函数奇偶性的性质应用

1 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 一 一 利用函数的奇偶性判断函数的单调性利用函数的奇偶性判断函数的单调性 1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反 2 奇函数 偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大 对于偶函数 如 果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上 即自变量的正负不统一 应利用图象的对称性将自变量 化归到同一个单调区间 然后再根据单调性判断 例 若奇函数 f x 在 a b 上是增函数 且有最大值 M 则 f x 在 b a 上是增函数 且有最小值 M 例 若偶函数 f x 在 0 上是减函数 则 f x 在 0 上是增函数 例 如果 f x 是 R 上的奇函数 且在 3 6 上有最大值 4 最小值 2 那么函数 f x 在 6 3 上的最大值和最小值各 是多少 提示 奇函数的图象关于原点对称 联想图象可知函数 f x 在 6 3 上的最大值为 2 最小值为 4 例 若函数 y f x x R 是奇函数 且 f 1 f 2 则必有 A f 1 f 2 C f 1 f 1 D f 2 f 1 解析 f 1 f 2 又已知 f x 是奇函数 f 1 f 2 答案 B 例 函数 y f x x R 是奇函数 图象必过点 A a f a B a f a C a f a D a f a 例 设 f x 是 R 上的偶函数 且在 0 上单调递增 则 f 2 f f 3 的大小顺序是 解析 f x 是 R 上的偶函数 f 2 f 2 f f 又 f x 在 0 上递增 而 2 3f 3 f 2 即 f f 3 f 2 答案 f f 3 f 2 例 函数 f x 是 R 上的偶函数 且在 0 上单调递增 则下列各式成立的是 A f 2 f 0 f 1 B f 2 f 1 f 0 C f 1 f 0 f 2 D f 1 f 2 f 0 解析 f x 是 R 上的偶函数 2 f 2 f 2 又 f x 在 0 上递增 f 2 f 1 f 0 答案 B 例 已知函数 f x 在区间 5 5 上是奇函数 在区间 0 5 上是单调函数 且f 3 f 1 则 A f 1 f 1 C f 1 f 5 思路分析 要比较各函数值的大小 需判断函数在区间 5 5 上的单调性 根据题意 应首先判断函数在区间 0 5 上 的单调性 解析 函数 f x 在区间 0 5 上是单调函数 又 3 1 且 f 3 f 1 故此函数在区间 0 5 上是减函数 由已知条件及奇函数性质 知函数 f x 在区间 5 5 上是减函数 选项 A 中 3f 1 选项 B 中 0 1 故 f 0 f 1 选项D 中 f 3 0 x2 x3 0 x3 x1 0 则 A f x1 f x2 f x3 0 B f x1 f x2 f x3 f x3 解析 利用减函数和奇函数的性质判断 x1 x2 0 x1 x2 3 又 f x 是定义在 R 上单调递减的奇函数 f x1 f x2 f x1 f x2 0 同理 可得 f x2 f x3 0 f x1 f x2 0 2f x1 2f x2 2f x3 0 f x1 f x2 f x3 0 则当 n N 时 有 A f n f n 1 f n 1 B f n 1 f n f n 1 C f n 1 f n f n 1 D f n 1 f n 1 0 得 f x 在 x 0 为增函数 4 又 f x 为偶函数 所以f x 在 x 0 为减函数 又 f n f n 且 0 n 1 n n 1 f n 1 f n f n 1 即f n 1 f n 0 时 f x x3 2x 3 求 f x 在 x 0 时的解析式 解 f x 是偶函数 f x f x x0 f x x 3 2 x 3 x3 2x 3 f x x3 2x 3 x0 时 试求此函数的解析式 f xxx lg 121 2 解 1 当 x 0 时 于是 fff 000 f 00 2 当 x0 时 f x x2 2x 2 1 求f x 的解析式 2 画出f x 的图象 并指出f x 的单调区间 解 2 先画出y f x x 0 的图象 利用奇函数的对称性可得到相应y f x x0 时 f x x x 2 求 x 0 时 f x 的表达式 解 x0 f x x x 2 又 f x 为奇函数 f x f x x x 2 x x 2 故当 x 0 时 f x x x 2 于原点对称 已知 f a 求 f a 可尝试利用函数的奇偶性 f x u x 1 f x u x 1 f x f x u x u x 2 u x 是奇函数 u x u x 0 f x f x 2 则 例 设 f x 是奇函数 g x 是偶函数 求 f x 的表示式 x 11 f xg xxx lg 21 8 解 f x 是奇函数 有 g x 是偶函数 有 则fxf x gxg x f xg xxx fxgxxx lg lg 21 21 即 f xg xxx f xg xxx lg lg 21 21 两式相减得f xx x x lg 2 1 2 1 1 例例 设 x 1 1 f x 是偶函数 g x 是奇函数 且 f x g x 2lg 1 x 求 10f x 和 10g x 的表达式 解 法一 与上例同解 法一 与上例同 法二 法二 x 1 1 关于原点对称 又 f x 是偶函数 f x f x g x 是奇函数 g x g x 设 f x g x 2lg 1 x F x 则 F x 2lg 1 x 而 F x f x g x f x g x 2f x F x F x 2 lg 1 x lg 1 x 2lg 1 x2 又 2g x F x F x 2 lg 1 x lg 1 x 三三 解不等式解不等式 例 若函数 f x 满足 f x f x 又在 0 上单调递增 且 f 3 0 则不等式 x f x 0的解集是 解析 9 f x f x f x 为奇函数 则 f x 的简图如右图所示 当 x0 则 x 3 0 当 x 0 时 f x 0 则 x 0 3 答案 3 0 0 3 例 2004 年上海卷 设奇函数 f x 的定义域是 5 5 当时 f x 的图象如图 1 则不等式 f x 0 的x 05 解是 图 1 10 解 根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质 画出函数在区间 5 5 上的图象如图 2 易知不等yf x 式的解是 f x 0 2025 图 2 四四 函数的奇偶性的综合应用题函数的奇偶性的综合应用题 解决有关函数的奇偶性 单调性以及求字母取值范围的综合问题时 一般先利用奇偶性得出区间上的单调性 再解决有关函数的奇偶性 单调性以及求字母取值范围的综合问题时 一般先利用奇偶性得出区间上的单调性 再 利用单调性脱去函数的符号利用单调性脱去函数的符号 f 转化为解不等式 转化为解不等式 组组 的问题 需要注意的是 在转化时 自变量必须在同一单调区间的问题 需要注意的是 在转化时 自变量必须在同一单调区间 上 当不等式一边没有符号上 当不等式一边没有符号 f 时 需转化为含符号时 需转化为含符号 f 的形式 的形式 例 已知函数 f x 是定义域为实数集 R 的偶函数 且在区间 0 上是增函数 若 f m f 2 求实数 m 的 取值范围 解 函数 f x 是实数集 R 上的偶函数 且在 0 上是增函数 所以 f x 在 0 上是减函数 当 m0 f a f b a b 1 若 a b 试比较 f a 与 f b 的大小 2 解不等式 f x b 则 a b 0 依题意有 0 成立 f a f b 0 f a f b a b 12 又 f x 是奇函数 f a f b 0 即 f a f b 2 由 1 可知f x 在 1 1 上是增函数 则所求不等式等价于 Error Error 例例 定义在 R 上的偶函数在是单调递减 若 则的取值范围是如何 xf 0 123 12 22 aafaafa 例 已知函数是奇函数 当 x 0 时 f x 有最小值 2 其中 且f x ax bxc ab 2 1 00 bN f 1 5 2 1 试求 f x 的解析式 2 问函数 f x 的图象上是否存在关于点 1 0 对称的两点 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 解 知函数是奇函数 则 c 0yf x ab 00 fxf x 由于 所以 又 又 于是f x a b x bx a b 1 2 2 ab 2 ab 2 f a b 1 15 2 2520 2 bb 解得 又 1 2 2 bbN 所以 b 1 a 1 所以