2012高考数学名师预测 知识点01三角函数与平面向量

1 高考猜题高考猜题 专题专题 0101 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 1 近几年高考对三角变换的考查要求减弱 加强了对三角函数的图象与性质的考查 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容 是学习高等数学和应用技术学科的基础 又是 解决生产实际问题的工具 因此三角函数的性质是本章复习的重点 在复习时要充分运用数形结合的思想 把图象与性质结合起来 即利用图象的直观性 得出函数的性质 或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质 同时也要能利用 函数的性质来描绘函数的图象 这样既有利于掌握函数的图象与性质 又能熟练地运用数形 结合的思想方法 本章内容一般以选择 填空题形式进行考查 且难度不大 从考查的内容看 大致可分 为四类问题 1 与三角函数单调性有关的问题 2 与三角函数图象有关的问题 3 应用同角变换和诱导公式 求三角函数值及化简和等式证明的问题 4 与周期有关的问 题 2 平面向量在高考试题中 主要考查有关的基础知识 突出向量的工具作用 平面向 量的考查要求 第一 主要考查平面向量的性质和运算法则 以及基本运算技能 考查学生 掌握平面向量的和 差 数乘和数量积的运算法则 理解其直观的几何意义 并能正确地进 行运算 第二 考察向量的坐标表 示 及坐标形势下的向量的线性运算 第三 经常和函 数 曲线 数列等知识结合 考察综合运用知识能力 在近几年的高考中 每年都有两道题目 其中小题以填空题或选择题形式出现 考查 了向量的性质和运算法则 数乘 数量积 共线问题与轨迹问题 大题则以向量形式为条件 综合考查了函数 三角 数列 曲线等问题 一一 选择题选择题 共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知向量 2 6 3 a 10 i和 01 j 若3 a j 则向量a与i 的夹角 ai A 3 B 6 C 6 5 D 6 2 已知函数 则下列叙述错误的是 cos 2 f xx xR A 的最大值与最小值之和等于B 是偶函数 f x f x C 在上是增函数D 的图像关于点成中心对称 f x 4 7 f x 2 2 2 3 关于函数的图象 有以下四个说法 sin 2 6 yx 关于点对称 关于点对称 0 6 5 0 12 关于直线对称 关于直线对称 6 x 5 12 x 则正确的是 A B C D 4 已知函数f x asin x bcos x 且f 2 001 3 则f 2 012 的值是 A 1 B 2 C 3 D 1 5 已知 sin 2 则等于 4 5 3 2 2 sin cos sin cos A B C 7 D 7 1 7 1 7 6 已知是夹角为的单位向量 则向量与垂直的充要条件是实数的 a b 120 ab 2ab 值为 A B C D 5 4 5 2 3 4 3 2 7 在中 分别为三个内角 A B C 所对的边 设向量ABC cba m mn n 若向量m m n n 则角 A 的大小为 bc ca b ca A B C D 6 3 2 3 2 8 已知函数的最小正周期为 为了得到函数 sin 0 4 f xxx R 的图象 只要将的图象 cos 4 g xx yf x A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度 8 8 C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度 4 4 3 9 如右图所示的曲线是以锐角的顶点 B C 为焦点 ABC 且经过点 A 的双曲线 若的内角的对边分别为 ABC a b c 且 则此双曲线的离心率为 sin3 4 6 2 cA ab a A B 37 2 37 2 C D 37 37 10 设向量a b满足 3 a 4 b 0 a b 以a b ab的模为边长构成三 角形 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A 3 B 4 C 5 D 6 11 将函数 f x 2sin的图象向左平移个单位 得到函数 y g x 的图 0 3 x 3 象 若 y g x 在 上为增函数 则的最大值 0 4 A 1 B 2 C 3 D 4 12 如图 在 ABC 中 AD 2DB AE 3EC CD 与 BE 交于 F 设为 ABa ACb AFxaybx y 则 A B 1 1 3 2 1 1 4 3 C D 3 3 7 7 29 5 20 二二 填空题填空题 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知非零向量与满足 0 且 则 ABAC AB AB AC AC BC AB AB AC AC 2 1 ABC 为 A 等腰非等边三角形B 等边三角形 C 三边均不相等的三角形D 直角三角形 4 14 在ABC 中 O为边BC中线AM上的一点 若4 AM 则 OCOBAO 的 A 最大值为 8B 最大值为 4C 最小值 4D 最小值为 8 15 设 a a1 a2 b b1 b2 定义一种向量 积 已知 点 P x y 在 22112121 bababbaaba 0 3 2 1 2 nm y sinx 的图象上运动 点 Q 在 y f x 的图象上运动 且满足 其中nOPmOQ O 为坐标原点 则 y f x 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 A 2 B 2 4C D 4 2 1 2 1 16 设函数f x 的图象与直线x a x b 及x轴所围成图形的面积称为函数f x 在 a b 上的面积 已知函数 y s1nnx在 0 上的面积为 n N 1 y s1n3x 在 n n 2 0 上的面积为 2 y s1n 3x 1 在 上的面积为 3 2 3 3 4 三三 解答题解答题 共 6 小题 17 题 10 分 18 22 题 12 分 共 70 分 17 已知向量 其中 函数 2cos 1 3sincos mxnxx a 0 xR 的最小正周期为 最大值为 3 f xm n 1 求和常数的值 a 2 求函数的单调递增区间 f x 18 在 ABC中 已知AB BC 2 3 若 cosB 求 sinC的值 3 6 求角C的取值范围 19 在 ABC中 角 A B C的对边分别为 向量 m m n n cba 3 sin2 B 且 m m n n 1 2 cos2 2 cos 2 B B 1 求锐角B的大小 2 如果2b 求 ABC的面积的最大值 ABC S 20 设函数 f x cos2 x sin xcos x a 其中 0 aR 3 且 f x 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 12 5 1 求 的值 2 如果 f x 在区间 上的最小值为 求 a 的值 6 5 123 3 证明 直线 5x 2y c 0 与函数 y f x 的图象不相切 21 设函数 y f x 图像的一条对称轴是直线 0 2sin xxf 8 x 1 求 2 求函数的单调增区间 xfy 3 证明直线于函数的图像不相切 025 cyx xfy 22 已知函数是 R R 上的偶函数 其图像关于点 sin 0 0 f xx 对称 且在区间是单调函数 求和的值 3 0 4 0 2 答案答案 1 D 解析 由3 a j 33 a 由向量夹角的概念结合图形可得 2 解析 C 由题意得 因此结合各选项知在上 coscos 22 f xxx f x 4 7 是增函数是错误的 选 C 3 B 解 当时 1 当 x 时 0 所以 6 x sin 2 6 yx 12 5 sin 2 6 yx 正确 4 答案 C 解析 f 2 001 asin 2 001 bcos 2 001 asin bcos asin bcos 3 6 asin bcos 3 f 2 012 asin 2 012 bcos 2 012 asin bcos 3 5 答案 A 解析 sin 2 sin sin 4 5 4 5 又 cos 3 2 2 3 5 sin cos sin cos 1 7 6 解析 A 根据已知 向量与垂直的充要条件是 1 1 2 aba b Aab 2ab 解得 221 2 1 2 2 1 2 20 2 ababaa bb A 5 4 7 解析 B m nm n 0 222 1 0cos 2 bc bca cabcabcA 3 A 8 解析 C 由题知 所以2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 424444 f xxxxx 只要把这个的变成即可 即只要把函数x 4 x 的图象向左平移个单位长度 正确选项 yf x 4 C 9 解析 D 因为 C 为锐角 sin33 sin 2sinsin23 2 cAacc C aAC 所以 C 3 由余弦定理知 22222 1 2cos462 4 628 2 7 2 cababCc 4 37 62 7 a e bc 7 10 答案 B 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对于圆的位置稍一右移或其他的变化 能实现 4 个交点的情况 但 5 个以上的交点不能 实现 11 B 解析 解析 将函数 f x 2sin的图象向左平移个单位 得到函数 0 3 x 3 y g x 2 y g x 在 上为增函数xx sin2 33 sin 0 4 24 2 12 A 解析 解析 33 1 44 AFABBFABBEABACABABAC 同理向量还可以表示为 对应相AF 2 1 3 AFACCFACCDABAC 等可得 所以 故选 A 2 3 11 32 AFABAC 13 答案 解析 A 分别是 方向的单位向量 向量 在 BAC 的平分线 AB AB AC AC ABAC AB AB AC AC 上 由 0 知 AB AC 由 可得 AB AB AC AC BC AB AB AC AC 2 1 CAB 1200 ABC 为等腰非等边三角形 故选 A 14 答案 解析 A 8 4 4 2 4 2 22 22 OMAO OMAOOMAOOCOBAO 当且仅 当2 OMAO 即点O为AM的中点时 等号成立 故 OCOBAO 的最大值 为 8 选 A 项 15 答案 解析 C 设 Q x y P x0 y0 则由nOPmOQ 得 yyxxyxyxyx2 62 1 2 1 3 2 0 3 2 1 2 000000 8 代入得 62 1 sin 2 1 xy 则 y f x 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 4 2 1 故选 C 16 答案 提示 提示 由题意得 y s1n3x 在上的面积为 3 2 3 4 3 2 0 3 4 2 3 2 在上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为 1 3sin xy 3 4 3 3 2 17 解析 1 2 2 3sincos2cosf xm nxxxa 3sin2cos21xxa 2sin 2 1 6 xa 由 得 2 2 T 1 又当时 得 sin 2 1 6 x max 213ya 2a 2 由 1 当 2sin 2 1 6 f xx 222 262 kxkkZ 即 故的单调增区间为 63 kxk f x 63 kk kZ 18 解析 在 ABC中 由余弦定理知 AC2 AB2 BC2 2 AB BC cosB 4 3 2 2 9 3 3 6 所以AC 3 又因为 sinB 1 cos2B1 F r 3 6 2 33 6 由正弦定理得 AB sinC AC sinB 所以 sinC sinB AB AC 11 6 在 ABC中 由余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2 AC BCcosC 所以 3 AC2 4 4AC cosC 即 AC2 4cosC AC 1 0 由题 关于AC的一元二次方程应该有解 令 4cosC 2 4 0 得 cosC 或 cosC 舍去 因为AB AC 1 2 1 2 所以 0 C 即角C的取值范围是 0 3 3 9 19 解析 1 m m n nB B B2cos3 1 2 cos2 sin2 2 BB2cos32sin 即 32tan B 又B 为锐角 02 B 3 2 2 B 3 B 2 得 由余弦定理 ac bca BbB 2 cos2 3 222 04 22 acca又acca2 22 代入上式得 4 ac 当且仅当 2 ca时等号 成立 3 4 3 sin 2 1 acBacS ABC 当且仅当 2 ca时等号成立 3的最大值为 ABC S 20 解 1 f x sin2 x a sin2 x cos2 x a 3 1 cos2 x 2 1 2 1 2 sin 2 x a 3 由题意知 2 1 12 3 2 2 由 1 知 f x sin 2x a x 0 2x 3 6 5 12 3 7 6 sin 2x 1 f x 的最小值 a a 1 2 3 1 23 3 f x 2cos 2x f x 2 3 曲线 y f x 的切线斜率的取值范围是 2 2 而直线的切线斜率 2 直线 5x 2y c 0 与函数 y f x 的图象不相切 5 2 21 答案 1 是函数 y f x 的图象的对称轴 8 x 1 8 2sin Zkk 24 0 4 3 2 由 1 知 因此 4 3 4 3 2sin xy 由题意得 Zkk