r v v 加速度 errerr dt ed rerer dt ed rer dt vd a r r r 2 2 径向加速度 横向加速度 2 rrar rra2 如图 22 aaa r ar a tan 例 1 在曲柄摇杆机构中 曲柄与水平线夹角的变化规律为 设OA 2 4 t 求点的运动方程和时点的速度和cmOOOA10 1 cmBO24 1 Mst1 M 加速度 演示图中机构的运动可将点的轨迹画出来 B Bo o o1 B 1 O O v 45 n a a 解法 1 自然坐标法 点的运动方程B s 2 324tBBD 速度 tsv 6 加速度 6 sa 2 3 24 36 22222 tts an 4 时st1 6 v 6 a 2 3 2 n a 解法 2 直角坐标法 坐标建立如图 1 O O j y x i B B 点的运动方程 2 1 8 cos24 2 cos24costBOxB 2 1 8 sin24sintBOyB 速度 ttxv BBx 2 8 sin6 ttyv BBy 2 8 cos6 加速度 22 2 2 8 cos 2 3 8 sin6tttxa BBx 22 2 2 8 sin 2 3 8 cos6tttya BBy 时 st1 8 sin6 Bx v 8 cos6 By vjiv 8 cos6 8 sin6 8 cos 2 3 8 sin6 2 Bx a 8 sin 2 3 8 cos6 2 By ajaiaa BxBx 解法 3 极坐标法 坐标建立如图 1 O O x B r e e 点的运动方程 B 2 82 24 t r 速度 0 rvr trv 6 加速度 222 2 2 2 3 16 24ttrrar 6 4 242 rra 时 st1 ev 6 eea r 6 2 3 2 例 2半径为的圆轮在地上沿直线匀速滚动 已知轮心的速度为试求轮缘上一R C v 点的运动方程 轨迹 速度和加速度 演示图轮在地面上纯滚动 M y x r 2 P 解 建立直角坐标如图 19 时点位于点0 tMO 点的运动方程 其中 M sinROPx vtOP t R vc 即 轨迹为摆线 可演示轮子运动时 点的轨迹画出来 t R v RRy t R v Rtvx C C C cos sin M 速度 t R v vvxv C CCx cos t R v vyv C Cy sin 2 sin2 2 sin2 22 C C Cyx vt R v vvvv 2 cos cos v v yv y 可知 如图 20 PMv 当时 n 2 2