2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

1 2015 普通高等学校招生全国统一考试 卷文科数学 第一卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 A BAxxBxx 则 30 21 A 1 3 B 1 0 C 0 2 D 2 3 2 若 a 实数 且 ai i ai 则 3 1 2 A 4 B 3 C 3 D 4 3 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量 单位 万吨 柱形图 以下 结论中不正确的是 2 27 70 00 0 2 26 60 00 0 2 25 50 00 0 2 24 40 00 0 2 23 30 00 0 2 22 20 00 0 2 21 10 00 0 2 20 00 00 0 1 19 90 00 0 2 20 01 13 3 年年 2 20 01 12 22 20 01 11 12 20 01 10 02 20 00 09 92 20 00 08 82 20 00 07 72 20 00 06 62 20 00 05 52 20 00 04 4 A 逐年比较 2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C 2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4 已知向量 ababa 则 2 2 1 1 0 A 1 B 0 C 1 D 2 5 设若 项和 的前是等差数列naS nn 5531 3Saaa则 A 5 B 7 C 9 D 11 6 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如右图 则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为 2 A B C D 8 1 7 1 6 1 5 1 7 已知三点 则外接圆的圆心到原点的距离为 32 30 01 CBAABC A B C D 3 5 3 21 3 52 3 4 8 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著 九章算术 中的 更相减损术 执行该程序框图 若输入的 a b 分别为 14 18 则输出的 a 为 是 否 是 否 A 0 B 2 C 4 D 14 9 已知等比数列C 24531 1 4 4 1 aaaaaan则满足 A 2 B 1 C D 2 1 8 1 10 已知 A B 是球 O 的球面上两点 若三棱锥 O 为该球面上动点 CAOB 90 ABC 体积的最大值为 36 则球 O 的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 11 如图 长方形的边 AB 2 BC 1 O 是 AB 的中点 点 P 沿着边 BC CD 与 DA 运动 记 的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点 xfxfBAPxBOP x x P P O O D D C C B BA A 开始 输入 a b a b b b aa a b 输出 a 结束 ab 3 D D C C B B A A 3 3 4 4 2 2 4 4 3 3 4 4 4 4 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2 2 4 4 3 3 4 4 2 2 4 4 X X O O Y Y X X Y Y O OX X O O Y Y Y Y X XO O 12 设函数的范围是成立的则使得xxfxf x xxf 12 1 1 1ln 2 A B C D 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 第二卷 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 13 已知函数 axaxxf 则的图像过点 4 1 2 3 14 若 x y 满足约束条件 的最大值为则yxz yx yx yx 2 012 012 05 15 已知双曲线过点 且渐近线方程为 则该双曲线的标准方程为 3 4xy 2 1 16 已知曲线在点 1 1 处的切线与曲线xxyln axaaxy相切 则1 2 2 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 2 DCBDBACADBCDABC 平分上的点 是中 求 若 sin sin C B 60BBAC 求 18 本小题满分 12 分 某公司为了了解用户对其产品的满意度 从 A B 两地区分别随机 调查了 40 个用户 根据用户对其产品的满意度的评分 得到 A 地区用户满意度评分的频率分 布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表 4 4 40 0 0 0 0 00 05 5 0 0 0 01 10 0 0 0 0 03 35 5 A A地地区区用用户户满满意意度度评评分分的的频频率率分分布布直直方方图图 0 0 0 04 40 0 0 0 0 03 30 0 0 0 0 02 25 5 0 0 0 02 20 0 0 0 0 01 15 5 1 10 00 0 9 90 08 80 07 70 06 60 05 50 0 O O满满意意度度评评分分 频频率率 组组距距 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 频 数2814106 I 在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 并通过此图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 给出结论即可 0 0 0 00 05 5 0 0 0 01 10 0 0 0 0 03 35 5 B B地地区区用用户户满满意意度度评评分分的的频频率率分分布布直直方方图图 0 0 0 04 40 0 0 0 0 03 30 0 0 0 0 02 25 5 0 0 0 02 20 0 0 0 0 01 15 5 1 10 00 09 90 08 80 07 70 0 6 60 05 50 0 O O 满满意意度度评评分分 频频率率 组组距距 II 根据用户满意度评分 将用户的满意度评分分为三个等级 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 说明理由 19 本小题满分 12 分 如图 长方体中 AB 16 BC 10 点 E F 1111 ABCDABC D 1 8AA 分别在 上 过点 E F 的平面与此长方体的面相交 交线围成一 1111 AB DC 11 4 AED F 个正方形 5 F F E E D D1 1C C1 1 B B1 1 A A1 1 D D C C B B A A I 在图中画出这个正方形 不必说明画法与理由 II 求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 的离心率为 点在 C 上 22 22 10 xy Cab ab 2 2 2 2 I 求 C 的方程 II 直线 l 不经过原点 O 且不平行于坐标轴 l 与 C 有两个交点 A B 线段 AB 中点为 M 证 明 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值 21 本小题满分 12 分 已知 ln1f xxax I 讨论的单调性 f x II 当有最大值 且最大值大于时 求 a 的取值范围 f x22a 请考生在请考生在 22 23 24 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做如果多做 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 作答时请写清题作答时请写清题 号号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点 O 与 ABC 的 底边 BC 交于 M N 两点 与底边上的高交于点 G 且 与 AB AC 分别相切于 E F 两点 I 证明 EFBC II 若 AG 等于 O 的半径 且 2 3AEMN 求四边形 EDCF 的面积 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数 方程 在直角坐标系中 曲线 t 为参数 且 其中 在以xOy 1 cos sin xt C yt 0t 0 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 23 2sin 2 3cos CC N N M M G G O O F FE E D D C C B B A A 6 I 求与交点的直角坐标 2 C 3 C II 若与 相交于点 A 与相交于点 B 求最大值 1 C 2 C 1 C 3 CAB 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式证明选讲 设 均为正数 且 证明 a b c dabcd I 若 则 abcd abcd II 是的充要条件 abcd abcd 2015 普通高等学校招生全国统一考试 卷文科数学答案 一 选择题 1 选 A 2 解 因为故选 D 4 42 1 3 2 aiiiai所以 3 选 D 4 选 B 5 解 在等差数列中 因为 55 2 5 1 3 3 51 53531 Aa aa Saaaa故选所以 6 解 如图所示 选 D 7 解 根据题意 三角形 ABC 是等边三角形 设 外接圆的圆心为 D 则 D 1 所以 3 32 故选 B 3 21 3 7 3 4 1 OD 8 解 18 14 4 14 4 10 10 4 6 6 4 2 4 2 2 所以 a b 2 故选 B 9 解 因为所以 1 4 4 1 4531 aaaaan满足 故选 C 2 1 2 4 1 2 2 1 4 12 3 1444 2 4 qaaqqaaaaa所以 所以又解得 7 10 解 因为 A B 都在球面上 又所以为该球面上动点 CAOB 90 三棱锥的体积的最大值为 所以 R 6 所以球的表面积为36 6 1 2 1 3 1 32 RRR S 故选 C 1444 2 R 11 解 如图 当点 P 在 BC 上时 tan4tan tan4 tan 2 2 xxPBPA xPAxPBxBOP 当时取得最大值 4 x51 以 A B 为焦点 C D 为椭圆上两定点作椭圆 显然 当 点 P 在 C D 之间移动时 PA PB 51 又函数不是一次函数 故选 B xf 12 解 因为函数时函数是增函数是偶函数 0 1 1 1ln 2 x x xxf 故选 A 1 3 1 12 12 12 22 xxxxxxfxf解得 二 填空题 13 答 a 2 14 解 当 x 3 y 2 时 z 2x y 取得最大值 8 15 解 设双曲线的方程为 4 3 4 0 4 22 kkkyx 代入方程 解得 点 1 4 2 2 y x 双曲线的标准方程为 16 解 1 22 1 1 xy x y 切线方程为切线的斜率为 8 120 0 8 08 021 2 12 2 22 a xyaaaaa axaxxaaxyxy 所以 与切线平行 不符 时曲线为或解得由 联立得与将 四 解答题 17 解 由正弦定理得 sin sin AB AC C B 再由三角形内角平分线定理得 2 1 BD DC AB AC 2 1 sin sin C B 120 60CBBAC 30 3 3 tan sin2 120sin sin2sin 2 1 sin sin 1 BB BBBC C B 展开得 得由 18 解 1 B 地区频率分布直方图如图所示 x x P P O O D D C C B BA A 8 0 0 0 00 05 5 0 0 0 01 10 0 0 0 0 03 35 5 B B地地区区用用户户满满意意度度评评分分的的频频率率分分布布直直方方图图 0 0 0 04 40 0 0 0 0 03 30 0 0 0 0 02 25 5 0 0 0 02 20 0 0 0 0 01 15 5 1 10 00 09 90 08 80 07 70 06 60 05 50 0O O 满满意意度度评评分分 频频率率 组组距距 比较 A B 两个地区的用户 由频率分布直方图可知 A 地区评分均值为 45x0 1 55x0 2 65x0 3 75x0 2 85x0 15 95x0 05 67 5 分 B 地区评分均值为 55x0 05 65x0 2 75x0 35 85x0 25 95x0 15 76 5 分 A 地区用户评价意见较分散 B 地区用户评价意见相对集中 2 A 地区的用户不满意的概率为 0 3 0 2 0 1 0 6 B 地区的用户不满意的概率为 0 05 0 20 0 25 所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大 19 解 I 在 AB 上取点 M 在 DC 上取点 N 使得 AM DN 10 然后连接 EM MN NF 即组成正方形 EMNF 即平面 II 两部分几何体都是高为 10 的四棱柱 所以体积之 比等于底面积之比 即 9 7 126 104 1 1 2 1 EMBB AMEA S S V V 20 解 I 如图所示 由题设得 2 2 a c 又点的坐标满足椭圆的方程 所以 1 24 22 ba 联立解得 1 48 4 8 22 22 yx Cba的方程为 所以切线 II 设 A B 两点的坐标为 2211 m n knmMyxyx om 的坐标为 点 82 82 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx则 上面两个式子相减得 22 2 2 1 2 1 0 2 21 21 12 12 2 1 2 2 2 1 2 2 n m n m yy xx xx yy xxyy 变形得 F F E E D D1 1C C1 1 B B1 1 A A1 1 D D C C B B A A C C 2 2 2 2 Y Y X X O O M M B B A A 9 定值 2 1 2 12 12 m n n m m n xx yy kk oml 21 解 已知 ln1f xxax 1 1 0 0 0 0 1 1 上是减函数上是增函数 在在 时 函数当 上是增函数 在 时 函数当 aa xfa xfa a x xf II 由 1 知 当 ln1 1 1 0aa a f a xxfa 时取得最大值在时 函数 0 1ln 22ln1 aaaaa整理得由 1 0 10 1 0 1 0 0 00 1 1 1ln 即上述不等式即函数 又 是增 在 则设 aagagg xgxgxa x xgxxxg 选做题 22 I 证明 由切线的性质得 AE AF 所以 AEF 是等 腰三角形 又 AB AC 所以 EFABCAEF AC AF AB AE BC II 解 ROGOEAGAEOEOE 则连接 22 32 4 2 222 OMRRRROA 6030 3 10 30cos 5121 3 2 1 都是等边三角形 AEFABCBACBADABOE AD AB