导数与函数的极值和最值问题

导数与函数的极值和最值 一 函数极值的定义 极大值 已知函数 设是定义域内任意一点 如果对附近的所有 yf x 0 x 0 x 点 都有 而且在附近的左侧 右侧x 0 f xf x 0fx 0 xx 0fx 则称函数在点处取得极大值 并把称为函数的一个极 0fx f x 0 x 0 x f x 大值点 极小值 已知函数 设是定义域内任意一点 如果对附近的所有 yf x 0 x 0 x 点 都有 而且在附近的左侧 右侧x 0 f xf x 0fx 0 xx 0fx 则称函数在点处取得极小值 并把称为函数的一个极 0fx f x 0 x 0 x f x 小值点 注 可导函数的极值点必须是导数为 0 的点 但导数为 0 的点不一定是函数的 极值点 求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 求出导函数 fx 2 求方程的根 0fx 3 根据极值的定义确定极大值和极小值 例 1 求函数的极值 3 1 44 3 f xxx 例 2 已知函数 则的极大值为 2 1 lnf xfxx f x 例 3 函数的极值点是 23 1 2f xx 0 x 练习 1 若函数在处取得极值 则 322 f xxaxbxa 1x 10 a b 练习 2 已知函数 若 若 sincos x f xexx sincos x f xexx 则各极大值和为 02011x f x 练习 3 设函数 求函数的极值 322 1 231 3 f xxaxa x f x 二 极值与参数范围问题 例 1 已知函数有极值 则实数 的取值范围为 32 11 32 f xxxcxd c 例 2 若函数在其定义域内的一个子区间内存在极 2 1 ln1 2 f xxx 1 1 aa 值 则实数的取值范围为 a 例 3 已知函数有两个极值点 则实数的取值范围为 ln f xxxax a 例 1 已知 且存在极值 则实数的取值范围为 lnf xaxx 1 xe f xa 例 2 已知 若函数图像在点处切线倾斜角为 且 ln f xaxx 2 2 f 4 在区间上总存在极值 则实数的取值范围为 32 2 m g xxxfx 2 3 m 练习 3 已知函数有三个极值点 则实数 的取值范围 432 19 42 f xxxxcx c 为 27 5 例 4 设有两个极值点 则实数的取值范围为 2 ln 1 f xxax a 1 0 2 三 函数最值 最大值和最小值 如何求函数在上的最值 a b 1 求函数在内的极值和端点值 yf x a b f af b 2 将函数的各极值与端点处的函数值比较 其中最大的 yf x f af b 一个是最大值 最小值的一个是最小值 例 1 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为 3 128f xxx 3 3 M m 则 Mm 32 练习 1 函数在区间上的最大值为 lnf xxx 0 e 练习 2 已知函数 则的最小值为 2 2 x f xxx e 2 x f x 四 函数最值相关的参数范围的问题 例 1 已知 当 时 最小值为 lnf xaxx 0 xe a f x3 例 2 已知函数在的最小值为 则实数的取值范围 3 3 f xaxax 1 1 3 a 为 3 12 2 练习 1 若函数在区间上存在最小值 则实数的取