二次函数的应用新

二次函数的应用二次函数的应用 1 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 元 与产品的日销售量 件 之间的关系如下表 xy 若日销售量是销售价的一次函数 yx 求出日销售量 件 与销售价 元 的函数关系yx 式 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定位 多少元 此时每日销售利润是多少元 2 某商场以每台 2500 元进口一批彩电 如果每台售价 定为 2700 元 可卖出 400 台 以 100 元为一个价格单 位 若每台提高一个单位价格 则会少卖出 50 台 若设每台的定价为 元 卖出这批彩电获得的利润x 为 元 试写出与的函数关系式 yyx 当定价为多少元时可获得最大利润 最大利润是多少 3 某市要在购物中心的门前广场建一个喷水池 在水 池中央垂直于水面安装一个花形柱 OA O 恰在水池中 心 OA 1 25 米 安装在柱子顶端 A 处的喷水头向外 喷水 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路线落下 在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图所示 为使水流 形状较为漂亮 设计要求水流在到 OA 的水平距离为 1 米的 D 点上方达到距水面最大高度 CD 2 25 米 如果 不计其它因素 那么水池的半径 OB 至少要多少米 才 能使喷出的水流不落到池外 4 某菜农搭建了一个横截面为抛物线形的大棚 有关 尺寸如图所示 现建立如图所示的平面直角坐标系 试求抛物线的解 析式 若菜农身高为 1 60 米 则她在不弯腰的情况下 横 向活动范围有几米 结果精确到 0 01 米 5 如图三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线系形 两 小孔形状 大小都相同 正常水位时 大孔水面宽度 AB 20 米 顶点 M 距水面 6 米 即 MO 6 米 小孔 顶点 N 距水面 4 5 米 即 NC 4 5 米 当水位上涨刚 好淹没小孔时 借助图中的直角坐标系 求此时大孔 的水面宽度 EF 课课 后后 作作 业 业 9 9 1 如图所示 有一块铁皮 拱形边缘呈抛物线形 MN 4dm 抛物线顶点处到边 MN 的距离是 4dm 要 在铁皮上截下一个矩形 ABCD 使矩形顶点 B C 落在 边 MN 上 A D 落在抛物线上 请你建立直角坐标系并求出抛物线的解析式 设矩形 ABCD 的周长为 求 的最大值 ll 2 有一座抛物线形拱桥 正常水位时桥下水面宽度为 20m 拱顶距离水面 4m 在如图所示的直角坐标系中 求出该抛物线的解析 式 在正常水位的基础上 当水位上升 h m 时 桥下 水面的宽度为 d m 试求出用 d 表示 h 的函数解析 式 设正常水位时桥下的水深为 2m 为保证过往船只顺 利航行 桥下水面的宽度不得小于 18m 求水深超过 多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行 3 下面是某商场经理接到的采购部和销售部的两个电 话 根据电话内容完成下列问题 写出该商场卖这种商品每天的销售利润 元 与y 每件销售价 元 之间的函数关系式 并指出自变量x 的取值范围 x 当销售价为多少元时 每天的销售利润最大 最大 利润为多少 元 x 152030 件 y 252010 4 如图 中 ABC 点从点开始沿 90BcmAB6 cmBC8 PA 向点以的速度移动 同时点从点开始ABBscm 1QB 沿向点以的速度移动 BCCscm 2 求的面积 与运动时间 之间的PBQ S 2 cmts 函数关系式 当 为何值时 t 2 8cmS 5 如图所示 有一座抛物线形拱桥 在正常水位时水 面 AB 的宽为 20m 如果水位上升 3m 时 水面 CD 的 宽是 10m 建立如图所示的直角坐标系 求此抛物线的解析式 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥 开往乙地 已知甲地距此桥 280km 桥长忽略不计 货车正以每小时 40km 的速度开往乙地 当行驶 1 小时 时 忽然接到紧急通知 前方连降暴雨 造成水位以每 小时 0 25m 的速度持续上涨 货车接到通知时水位在 CD 处 当水位达到桥拱最高点 O 时 禁止车辆通行 试问 如果货车按原来速度行驶 能否安全通过此桥 若能 请说明理 若不能 要使货车安全通过此桥 速 度应超过每小时多少千米 6 杂技团进行杂技表演 演员从跷跷板右端处 A 弹跳到人梯顶端椅子处 其身体 看成一mOA1 B 点 的路线是抛物线的一部分 当人体行进的水平距离 为时人体距地面达到最高点 这时距地面 m5 2m75 4 如图所示 求人体行进的高度 与行进的水平距离ym 之间的函数关系式 xm 已知人梯高 在一次表演中 人梯到跳点4 3 BCm 的水平距离为 4 问这次表演是否会成功 说明理Am 由 1 如图 点 2 4 A 作轴于点 抛物线xAB B 的顶点在直线上 且抛物线交线段cbxxy 2 POA 于点 求线段的最大值及此时抛物线的解析ABQAQ 式 2 某商店购进一批单价为 16 元的日用品 销售一段时 间后 为了获得更多的利润 商店决定提高销售价格 经检验发现 若按每件 20 元的价格销售时 每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时 每月能卖 210 件 假定每月销售件数 y 件 是价格 X 的一次函数 1 试求 y 与 x 的之间的关系式 2 在商品不积压 且不考虑其他因素的条件下 问 销售价格定为多少时 才能使每月获得最大利润 每月的最大利润是多少 总利润 总收入 总成本 3 某商场批单价为 25 元的旅游鞋 为确定 一个最佳 的销售价格 在试销期采用多种价格进性销售 经试 验发现 按每双 30 元的价格销售时 每天能卖出 60 双 按每双 32 元的价格销售时 每天能卖出 52 双 假定每天售出鞋的数量 Y 双 是销售单位 X 的一次函 数 1 求 Y 与 X 之间的函数关系式 2 在鞋不积压 且不考虑其它因素的情况下 求出每 天的销售利润 W 元 与销售单价 X 之间的函数关系式 3 销售价格定为多少元时 每天获得的销售利润最多 是多少 4 如图 二次函数的图像经过坐标 2 4yaxxc 原点 与x轴交与点 A 4 0 1 求此二次函数的解析式 2 在抛物线上存在点 P 满足 请直接8 AOP S A 写出点 P 的坐标 5 若 x1 x2是关于 x 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两个根 则方程的两个根 x1 x2和系数 a b c 有如下关系 把它们称为一元二次方程根与 1212 bc xxx x aa A 系数关系定理 如果设二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴的两个交点为 A x1 0 B x2 0 利用根与系数关系定理可以得到 A B 两 个交点间的距离为 22 22 12121 2 2 444 4 bcbacbac ABxxxxx x aaaa 参考以上定理和结论 解答下列问题 设二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴的两 个交点 A x1 0 B x2 0 抛物线的顶点为 C 显然 ABC 为等腰三角形 1 当 ABC 为等腰直角三角形时 求的值 2 4bac 2 当 ABC 为等边三角形时 求的值 2 4bac 第 27 题 图 6 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx c 经过 A 2 4 O 0 0 B 2 0 三点 1 求抛物线 y ax2 bx c 的解析式 2 若点 M 是该抛物线对称轴上的一点 求 AM OM 的最小值 7 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象经 过原点 O 交 x 轴于点 A 其顶点 B 的坐标为 3 1 求抛物线的函数解析式及点 A 的坐标 2 在抛物线上求点 P 使 S POA 2S AOB 3 在抛物线上是否存在点 Q 使 AQO 与 AOB 相 似 如果存在 请求出 Q 点的坐标 如果不存在 请 说明理由 8 如图 二次函数的图象与y轴交 2 2yxm 于点 C 点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称轴对 称的点 已知一次函数 y kx b 的图象经过该二次函数 图象上点 A 1 0 及点 B 1 求二次函数与一次函数的解析式 2 根据图象 写出满足 kx b 的x的 2 2xm 取值范围 x y 图 19图 图 C B A O 9 如图 在平面直角坐标系中 直线交 1 2 3 yx 轴于点 交轴于点 抛物线xPyA 的图像过点 并与直 2 1 2 yxbxc 1 0 E 线相较于两点 AB 1 求抛物线的解析式 关系式 2 过点作交轴于点 C 求点 C 的坐AACAB x 标 3 除点外 在坐标轴上是否存在点 使得CM 是直角三角形 若存在 请求出点的坐标 MABAM 若不存在 请说明理由 10 某市政府为落市 保障性住房建设 这一惠民政 策 2011 年已投入 3 亿元资金用于保障性住房建设 并规划投入资金逐年增加 到 2013 年底 将累计投入 10 5 亿元资金用于保障性住房建设 1 求到 2013 年底 这两年中投入资金的平均增 长 率 只列出方程 设 1 中方程的两根分别为 x x 且 12 mx 4m x x mx的值为 12 求 m 的值 1 22 122 2 11 综合与实践 如图 在平面直角坐标系中 抛物 线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 点 C 点 D 是该抛物线的顶点 1 求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标 2 点 P 是 x 轴上一个动点 过 P 作直线 l AC 交抛 物线于点 Q 试探究 随着 P 点的运动 在抛物线上 是否存在点 Q 使以点 A P Q C 为顶点的四边形 是平行四边形 若存在 请直接写出符合条件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 请在直线 AC 上找一点 M 使 BDM 的周长最 小 求出 M 点的坐标 12 如图 9 抛物线与 x 轴交于3 4 3 8 3 2 xxy A B两点 点A在点B的左侧 与y轴交于点C 1 求点A B的坐标 2 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD的面积等于 ACB的面积时 求点D的坐标 3 若直线 l 过点E 4 0 M 为直线l上一动点 当以A B M为顶点所作的直角三角形有且只有三个 时 求直线l解析式 13 某工厂生产一种合金薄板 其厚度忽略不计 这 些薄板的形状均为正方形 边长 单位 cm 在 5 50 之间 每张薄板的成本价 单位 元 与它的面 积 单位 cm2 成正比例 每张薄板的出厂价 单位 元 由基础价和浮动价两部分组成 其中基础价与薄板 的大小无关 是固定不变的 浮动价与薄板的边长成正 比例 在营销过程中得到了表格中的数据 薄板的边长 cm 2030 出厂价 元 张 5070 1 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系 式 2 已知出厂一张边长为 40cm 的薄板 获得利润是 26 元 利润 出厂价 成本价 求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式 当边长为多少时 出厂一张薄板获得的利润最大 最 大利润是多少 参考公式 抛物线的顶点坐标 0 2 acbxaxy 是 a bac a b 4 4 2 2 14 某汽车租赁公司拥有2O辆汽车 据统计 当每辆车 的日租金为400元时 可全部租出 当每辆车的日租金每 增加50元 未租出的车将增加1辆 公司平均每日的各项 支出共4800元 设公司每日租出x辆车时 日收益为y元 日收益 日租金收入一平均每日各项支出 1 公司每日租出x辆车时 每辆车的日租金为 元 用含x的代数式表示 2 当每日租出多少辆时 租赁公司日收益最大 最大是 多少元 0 3 当每日租出多少辆时 租赁公司的日收益不盈也不亏 15 在 母亲节 期间 某校部分团员参加社会公益 活动 准备购进一批许愿瓶进行销售 并将所得利润 捐给慈善机构 根据市场调查 这种许愿瓶一段时间内 的销售量 y 个 与销售单价 x 元 个 之间的对应 关系如图所示 试判断 y 与 x 之间的函数关系 并求出函数关系式 若许愿瓶的进价为 6 元 个 按照上述市场调查的销 售规律 求销售利润 w 元 与销售单价 x 元 个 之间的函数关系式 若许愿瓶的进货成本不超过 900 元 要想获得最大 的利润 试确定这种许愿瓶的销售单价 并求出此时的 最大利润 16 某种商品的进价为每件 50 元 售价为每件 60 元 每个月可卖出 200 件 如果每件商品的售价上涨 1 元 则每个月少卖 10 件 每件售价不能高于 72 元 设每 件商品的售价上涨 x 元 x 为整数 每个月的销售利 润为 y 元 1 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值 范围 2 每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润 最大利润是多少 17 2012 年牡丹花会前夕 我市某工艺厂设计了一款 成本为 10 元 件的工艺品投放市场进行试销 经过调查 得到如下数据 销售单价 x 元 件 2030405060 每天销售 量 y 件 50040 0 30 0 200100 1 把上表中 x y 的各组对应值作为点的坐标 在下 面的平面直角坐标系中描出相应的点 猜想 y 与 x 的函 数关系 并求出函数关系式 2 当销售单价为多少时 工艺厂试销该工艺品每天 获得的利润最大 最大利润是多少 利润 销售总价 成本总价 3 荷泽市物价部门规定 该工艺品销售单价最高不 能超过 35 元 件 那么销售单价定为多少时 工艺厂 试销工艺品每天获得的利润最大 18 某商品的进价为每件 20 元 售价为每件 30 每 个月可买出 180 件 如果每件商品的售价每上涨 1 元 则每个月就会少卖出 10 件 但每件售价不能高于 35 元 设每件商品的售价上涨元 为整数 每个月xx 的销售利润为的取值范围为元 xy 1 求与的函数关系式 并直接写出自变量的yxx 取值范围 2 每件商品的售价为多少元时 每个月可获得最 大利润 最大利润是多少 3 每件商品的售价定为多少元时 每个月的利润恰好 是 1920 元 19 山西特产专卖店销售核桃 其进价为每千克 40 元 按每千克 60 元出售 平均每天可售出 100 千克 后来 经过市场调查发现 单价每降低 2 元 则平均每天的销 售可增加 20 千克 若该专卖店销售这种核桃要想平均 每天获利 2240 元 请回答 1 每千克核桃应降价多少元 2 在平均每天获利不变的情况下 为尽可能让利于 顾客 赢得市场 该店应按原售价的几折出售 20 某电子商投产一种新型电子产品 每件制造成本 为 18 元 试销过程发现 每月销量 y 万件 与销售 单价 x 元 之间关系可以近似地看作一次函数 y 2x 100 利润 售价 制造成本 1 写出每月的利润 z 万元 与销售单价 x 元 之 间函数解析式 2 当销售单价为多少元时 厂商每月能够获得 350 万元的利润 当销售单价为多少元时 厂商每月能够 获得最大利润 最大利润是多少 3 根据相关部门规定 这种电子产品的销售单价不 得高于 32 元 如果厂商要获得每月不低于 350 万元的 利润 那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多 少万元 21 小磊要制作一个三角形的钢架模型 在这个三角 形中 长度为 x 单位 cm 的边与这条边上的高之和为 40 cm 这个三角形的面积 S 单位 cm2 随 x 单位 cm 的变化而变化 1 请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 不要求写出自 变量 x 的取值范围 2 当 x 是多少时 这个三角形面积 S 最大 最大面积是 多少 21 世纪教育网 22 如图 Rt ABO 的两直角边 OA OB 分别在 x 轴 的负半轴和 y 轴的正半轴上 O 为坐标原点 A B 两 点的坐标分别为 3 0 0 4 抛物线 经过点 B 且顶点在直线上 2 2 3 yxbxc 5 2 x 1 求抛物线对应的函数关系式 2 若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE 点 A B O 的对应点分别是 D C E 当四边形ABCD 是菱形时 试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上 并说明理由 3 在 2 的条件下 连结 BD 已知在对称轴上存 在一点 P 是的 PBD 的周长最小 求出 P 点的坐标 4 在 2 3 条件下 若点 M 是线段 OB 上的 一个动点 点 M 与点 O B 不重合 过点 M 作 MN BD 交 x 轴与点 N 连结 PM PN 设 OM 的长 为 t PMN 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 并 写出自变量 t 的取值范围 S 是否存在最大值 若存在 求出最大值和此时 M 点的坐标 若不存在 说明理由 第 28 题 图 23 如图 A B 两点的坐标分别是 8 0 0 6 点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动 速度为每秒 3 个单位长度 点 Q 由 A 出发沿 AO O 为坐标原点 方向向点 O 作匀速直线运动 速度为每 秒 2 个单位长度 连接 PQ 若设运动时间为 t 0 t 秒 答案如下问题 1 当 t 为何值时 PQ BO 2 设 AQP 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 并求出 S 的最大值 若我们规定 点 P Q 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则新坐标 x2 x1 y2 y1 称为 向量 PQ 的坐标 当 S 取最大值时 求 向量 PQ 的坐 标 24 如图 矩形ABCD的两边长 AB 18cm AD 4cm 点P Q分别从A B同时出 发 P在边AB上沿AB方向以每秒 2cm 的速度匀速 运动 Q在边BC上沿BC方向以每秒 1cm 的速度匀 速运动 设运动时间为x秒 PBQ的面积为 y cm2 1 求y关于x的函数关系式 并写出x的取值 范围 2 求 PBQ的面积的最大值 25 如图 小河上有一拱桥 拱桥及河道的截面轮廓 线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE ED DB 组成 已知河底 ED 是水平的 ED 16 米 AE 8 米 抛物线的顶点 C 到 ED 距离是 11 米 以 ED 所在的直 线为 x 轴 抛物线的对称轴 y 轴建立平面直角坐标系 1 求抛物线的解析式 2 已知从某时刻开始的 40 小时内 水面与河底 ED 的距离 单位 米 随时间 单位 时 的变化满 足函数关系 40 8 19 128 1 2 t 且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时 需禁止船只 通行 请通过计算说明 在这一时段内 需多少小时禁 止船只通行 26 如图 排球运动员站在点 O 处练习发球 将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出 把球看成点 其运行的 高度 y m 与运行的水平距离 x m 满足关系式 y a x 6 2 h 已知球网与 O 点的水平距离为 9m 高度 为 2 43m 球场的边界距 O 点的水平距离为 18m 1 当 h 2 6 时 求 y 与 x 的关系式 不要求写出自 变量 x 的取值范围 2 当 h 2 6 时 球能否越过球网 球会不会出界 请说明理由 3 若球一定能越过球网 又不出边界 求 h 的取值 范围 27 如图 抛物线 y x 2x c 的顶点 A 在直线 2 l y x 5 1 求抛物线顶点 A 的坐标 2 设抛物线与 y 轴交于点 B 与 x 轴交于点 C D C 点在 D 点的左侧 试判断 ABD 的 形状 3 在直线 l 上是否存在一点 P 使以点 P A B D 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理 由 28 如图 已知抛物线经过点 A 1 0 B 3 0 C 0 3 D 三点 第 23 题图 A O x y 图 图 图 图 1896 2 1 求抛物线的解析式 2 点 M 是线段 BC 上的点 不与 B C 重合 过 M 作 MN 轴交抛物线于 N 若点 M 的横坐标为 ym 请用的代数式表示 MN 的长 m 3 在 2 的条件下 连接 NB NC 是否存在点 使 BNC 的面积最大 若存在 求的值 若不mm 存在 说明理由 点的纵坐标 29 抛物线 2 1 4 yxxm 的顶点在直线 3yx 上 过点F 2 2 的直线交该抛物线于点 M N两点 点M在点N的左边 MA x轴于点 A NB x轴于点B 来源 中 国教育出 版 网 1 3 分 先通过配方求抛物线的顶点坐标 坐标可用 含m的代数式表示 再求m的值 来 源 中 教 2 3 分 设点N的横坐标为a 试用含a的代数 式表示点N的纵坐标 并说明NF NB 3 3 分 若射线NM交x轴于点P 且PA P