2016中考数学专题复习——一线三角三等角型

一线三等角一线三等角 基本图形解决问题基本图形解决问题 三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位 在学习三角形相似形时 我们从复杂 图形中分离出基本数学模型 对分析问题 解决问题有化繁为简的效果 在近几年的中考 题中 经常可以看到 一线三等角 的数学模型 所谓 一线三等角 是指在一条直线上 出现了三个角相等 所以 只要见到一条直线上出现了三个等角 往往都存在这样的模型 也会存在相似三角形 当出现了有相等边的条件之后 相似就转化为全等了 综合性题目 往往就会把相似和全等的转化 作为出题的一种形式 需要大家注意 本文将重点对这一 基本图形进行探讨 通过对题目的有效分解 打破同学们对综合题的畏惧心理 让同学们 加深对于题目条件的使用 条件用完 即使题目没有求解完毕 也得到相应的分数 提高 问题解决的能力 在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题 并加强题后反思 培 养他们解题的能力 一 知识梳理 1 四边形 ABCD 是矩形 三角板的直角顶点 M 在 BC 边上运动 直角边分别与射线 BA 射线 CD 交于 E F 在运动过程中 EBM MCF EBM MCF 2 如图 1 已知三角形 ABC 中 AB AC ADE B 那么一定存在的相似三角形有 ABD DEC ABD DEC 如图 2 已知三角形 ABC 中 AB AC DEF B 那么一定存在的相似三角形有 DBE DBE ECF ECF 图 1 图 2 二 例题解析 例 1 2014 四川自贡 阅读理解 如图 1 在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E 点 E 不与点 A 点 B 重合 分别连接 ED EC 可以把四边形 ABCD 分成三个三角形 如果其中有两个三角形相似 我们就把 E 叫 做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 如果这三个三角形都相似 我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点 解决问题 1 如图 1 A B DEC 55 试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 并说明理由 2 如图 2 在矩形 ABCD 中 AB 5 BC 2 且 A B C D 四点均在正方形网格 网格中 3 21 F E D A BMC 每个小正方形的边长为 1 的格点 即每个小正方形的顶点 上 试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E 拓展探究 3 如图 3 将矩形 ABCD 沿 CM 折叠 使点 D 落在 AB 边上的点 E 处 若点 E 恰好是四边 形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点 试探究 AB 和 BC 的数量关系 练习 1 已知矩形 ABCD 中 AB 3 AD 2 点 P 是 AB 上的一个动点 且和点 A B 不重合 过点 P 作 PE 垂直 DP 交边 BC 于点 E 设 PA x BE y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出 x 的取值范围 2 如图 已知正方形 ABCD 将一块等腰直角三角尺的锐 角顶点与 A 重合 并将三角尺绕点旋转 当 M 点旋转到 BC 的垂直平分线 PQ 上时 连接 ON 若 ON 8 求 MQ 的长 3 如图 在矩形 ABCD 中 AB m m 是大于 0 的常数 BC 8 E 为线段 BC 上的动点 不与 BC 重合 连接 DE 作 EF DE EF 与射线 BA 交于点 F 设 CE x BF y 1 求 y 关于 x 的函数关系式 2 若 m 8 求 x 为何值时 y 有最大值 最大值是多少 3 若 要使 DEF 为等腰三角形 m 的值应为多少 12 y m F A BC D E 例 2 等边 ABC边长为 6 P为BC边上一点 MPN 60 且PM PN分别于边AB AC 交于点E F 1 如图 1 当点P为BC的三等分点 且PE AB时 判断 EPF的形状 2 如图 2 若点P在BC边上运动 且保持PE AB 设BP x 四边形AEPF面积的y 求y与x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 3 如图 3 若点P在BC边上运动 且 MPN绕点P旋转 当CF AE 2 时 求PE的长 图 1 图 2 图 3 分析过程分析过程 1 EPF 为等边三角形 2 设 BP x 则 CP 6 x 由题意可 BEP 的面积为 CFP 的面积为 ABC 的面积为 2 3 8 x 2 3 6 2 x 9 3 设四边形 AEPF 的面积为 y 9 3y 2 3 8 x 2 3 6 2 x 2 5 36 39 3 8 xx 自变量 x 的取值范围为 3 x 6 3 可证 EBP PCF 设 BP x BPBE CFCP 则 解得 PE 的长为 4 或 6 8xx 12 4 2xx 2 3 练习 如图 在 ABC中 AB AC 5cm BC 8 点P为BC边上一动点 不与点B C重 合 过点P作射线PM交AC于点M 使 APM B 1 求证 ABP PCM 2 设BP x CM y 求 y与x的函数解析式 并写出自变量的取值范围 3 当 APM为等腰三角形时 求PB的长 4 当点是的中点时 试说明 ADE是什么三角形 并说明理由 DBC A B P C M 例 3 在中 是 AB 上的一点 且 点 PABC OBCACC 3 4 90 o 5 2 AB AO 是 AC 上的一个动点 交线段 BC 于点 Q 不与点 B C 重合 已知 AP 2 求 CQOPPQ 练习练习 在直角三角形 ABC 中 是 AB 边上的一点 E 是在 AC 边DBCABC 90 o 上的一个动点 与 A C 不重合 与射线 BC 相交于点 F DFDEDF 1 当点 D 是边 AB 的中点时 求证 DFDE 2 当 求的值m DB AD DF DE 例 4 如图 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A 3 0 B 1 0 C 0 3 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为第三象限内抛物线上的一点 设 PAC 的面积为 S 求 S 的最大值并求出此时 点 P 的坐标 3 设抛物线的顶点为 D DE x 轴于点 E 在 y 轴上是否存在点 M 使得 ADM 是直角三角 形 若存在 请直接写出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 1 y x2 2x 3 2 S 有最大值 点 P 的坐标为 8 27 2 3 4 15 3 M 的坐标为 0 或 0 或 0 1 或 0 3 2 3 2 7 课后作业 课后作业 1 已知 如图 在 ABC中 点D在边AB上 5 ACAB6 BCABDE 点E在边BC上 又点F在边AC上 且 BDEF 1 求证 FCE EBD 2 当点D在线段AB上运动时 是否有可能使 EBDFCE SS 4 如果有可能 那么求出BD的长 如果不可能请说明理由 2 如图 在 ABC中 AB AC 5 BC 6 P是BC上一点 且BP 2 将一个大小与 B相等 的角的顶点放在P 点 然后将这个角绕P点转动 使角的两边始终分别与AB AC相 交 交点为D E 1 求证 BPD CEP 2 是否存在这样的位置 PDE为直角三角形 若存在 求出 BD的长 若不存在 说明理由 3 如图 在 ABC中 AB AC 5 BC 6 P是BC上的一个动点 与B C 不重合 PE AB 与E PF BC交AC与F 设PC x 记PE PF 1 y 2 y 1 分别求 关于 x 的函数关系式 1 y 2 y 2 PEF能为直角三角形吗 若能 求出CP的长 若不能 请说明理由 4 如图 在 ABC中 AB AC 5 BC 6 P是BC上的一个动点 与B C 不重合 PE AB与E PF BC交AC与F 设 PC x PEF的面积为y 1 写出图中的相似三角形不必证明 2 求y与x的函数关系式 并写出 x 的取值范围 3 若 PEF为等腰三角形 求PC的长 C P E A B F C P E A B D C P E A B F A BC D E F 5 已知在等腰三角形中 是的中点 是上ABC4 6ABBCAC DACEBC 的动点 不与 重合 连结 过点作射线 使 射线BCDEDDFEDFA 交射线于点 交射线于点 DFEBFABH 1 求证 CED ADH 2 设 ECx BFy 用含的代数式表示 xBH 求关于的函数解析式 并写出的定义域 yxx 6 已知在梯形ABCD中 AD BC AD BC 且AD 5 AB DC 2 1 如图 8 P为AD上的一点 满足 BPC A 求证 ABP DPC 求AP的长 2 如果点P在AD边上移动 点P与点A D不重合 且满足 BPE A PE交直 线BC于点E 同时交直线DC于点Q 那么 当点Q在线段DC的延长线上时 设AP x CQ y 求y关于x的函数解析式 并 写出函数的定义域 当CE 1 时 写出AP的长 不必写出解题过程 H A B C D E F C D A B P 答案 答案 1 解 1 AB AC B C BED DEF C EFC 90 又 BED EFCBDEF FCE EBD 2 BD x BE x 3 5 xEC 3 5 6 FCE EBD 若 2 BD EC S S BED FEC EBDFCE SS 44 3 5 6 2 x x 11 18 x BD不存在3 11 36 3 5 6 x 2 解 1 AB AC B C DPC DPE EPC B BDP EPC BDP ABD DCE 2 DPE B90 若 PDE 90 在 Rt ABH和 Rt PDE中 cos ABH cos DPE 5 3 PE PD AB BH 5 3 PC BD PE PD PC 4 5 12 BD 若 PED 90 在 Rt ABH和 Rt PDE中 cos ABH cos PED 5 3 PD PE AB BH 3 5 PC BD PE PD PC 4 舍去 5 3 20 BD 综上所述 BD 的长为 5 12 3 解 1 5 24 5 4 6 5 4 1 xxyxy 3 4 2 2 FPE B90 若 PFE 90 在 Rt ABH和 Rt PFE中 cos ABH cos FPE 5 3 PE PF AB BH 5 3 1 2 y y 5 3 5 24 5 4 3 4 x x 17 27 x 若 PEF 90 在 Rt ABH和 Rt PFE中 cos ABH cos FPE 5 3 PE PF AB BH 3 5 1 2 y y 3 5 5 24 5 4 3 4 x x 3 x C P E A B D H C P E A B D H C P E A B F H C P E A B F H 4 解 1 PEB EPC 2 PC x xPF 3 4 6 5 4 xPE 6 25 16 5 4 xEPEH 6 75 32 6 25 16 3 4 2 1 2 1 xxxxEHPFy 即xxy 25 64 75 32 2 30 x 3 当PE PF时 EPC PEB PC BE x 5 3 6 x x 4 9 x 当PE EF时 cos EPH cosB xPFPH 3 2 2 1 5 3 6 5 4 3 2 x x 43 108 x 当FE PF时 cos FPM cosB 6 5 2 2 1 xEPPM 5 3 3 4 6 5 2 x x 2 x 综上所述 PC的长分别为 4 9 x 43 108 2 5 解 1 ABBC AC CDEEDFAH 又 EDFA CDEH CED ADH 2 CED ADH CECD ADAH 是的中点 又 DAC6A