2012高考数学精英备考专题讲座 第八讲运用数学思想方法解题的策略 第三节运用分类讨论思想解题的策略 文

用心 爱心 专心 1 第三节第三节 运用分类讨论思想解题的策略运用分类讨论思想解题的策略 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法 也是一种数学思想 这种思想对于简化研究对象 发展人的思维有着重要帮助 因此 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置 在选择题 填空题 解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法 其难度在 0 4 0 6 之间 考试要求 考试说明 强调 对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进 行 通过数学知识的考查 反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度 考查时 要从学 科整体意识和思想含义上立意 注意通性通法 淡化特殊技巧 有效地检测考生对中学数学 知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度 题型一题型一 由概念引起的分类讨论由概念引起的分类讨论 例例 1 1 平面直角坐标系中 直线 与抛物线相交于 两点 xoyl 2 2yx AB 求证 如果直线 过点 那么 是真命题 l 3 0 T3OA OB 点拨 点拨 1 联立直线和抛物线 根据向量数量积定义 利用根与系数的关系 可求得 2 设直线方程时须考虑直线斜率是否存在 3OA OB 证明 证明 设过点的直线 交抛物线于点 3 0 Tl 2 2yx 1122 A x yB xy 1 当直线的钭率不存在时 直线 的方程为 此时 直线 与抛物线相交于ll3x l 3 6 3 6 AB 3OA OB 2 当直线 的斜率存在时 设过点的直线 的方程为 l 3 0 Tl 3 yk x 由得 2 2 3 yx yk x 2 12 2606kyyky y 又 22 1122 11 22 xyxy 2 12121212 1 3 4 OA OBx xy yy yy y 综上所述 命题 如果直线 过点 那么 是真命题 l 3 0 T3OA OB 易错点 易错点 1 在本例中 非常容易遗漏当直线 的斜率不存在时对命题的论证 习惯性地l 设直线 的方程为 直接求得 从而证明命题是真命题 显然这种证l 3 yk x 3OA OB 法是不严密的 2 此题是由概念引起的分类讨论 相关的题目很多 如集合是否为空集的 讨论 指数函数 对数函数底数的讨论 公比 斜率的讨论等 qk 变式与引申变式与引申 1 1 已知集合 若时 2 9180 12Ax xxBx axa BA 则实数的取值范围是 a 题型二题型二 由参数引起的分类讨论由参数引起的分类讨论 例例 2 2 2011 全国课标卷理科第 21 题 已知函数 曲线在点 ln 1 axb f x xx yf x 用心 爱心 专心 2 处的切线方程为 1 1 f230 xy 求 的值 ab 如果当 且时 求的取值范围 0 x 1x ln 1 xk f x xx k 点拨 点拨 1 此题是与导数有关的一类问题 思路为 求导函数 再利用和 f x 1 1f 求出的值 2 由于该题存在参数 因此应对参数进行分类讨论 1 1 2 f a bkk 解解 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线的斜率为 且过点 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 解得 1 1 22 b a b 1a 1b 由 知 所以 ln1 1 x f x xx 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考虑函数 则 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 2 2 1 1 2 kxx h x x i 设 由知 当时 而 故0k 22 2 1 1 k xx h x x 1x 0h x 1 0h 当时 可得 0 1 x 0h x 2 1 0 1 h x x 当x 1 时 h x 0 2 1 1 x 从而当x 0 且x1 时 f x 0 即f x 1 ln x x x k 1 ln x x x k ii 设 由于当x 1 时 k 1 x2 1 2x 0 故 而01k k 1 1 0h x h 1 0 故当x 1 时 可得 与题设矛盾 k 1 1 0h x 2 1 1 x 0h x 用心 爱心 专心 3 iii 设 此时 而h 1 0 故当x 1 时 可得1k 0h x 0h x 与题设矛盾 2 1 1 x 0h x 综合得 k的取值范围为 0 变式与引申变式与引申 2 2 1 解关于的不等式 x 2 10axxa 2 设为实常数 问方程表示的曲线是何种曲线 k 4 8 4 8 22 kkykxk 题型三由自变量引起的分类讨论题型三由自变量引起的分类讨论 例例 3 3 若不等式在内恒成立 求实数的取值范围 2 1 1a xx 2 1 x a 点拨 点拨 该题是恒成立问题 其实就是求最值问题 由于 的符号不确定 因 2 1 x 1x 此在参变量分离时应对范围进行分类讨论 x 解 解 令 则 2 1 1 x f x x 2 1 2 1 22 1 2 11 xx f xx xx 1 当时 则 而此时 11x 012x af x 2 22f x 2 22a 2 当时 则 而此时 21x 110 x af x 5f x 5a 3 当时 原不等式化为恒成立 1x 02 综上所述 的取值范围是 a 5 2 22 易错点 易错点 1 该题在参变量分离时经常会不考虑自变量的取值范围 直接化为 x 2 1 1 x a x 求得 2 在分类讨论后 往往没有把最后结果取交集 审题时一定要分清讨2 22a 论的目标是自变量还是参数 当讨论自变量时结果取交集 当讨论参数时注意分情况写出 变式与引申变式与引申 3 3 1 设 则不等式的解集为 f x 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex xx 2f x A B C D 1 2 3 10 1 2 10 1 2 用心 爱心 专心 4 2 已知是不为零的实数 则 x nN 23 23 n xxxn x 题型四题型四 由运算引起的分类讨论由运算引起的分类讨论 例例 4 4 已知函数 32 3 36 124f xxaxa xaaR 证明 曲线 0yf xx 在处的切线过点 2 2 若求a的取值范围 00 f xxxx 在处取得最小值 1 3 点拨点拨 第 I 问直接利用导数的几何意义 求出切线的斜率 然后易写出直接方程 II 第 II 问是含参问题 关键是抓住方程的判别式进行分类讨论 0fx 解 I 2 3636fxxaxa 由得曲线在 x 0 处的切线方程为 0 124 0 36fafa yf x 36 124ya xa 由此知曲线在 x 0 处的切线过点 2 2 yf x II 由得 0fx 2 21 20 xaxa i 当时 没有极小值 2121a f x ii 当或时 由得21a 21a 0fx 22 12 21 21xaaaxaaa 故 由题设知 02 xx 2 1213aaa 当时 不等式无解 21a 2 1213aaa 当时 解不等式得21a 2 1213aaa 5 21 2 a 综合 i ii 得的取值范围是 a 5 21 2 易错点 易错点 1 首先该题不知道对方程的判别式进行分类讨论 2 其次 解 0fx 不等式运算出错 变式与引申变式与引申 4 4 1 若 求数列的前项和 34 1 1 na n n n an n S 2 已知等差数列的前n项和 2 12nnSn 求数列的前项和 n a n an n T 用心 爱心 专心 5 本节主要考查 本节主要考查 1 本节考查的是分类讨论的数学思想方法 高中数学的每一个知识 点都可能成为分类讨论考查的对象 因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论 的基础 2 分类讨论的原则有 同一性原则 互斥性原则 层次性原则 同一性原则简言 之即 不遗漏 互斥性原则强调的是 避免重复 层次性原则是指分类讨论必须按同一 标准的层次进行 不同标准的不同层次的讨论不能混淆 3 分类讨论的思想方法是把要解 决的数学问题 分解成可能的各个部分 从而使复杂问题简单化 使 大 问题转化为 小 问题 便于求解 它的思维策略是 化整为零 各个击破 点评 点评 1 分类讨论思想是数学思想方法中最基本 最常见的一种思想方法 在近几 年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查 体现出其重要的位置 分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性 题型覆盖知识点较多 综合性强等特点 而且 还有利于对学生知识面的考查 需要学生有一定的分析能力 一定分类技巧 对学生能力的 考查有着重要的作用 2 引入分类讨论的主要原因 由数学概念引起的分类讨论 如绝对值的定义 直线的斜率等 由数学运算要求引起的分类讨论 如除法运算中除数不为零 对数中真数与底数的要求等 由函数的性质 定理 公式的限制引起的分类讨论 由图形的不确定引起的分类讨论 由参数的变化引起的分类讨论 按实际问题的情况 而分类讨论 3 分类讨论的思想方法的步骤 1 确定标准 2 合理分类 3 逐类讨论 4 归纳总 结 4 解题时把好 四关 要深刻理解基本知识与基本原理 把好 基础关 要找准划分标准 把好 分类关 要保证条理分明 层次清晰 把好 逻辑关 要注意对照题中的限制条件或隐含信息 合理取舍 把好 检验关 习题习题 8 38 3 1 已知函数 下列结论正确的是 3 0 f xaxaxa A 当时 有最小值 0 B 当时 有最大值 0 2xa 3xa C 无最大值和最小值 D 有最小值无最大值 2 数列 n a的通项 222 cossin 33 n nn an 其前n项和为 n S 则 30 S 3 已知集合 若 求的取值范 2 40 Ax xaxxR aR 1 2 4 B AB a 围 4 已知直角坐标平面上点Q 2 0 和圆C 动点M到圆C的切线长与 MQ 1 22 yx 用心 爱心 专心 6 的比等于常数 求动点M的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 0 5 2011 湖南文科 设函数 1 ln f xxax aR x I 讨论 f x的单调性 II 若 f x有两个极值点 12 xx和 记过点 1122 A xf xB xf x的直线的斜率为k 问 是否存在a 使得2 ka 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 答案答案 变式与引申变式与引申 1 1 222 11 n nn n n n S aTa P 2 n n n n S T P 2 当时 1q 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n nnn n nnn n aqqq STa qP qa qq 2 1 22 1 11 n n nn nnn n n n S aqTaq P 2 n n n n S T P 综上 在等比数列中 成立 n a 2 n n n n S T P 变式与引申变式与引申 2 2 解 1 1 1 0 xaxa 当时 0a 1 1 a x a 当时 1 0 2 a 1 1 a x a 当时 1 2 a 1 1 a x a 当时 0a 1 x 当时 1 2 a 1 1 x 用心 爱心 专心 7 2 当时 方程变为 即 表示直线 k4 2 40 x 0 x 当时 方程变为 即 表示直线 k8 2 40y 0y 当且时 方程变为 又有以下五种情形讨论 4k 8k 1 84 22 k y k x 当时 方程表示中心在原点 焦点在轴上的双曲线 4 ky 当时 方程表示中心在原点 焦点在轴上的椭圆 64 ky 当时 方程表示圆心在圆点的圆 6 k 当时 方程表示中心在原点 焦点在轴上的椭圆 86 kx 当时 方程表示中心在原点 焦点在轴上的双曲线 8 kx 变式与引申变式与引申 3 3 解 1 当时 解得 2x 1 22 x e 12x 当时 解得 2x 2 3 log 1 2x 10 x 综上所述 可得不等式的解集为 故选 C 2f x 1 2 10 2 23 23 n xxxn x 1 2 1 1 1 1 1 1 2 nn xxnx x xx n n x 变式与引申变式与引申 4 4 1 当为偶数时 n42 2 n n Sn 当为奇数时 n 1 44321 2 n n Snn 综上 2 2 21 21 n nnk kN S nnkkN 2 当时 6n 2 12 nn TSnn 当时 7n 2 66 1272 nn TSSSnn 综上 2 2 12 6 1272 7 n nnn T nnn 习题习题 8 38 3 用心 爱心 专心 8 1 C 2 470 提示 由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期 故 222222 222 30 12452829 3 6 30 222 S 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 3 解 由于 且 则集合可能是空集 单元素集合和两个元素集合 1 2 4 B AB A 1 当 即时 因为 满足 所以 2 160a 44a A AB 4 4a 2 当 即时 由得 2 160a 4a AB 4a 3 当 即或时 2 160a 4a 4a AB 综上可得 当时 4 4a AB 4 解 如图解 8 2 9 设MN切圆C于N 则动点M组成的集合是 0 PM MNMQ ON MN