LQR一级倒立摆控制器的相关材料(大全】都有)

2 1 二次型最优控制原理 设给定线性定常系统的状态方程为 二次型性能指标函数 3 其中 加权阵 Q 和 R 是用来平衡状态向量和输入向量的权重 Q 是半正定阵 R 阵是正定 阵 最优控制规律 其中 K 为最优反馈增益 P 为黎卡提矩阵方程的解 黎卡提矩阵方程 则 最优反馈增益 K 为 2 2 LQR 参数 由由 MATLABMATLAB 语句语句 K lqrK lqr A B Q RA B Q R 取取 Q diagQ diag 1000 0 70 01000 0 70 0 求得 求得 K K 31 62331 623 20 151 72 718 13 155 20 151 72 718 13 155 即为 即为 LQRLQR 控制器控制器参数控制器控制器参数 5 5 倒立摆简介倒立摆简介 倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备 使用它能全方位的满足自动控制教学的 要求 许多抽象的控制概念如系统稳定性 可控性 系统收敛速度和系统抗干扰能力等 都可以通过倒立摆直观的表现出来 倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点 其基本模块既可是一维直线运动平台 或旋转运动平台 也可以是两维运动平台 通过增加角度传感器和一节倒立摆杆 可构成 直线单节倒立摆 旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆 通过增加两节倒立摆杆和相应的传 感器 则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆 倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处 极富趣味性 学 习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法 加深对所学课程的理解 由于倒立摆系统机械结构简单 易于设计和制造 成本廉价 因此在欧美发达国家的高等 院校 它已成为常见的控制教学设备 同时由于倒立摆系统的高阶次 不稳定 多变量 非线性和强耦合特性 许多现代控 制理论的研究人员一直将它视为研究对象 并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法 因此 倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台 直线运动型倒立摆外形美观 紧凑 可靠性好 除了为每个子系列提供模块化的实现 方案外 其控制系统的软件平台采用开放式结构 使学生建立不同的模型 验证不同的控 制算法 供不同层次的学生进行实验和研究 由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制 以及齿型带传动 固高公司的 倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台 可以用来进行各种电机拖动 定位 和速度跟踪控制实验 让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法 一一 系统组成及参数 系统组成及参数 倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成 控制输入为驱动力 F N 是由拖动小车的直流伺服电机提供的 被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角 rad 和小车的位移 x m 实际倒立摆系统的模型参数 M 小车的质量 1 096kg m 摆杆的质量 0 109kg b 小车的摩擦系数 0 1N m sec L 摆杆的中心到转轴的长度 0 25m J 摆杆对重心的转动惯量 0 0034kg m2 T 采样周期 0 005 秒 二 设计指标 二 设计指标 摆的角度小于 0 02 rad 响应时间小于 1 秒 M x m F 倒立摆系统的数学模型倒立摆系统的数学模型 应用牛顿 欧拉法对倒立摆进行数学建模 1 小车的运动方程 对小车进行受力分析 如图 1 所示 图中 P 和 N 分别表示摆杆运动在水平方向和垂直 方向上对小车的作用力 N fv是小车的摩擦力 等于 x b 图 1 小车的受力分析图 根据牛顿定律 小车水平方向上的力平衡方程为 1 2 2 td xd MPxbF 2 摆的运动方程 摆的运动由水平方向 铅直方向以及旋转方向的运动构成 以小车与摆的节点为坐标 原点取坐标系 对摆杆进行受力分析 如图 2 所示 图 2 摆的受力分析图 摆杆水平方向上的力平衡方程如下 2 sincos sincos cos sin 2 2 2 2 mLmLxm LLxm Lx td d m Lx td d mP 将式 2 代入式 1 就得到系统的第一个运动方程 3 xbmLFmlxmM sincos 2 摆杆垂直方向上的力平衡方程如下 sincos cos 2 2 2 mL L td d mmgN 即 4 sincos 2 mLmgN 由定轴转动定律 M x F fv P N mg N P J dt d JM 得摆杆的转矩平衡方程式为 5 JPLNL cossin 将式 2 4 代入式 5 约去 P 和 N 得到系统的第二个方程 6 sin cos 2 mgLJmLxmL 由式 3 与式 6 联列得到一级倒立摆动力学非线性方程组 7 xbmLFmLxmM mgLJmLxmL sincos sin cos 2 2 因 故可假设和 并忽略项 得倒立摆系统线性方程 o 5 sin1cos 2 8 xbFmLxmM mgLJmLxmL 2 对方程 8 进行 Laplace 变换得到 9 222 sXmLssmgLssJmL 10 22 sFsmLssbsXsXsmM 由式 9 可得 11 2 2 s s g mL JmL sX 将式 11 代入式 10 整理得摆角的传函为 12 sF s s q bmgL s q mgLmM s q JmLb s q mLs 23 2 4 2 其中 222 LmJmLmMq 将式 12 代入式 11 得小车位移的传函为 13 q bmgL s q mgLmM s q JmLb s q mgL s q JmL sF sX 2 2 3 2 2 倒立摆系统设计与仿真 一 系统的开环特性一 系统的开环特性 将实际系统参数 M 1 096 m 0 109 b 0 1 L 0 25 J 0 0034 代入式 12 和式 13 并用 u 来代表被控对象的输入力 从而得到倒立摆系统的数学模型为 16 3094 2 8285 27088 0 3566 2 23 sss s su s sG 17 3094 2 8285 270883 0 3094 2 8832 0 23 2 sss s su sX sGx 当时 对应的响应曲线如下 ttu 可见 响应发散 系统不稳定 故需要进行闭环控制系统设计 二 系统二 系统 PID 控制器设计控制器设计 1 对摆杆角度的控制采用如下结构图 考虑到 r t 0 将上面系统框图变成如下形式 图中 K s 是控制器传递函数 G s 是摆角的传递函数 将 K s G s 分别表示如下 f t F u t t r t 0 K s G s f t F u t t K s G s 18 sD sN sK k k sD sN sG 式中分别表示 K s 的分子分母多项式 分别表示 G s 的分子 sDsN kk 和 sDsN 和 分母多项式 则摆杆的角度为 1 1 sF sD sN sD sN sD sN sF sGsK sG s k k 19 sF sNsNsDsD sDsN kk k 具体设计时 根据式 15 可设 Kp Ki和 Kd ipdk KsKsKsN 2 ssDk 分别为比例 积分 微分系数 其中 由式 16 知 i p i T K K dpd TKK 应用试凑法仔细调节调节 PIDssN3566 2 3094 2 8285 27088 0 23 ssssD 参数参数 Kp Ki和和 Kd 使 使时的响应满足控制指标要求时的响应满足控制指标要求 ttf 2 对小车位移的控制采用如下结构图 考虑到 r t 0 将上面系统框图变成如下形式 1 1 sF sD sN sD sN sD sN sF sGsK sG sX k k x x x 20 sF sDsNsNsDsDsD sDsDsN xkxk kx 由式 17 知 3094 2 8832 0 2 ssNx3094 2 8285 27088 0 23 ssssDx f t F u t t r t 0 K s G s x t Gx s f t F u t t K s G s x t Gx s 可见 所以式 20 可简化为 sDsD x 21 sF sNsNsDsD sDsN sX kk kx 具体设计时 调节 PID 参数 使小车的位移稳定 三 三 PID 参数的确定参数的确定 1 取 Kp 1000 Ki 50 Kd 5 可见系统稳定 但响应振荡强 且不满足精度要求 2 取 Kp 500 Ki 30 Kd 10 可见系统响应振荡减弱 且不满足精度要求 3 取 Kp 500 Ki 30 Kd 50 可见系统响应无振荡 且满足精度要求 最后 根据实际情况选 Kp 350 Ki 10 Kd 50 M 1 096 一 直线一级倒立摆建模 1 微分方程的推导 对于倒立摆系统 经过小心假设忽略掉一些次要因素后 倒立摆系统就是一个典型的 刚体运动系统 可以在惯性坐标系统内应用景点力学理论建立系统的动力学方程 微分方 程的推导 在忽略了空气阻力 各种摩擦之后 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀 质杆组成的系统 如下图 1 所示 图 1 做如下假设 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 L 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角 考虑带摆杆初始位置为竖直向下 图 2 图 2 是系统中小车和摆杆的受力分析图 其中 N 和 P 为小车和摆杆的相互作用力的水平 和垂直方向的分量 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定 所以 矢量方向定义如图 2 所示 图示方向为矢量的正方向 分析小车水平方向所受合力 可以得到方程 式 1 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式 式 2 式 3 将式 3 代入式 1 可得系统第一个运动方程 式 4 为了推出系统第二个运动方程 对摆杆垂直向上的合力进行分析可得方程 式 5 式 6 力矩平衡方程如下 式 7 式中 合并式 6 式 7 得第二个运动方程 式 8 设 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角 假设 与 1 单位是弧度 相比 很小 即 1 则可以进行近似处理 用 u 来代表被控对象的输入力 F 线性化后两个运动方程如下 式 9 对式 3 9 进行拉普拉斯变换 推导传递函数时假设初始条件为 0 式 10 整理后得到传递函数 式 11 其中 2 状态空间方程 设系统状态空间方程为 式 12 方程组 对解代 数方程 得到解如下 式 13 整理后得到系统状态空间方程 式 14 3 实际系统模型 假定系统物理参数设计如下 M 小车质量 1 08Kg m 摆杆质量 0 1Kg b 小车摩擦系数 0 1N m sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0 3m I 摆杆惯量 0 0027Kg m m 将上述参数带入 可以得到以外界作用力作为输入的系统状态方程 u x x x y u x x x x 0 0 0100 0010 34577 2 0 914849 0 0 08966 26234577 00 1000 0689655 0 0914849 00 0010 2 对象的性能分析 1 分析系统的单位阶跃响应 a 0 1 0 0 0 0 0914849 0 689655 0 0 0 0 1 0 0 234577 26 8966 0 b 0 0 914849 0 2 34577 c 1 0 0 0 0 0 1 0 d 0 0 a 0 1 0000 0 0 0 0 0915 0 6897 0 0 0 0 1 0000 0 0 2346 26 8966 0 b 0 0 9148 0 2 3458 c 1 0 0 0 0 0 1 0 d 0 0 利用传递函数得到如下响应曲线 num den ss2tf a b c d num 0 0 0000 0 9148 0 0000 22 9886 0 0 0000 2 3458 0 0000 0 den 1 0000 0 0915 26 8966 2 2989 0 step num den 从图上可知其阶跃响应不稳定 2 分析系统的极点 可见 4 个极点有一个位于右半平面 故该系统不稳定 3 分析系统的能控性 系统可控 3 性能指标 设定四组性能指标分别对照比较 性能指标 1 20 t 2s 非主导极点 10 10 性能指标 2 20 t 2s 非主导极点 10 15 性能指标 3 25 t 2s 非主导极点 10 10 性能指标 4 20 t 2 2s 非主导极点 10 10 4 过程设计 性能指标 1 20 t 2s 运用超调量计算公式得 0 456 4 386 n 其主导极点 2 1 s1 2 nn j3 9032 配置两个非主导极点 10s 10s 43 利用 matlab 求取状态反馈矩阵 K p 2 3 903j 2 3 903j 10 10 k acker a b p k 83 6651 34 2330 129 0284 23 5430 实际超调量为 9 调整时间为 3 2 秒 性能指标 2 20 t 2s 运用超调量计算公式得 0 456 4 386 n 其主导极点 2 1 s1 2 nn j3 9032 配置两个非主导极点 10 15 利用 matlab 求取状态反馈矩阵 K p 2 3 903j 2 3 903j 10 15 k acker a b p k 125 4977 47 1162 175 1840 30 6990 实际超调量为 7 调整时间为 3 2 秒 性能指标 3 25 t 2s 运用超调量计算公式得 0 420 4 756 n 其主导极点 j4 3161 9977 2 1 s1 2 nn 配置两个非主导极点 10s 10s 43 利用 matlab 求取状态反馈矩阵 K p 1 9977 4 316j 1 9977 4 316j 10 10 k acker a b p k 98 3910 37 1581 136 1754 24 6819 实际超调量为 8 5 调整时间为 3 3 秒 性能指标 4 20 t 2 2s 运用超调量计算公式得 0 456 3 987 n 其主导极点 j3 5481 818 2 1 s1 2 nn 配置两个非主导极点 10s 10s 43 利用 matlab 求