三角函数的值域与最值(教师版)

教师版 All Rights Reserved 第 1 页 共 6 页 教师姓名教师姓名郭鹏学生姓名学生姓名刘晓航填写时间填写时间 年级年级高一升高二学科学科数学上课时间上课时间 阶段阶段基础 基础 提高 提高 强化 强化 课时计划课时计划 第 第 次课 次课 共 共 次课 次课 教教 学学 目目 标标 1 会根据正 余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域 2 运用转化思想 通过变形 换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值 3 通过对最值问题的探索与解决 提高运算能力 增强分析问题和解决问题能力 体现数学思想方 法在解决三角最值问题中的作用 教学教学 重难点重难点 重点 求三角函数的最值与值域 难点 灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域 教教 学学 过过 程程 一 知识检测一 知识检测 1 在下列说法中 1 函数的最大值为 3 2 函数最小值是 4 3 函数xysin2 x x y 2 2 sin sin 4 的值域是 4 存在实数 使得成立 正确的是 x y cos 1 1 0 0 1 x 1 tan2 tan x x A 1 2 B 2 4 C 1 3 D 1 4 2 函数的值域为 3 2 6 sin xxy A 1 1 B C D 1 2 1 2 3 2 1 1 2 3 3 函数的最大值为 最小值为 xxy2cos2sin 4 时 函数的最大值为 x 4 sin 4 sin xxy 5 函数的值域为 2 sinsin1yxx 6 函数 为常数 且 的最大值是 1 最小值是 则函数的最bxay cosba 0 a7 xbxaycossin 大值是 二 互动平台二 互动平台 简单三角函数的值域 简单三角函数的值域 例例 1 1 求下列三角函数的值域 1 2 xysin 3 2 6 sin xxy 2 若函数的最大值是 1 最小值是 求 cosyaxb 7 ab 教师版 All Rights Reserved 第 2 页 共 6 页 小结小结 求基本三角函数值域 一定要结合三角函数的图像 故切记正 余弦函数的图像 与三角函数有关的复合函数的值域 与三角函数有关的复合函数的值域 型函数的值域 cos sin xAyxAy 例例 2 4 0 4 2sin 2 xxy 例例 3 求函数的值域 0 cossin xxxy 小结小结 对于的最大值为 最小值为 若 hxAy sin hA hA hxAy sin 先由求出的范围 然后结合图像求出 即由内而外逐层求值域 bax bax x 引入辅助角法 引入辅助角法 类型一类型一 型 此类型通常可以可化为求其最值 或值域 xbxaycossin 22 sincos yaxbxabx 例例 4 求函数 的最值 3 sin 6 sin xxyRx 解法解法 12 sin 2 4 6 sin 2 6 cos 6 sin xxxxy 函数的最大值为 最小值为 22 类型二类型二 型 形如这种类型的 可利用倍角公式 降幂公式进行降次 整 0 cossinsin 2 acxxbxay 理为型再利用辅助角公式求出最值 sin2cos2yAxBx 例例 5 求函数的最值 并求取得最值时 x 的值 24 7 4 cossin4sin3cos35 22 xxxxxxf 解 x xx xf2sin2 2 2cos1 3 2 2cos1 35 332sin23cos32 xx 33 6 2cos 4 x 24 7 4 x 4 3 6 2 3 2 x 2 1 6 2cos 2 2 x 的最小值为 此时 无最大值 f x2233 24 7 x f x 例例 6 求函数的值域 cos3 sin3 xxy 教师版 All Rights Reserved 第 3 页 共 6 页 方法小结方法小结 求只含有 的函数的最值问题 通常方法是换元法 令 sincosxx sin cosxxsincosxxt 将转化为 的关系式 从而使问题转化为二次函数的最值问题 但要注意换元后变量22t sin cosxxt 的取值范围 小试身手小试身手 已知 求的最大值及此时的集合 213 sincos1 22 sin yxxxxR yx 分析分析 此类问题为的三角函数求最值问题 它可通过降次化简整理为xcxxbxay 22 coscossinsin 型求解 xbxaycossin max 1 1 cos23 sin2 1 2222 135 cos2sin2 444 1 135 cos2sin2 2 224 15 sin 2 264 7 22 6264 xx y xx xx x xkxkkzy 解 小试身手小试身手 1 已知函数 直线 x t t 与函数 f x g x 的图像分别xxf2sin cos 2 6 g xx 0 2 交于 M N 两点 则 MN 的最大值是多少 2 求函数的值域 xxxxy 22 cos6cossin3sin5 3 cos2cosyxx 4 求函数的值域 xxxxycossincossin 配方法 配方法 型 此类型可化为在区间上的 0 sinsin 2 acxbxay 0 2 acbtaty 1 1 最值问题 例例 6 求函数 的最值 1sin3cos2 xxyRx 解 4 9 2 3 sin1sin3sin1 22 xxxy 函数的最大值为 最小值为 4 9 4 325 例例 8 求函数 的最大值 1sin3cos2 xaxyRa Rx 教师版 All Rights Reserved 第 4 页 共 6 页 解解 转化为1sin3cos2 xaxy 2 sin3 sin2yxax 配方得配方得 2 4 3 2 3 sin 22 aaxy 当 即时 在 sinx 1 1 2 3 a 3 32 a13 max ay 当时 即时 在 sinx 1 1 2 3 a 3 32 a13 max ay 当 即时 在时 1 2 3 1 a 3 32 3 32 aax 2 3 sin 2 4 3 2 max ay 综上 2 max 2 3 31 3 32 32 3 2 433 2 3 31 3 aa yaa aa 小结小结 对于二次型函数 都可通过换元构造二次函数 进而转化为二次函数在某个区间上的值域cbtaty 2 问题 但一定要注意新元的范围 小试身手小试身手 1 函数的值是多少 2 2 sin2cos 1 3 f xxx 在区间上的最大值为则 2 求函数的最值 5sincos2yxx 分分 析析 观察三角函数名和角 其中一个为正弦 一个为余弦 角分别是单角和倍角 所以先化简 使三角 函数的名和角达到统一 2 22 min max 533 5sin1 2sin2sin5sin12 sin 48 8133 1sin1 sin1 2 26 2168 133 sin1 2 24 2168 yxxxxx xxxkkzy xxkkz y 解 3 设 用表示的最大值 2 0 2 1 4 sincos2 x a xaxxfa f x M a 解解 令 sinx t 则 2 1 4 sinsin 2 a xaxxf 10 t 2 1 4422 1 4 2 2 2 aaa t a attxftg 教师版 All Rights Reserved 第 5 页 共 6 页 1 当 即在 0 1 上递增 1 2 a tga 2 2 1 4 3 1 a gaM 2 当即时 在 0 1 上先增后减 1 2 0 a 20 a tg 2 1 442 2 aaa gaM 3 当即在 0 1 上递减 0 2 a tga 0 42 1 0 a gaM 0 42 1 2 0 2 1 44 2 2 1 4 3 2 a a a aa a a aM 3 求函数在区间上的值域 xxysin22cos 4 4 数形结合 数形结合 型 此类型最值问题可考虑如下几种解法 转化为 dxc bxa xf cos sin 再利用辅助角公式求其最值 采用数形结合法 转化为斜率问题 求最值 cxbxa cossin 例例 9 求函数的值域 sin cos2 x y x 解法解法 1 1 将函数变形为 sin cos2 x y x cossin2yxxy 由 2 2 sin 1 y x y 2 2 sin 1 1 y x y 22 2 1yy 解得 故值域是 33 33 y 33 33 解法 2 数形结合法 求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P cosx sinx 与定点 Q 2 0 所确定的直线的斜率的范围 作出如图得图象 当过 Q 点的直线与单位圆 相切时得斜率便是函数得最值 由几何知识 易求得过 Q 的两切线 sin cos2 x y x 得斜率分别为 结合图形可知 此函数的值域是 3 3 3 3 33 33 课课 后后 作作 业业 x Q P y O 教师版 All Rights Reserved 第 6 页 共 6 页 1 函数xxycos3sin 在区间 0 2 上的最小值为 2 函数 2cos 2 1 cos Rxxxxf 的最大值等于 3 函数tan 2 yx 44 x 且0 x 的值域是 4 当 2 0 x时 函数 x xx xf 2sin sin82cos1 2 的最小值为 1 函数 6 cos 3 sin 2Rxxxy 的最小值等于 2 当0 4 x 时 函数 2 2 cos cos sinsin x f x xxx 的最小值是 3 函数 sin cos2 x y x 的最大值为 最小值为 4 函数costanyxx 的值域为 5 已知函数 2sin 0 f xx 在区间 3 4 上的最小值是2 则 的最小值等于 6 已知函数 2cos sincos 1f xxxxx R 求函数 f x的最小正周期 求函数 f x在区间 3 84 上的最小值和最大值 7 已知函数的定义域为 0 值域为 5 1 求 2 2 sin2 3 si