2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题

2012 年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题 1 填空题填空题 共共 10 小题小题 每小题每小题 6 分分 满分满分 60 分分 1 已知非空集合 且满足 当时 有 则符合题意的集 1 2 2012A aA 2013aA 合共有 A 2 已知关于直线 的对称点为 则园关于 P a bl 1 1P ba 22 620C xyxy 直线 对称的园的标准方程为lC 22 2210 xy 3 已知分段函数 若有且仅有三个实数解 则实数 3 0 1 0 x x f x f xx f xxa 的取值范围是程a 2 4 设分别是方和的根 则2012 a b 513 log20120 xx 51320120 x x ab 5 已知四面体中 则该四ABCD 2 13 ABCD 41 BCAD 61 ACBD 面体的体积是 40 6 定义 已知 其 C AC BC AC B A B C BC A C AC B 1 2A 2 10Bx xax 中表示集合中元素的个数 若 由的所有可能值构成的集合是 那么 C AA 1A B aS 3 C S 7 已知正三棱锥的侧棱长为 底面边长为 是侧棱的中点 PABC 31 2QPA 一条折线从点出发 绕侧面一周到点 则这条折线长度的最小值是 AQ 155 2 8 已知函数的定义域是 若对于任意的 当时 都有 yf x D 12 x xD 12 xx 则称函数在 D 上为非减函数 设函数在上为非减函数 满 12 f xf x f x yf x 0 1 足条件 则 0 0f 1 32 x ff x 11 fxf x 11 32012 ff 65 128 9 选做题 选做题 必修必修 3 在 6 个产品中有 4 个正品和 2 个次品 现每次取出一个作检查 检查完后不放 回 直到 2 个次品都找到为止 则恰好经过 4 次检查将 2 个次品全部找到的概率是 4 15 必修必修 4 如图 1 所示 在正方形 ABCD 中 E 为 AB 的中点 P 是以 A 为圆心 AB 为半径的 圆弧 BD 上的任意一点 设向量则的最小值是 ACDEAPR 1 2 10 已知 且函数存在整数零点 则符合题意的一切mN 21010f xxmxm 的取值构成的集合是 m 0 3 14 30 2 本题满分 本题满分 20 分分 如图 2 所示 和是的两条切线 其中 为切点 在KLKNCA L N 的延长线上取一点 的外接圆与的另一交点为 和的另一交点KNMKML CAPMLCA 为 延长交于 过作于 连接 RPRMKTNNQML QQP 证明 1 2 MTR PTM 2 MPQKML 证明证明 1 连接因为为切线 所以 PLKL KLMRPL 180180180TMPKLPKLMPLMRPLPLR LRPTRMMTRPTMMTR MTP 2 连接 由 1 知 由于为的切线 则TQMTR PTM 2 TMTR TP TNCA 是的斜边中点 2 TNTR TPTMTN NQML T MNQ 22 TQTNTR TP A TRQ 2 TPQTPQTQRKMLMPQKML 三 本题满分 本题满分 2020 分分 如图 3 所示 已知单位正方体的棱长和ABCDEFGH AD 上分别有动点 Q P 若直线 PQ 和 BD 交于点 N 直线 GQ 和平面 BDE 交与点 M BE 的中BC 点是 S 设 AQ MN y 1 求证 D M S 三点共线 2 求 y 的最小值关于 x 的解析 xx 式 证明 证明 1 连接 AF DG 因为点 Q 在边 AD 上 所以直线 GQ 在平面 ADGF 内 又因为直 线 GQ 和平面 BDE 交与点 M 所以 M 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点 而 BE 的中点是 S 故 S 是 AF 的中点 所以 S 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点 显然 D 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点 因此 D M S 三点共线 2 过 M 作于 连接并延长交直线 BC 于点 取点为 P MNBD N QN P P 点为 N 此时 y MN 最小 连接 DS 经过点 M 并延长交 GF 的延长线于 T 连接N TE 则 TEBD 记 E 也就是 T 到直线 BD 的距离为 d 由于是边长为的正 BDE 三角形 故 36 2 22 d 1 2 DMx MT 6 11 01 32 3 xMNDMx yx dDTxx 四四 本题满分 本题满分 20 分 分 必修 必修 3 函数 1 求函数的值域 2 2 log416 f xx 2 若在区间上随机取一个数 a 求方程有实数根的概率 4 1 2 10fxaf x 解 解 1 2 3 2 设 f x t 则在上有实根 由于两根之积为 1 故该方程在 2 10tat 2 3 上仅有一根 设 故概率是 2 3 2 1g ttat 230 gg 105 32 a 105 1 32 56 必修 必修 4 已知对于任意的恒成立 利用此结论证明 1 存在唯0 sin 2 xxx 一的实数对 其中 使 sin cosc c cos sind d 成立 2 在 1 的条 c d 0 2 c d 件下证明 c d 证明 证明 1 构造函数 sin cos cos sin 0 2 f xxx g xxx x 因此由零点定理知 存在 0 sin10 0 22 0 10 cos10 22 ff gg 0 2 c d 由复合函数的单调性知在上单调递减 因此存在 0 0 f cg d f x g x0 2 唯一的实数对 其中 使 c d 0 2 c d sin cos cos sin ccdd 2 由cos sin sin cos sin sin dddd 0 sin0 10 22 dd 1 中的唯一性知 而因此sin cd sin dd cd 五 五 本题满分 本题满分 20 分 分 函数 32 2 1 0 sgn 0 0 log 1 1 0 x xxf xxxxx x 1 求证 函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 2 对于任意实数 求 0 a b ab 的值 33 sgn f af b ab 解 解 1 的定义域是 R 2 1 xxxf x 是定义在 R 是的奇函数 32 2 22 3 2 2 3 2 2 32 2 log1 11 log 1 1 log 1 log1 fxxxxx xxxx xx xx xx xx xxxxf x f x 2 因此在上显然递增 由于 32 2 log1 1 1 log 1 log1 f xxxxx xxxx xx xx xxxx f x 0 是定义在 R 的奇函数 因此函数在 R 上是递增