【精品解析】河南省洛阳市示范高中2012届高三数学联考试题解析 理 （教师版）

1 精品解析 洛阳市示范高中精品解析 洛阳市示范高中 20122012 届高三联考数学 理 试题解析届高三联考数学 理 试题解析 教师版 教师版 试题总体说明 本套试题整体上符合高考考纲的要求 侧重于基础的同时 也能体现同 学们是不是灵活的运用知识解决相关的 问题 能会分析问题和解决问题的能力 体现的比 较突出 试题看似亲切 但是要注意到一些细节问题 整体上难度适合中等生 或者中等 以上的学生来解决该试题 试题的知识点含量比较多 可以说是面面俱到 重点问题重点 考查 难点问题也有所突破 是一份比较成功的试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 复数 2 12 m z i i m R i是虚数单位 在复平面上对应的点不可能位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 A 解析 解 因为 m2i m2i 1 2i m4 22m i z 12i 12i 1 2i 5 当 m 4 时 则实部大于零 虚部必然要小于零 不能为第一象限 当 mn 的情况 0 90mn0nm 就是 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 5 1 5 2 5 3 5 4 4 1 4 2 4 3 3 1 3 2 2 1 共 15 种 则由古典概型可知 概率为 155 3612 5 已知tan2 则 2 cos2 sincos 的值为 A 3 B 3 C 2 D 2 答案 A 答案 A 解析 解 由三视图可知该三视图中三棱锥的高为 2 底面积是正三角形边长为 2 侧面 是两个等腰直角三角形 腰长为 2 另一个侧面是腰长为 底边长为 2 的等腰三角形 2 2 利用三角形面积公式可以得到结论 7 由曲线 32 xyxy 围成的封闭图形的面积为 A 12 1 B 4 1 C 3 1 D 12 7 答案 A 4 解析 解 由微积分基本定理 可知由曲线 32 xyxy 围成的封闭图形的面积为 1 2334 1 0 0 111 xx dxxx 3412 8 设等差数列 n a 的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 的值是 A 24 B 19 C 36 D 40 答案 A 解析 解 因为 19 9191 2941 aa S972aa162 a4d 16 2 aaa3 a4d 24 9 已知抛物线 22 2 22 2 0 1 xy ypx p ab 与双曲线 0 0 ba有相同的焦点 F 点 A 是两 曲线的交点 且 AF x轴 则双曲线的离心率为 A 2 15 B 12 C 13 解 由题意 SA AC SB BC 22 SC 4 所以 AC2 SA2 SC2 BC2 SB2 SC2 SC 是两个截面圆 SAC 与 SCB 的直径 所以 SC 是球的直径 球的半径为 2 5 所以球的体积为 4 3 23 32 3 11 若a满足4lg xx b满足410 x x 函数 0 2 0 2 2 x xxbax xf 则关于x的方程xxf 的解的个数是 A 1B 2C 3D 4 当 x 0 时 关于 x 的方程 f x x 即 x2 4x 2 x 即 x2 3x 2 0 x 2 或 x 1 满足题意 当 x 0 时 关于 x 的方程 f x x 即 x 2 满足题意 关于 x 的方程 f x x 的解的个数是 3 12 如图 在直角梯形ABCD中 AD AB AB DC 1ADDC 2AB 动点P在以点C为圆心 且与直线BD相切的圆上或圆内移动 设 APADAB R 则 取值范围是 A 1 2 B 2 4 C 2 D 1 答案 A 解析 解 以 D 为坐标原点 AB 为 x 轴 DA 为 y 轴建立平面直角坐标系则 A 0 0 D 0 1 B 2 0 C 1 1 直线 BD 的方程为 x 2y 2 0 6 C 到 BD 的距离为 5 5 以 点 C 为圆心 且与直线 BD 相切的圆方程为 x 1 2 y 1 2 1 5 设 P x y 则 22 AP x y AD 0 1 AB 2 0 x y 0 1 2 0 x2 y 1 P2 1 1 5 在圆内 故有 解得 1 2 第第 卷卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知实数 满足 则 3的最大值是 xy 4xy90 xy 10 y3 xy 15 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上 过点 1 1 2 作圆 22 1xy 的切线 切点分别 为 A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 7 答案 22 1 54 xy 解析 解 解 设切点坐标为 m n 则 22 22 1 n n1 2 1mnnm0 m 1 m2 1 mn1nm1 2 A 16 下表是某数学老师及他的爷爷 父亲和儿子的身高数据 父亲身高x cm 173170176 儿子身高y cm 170176182 因为儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 参考公式 回归直线的方程是 axb y 其中 xbya xx yyxx b n i i n i ii 2 1 1 其中 i y是与 i x对应的回归估计值 参考数据 18 3 1 2 i i xx 18 3 1 i ii yyxx 答案 185cm 解析 解 设 X 表示父亲的身高 Y 表示儿子的身高则 Y 随 X 的变化情况如下 建立这 8 种线性模型 X 173 170 176 Y 170 176 182 x 173 170 176 3 173 y 170 176 182 3 176 命题说明 本试题主要考查了向量作为工具的三角函数的化简 以及解三角形的综合运 用 解析 9 10 分 4 2sin 22cos2sin CCC 3 2 0 C 12 13 4 2 4 C1 4 2sin 2 2 C 的值域是 12 分 2 4 2sin 21 C Cf 2 1 18 本小题满分12分 某高中为了推进新课程改革 满足不同层次学生的需求 决定从高一年级开始 在每周的 周一 周三 周五的课外活动期间同时开设数学 物理 化学 生物和信息技术辅导讲座 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座 也可以放弃任何 一门科目的辅导讲座 规定 各科达到预先设定的人数时称为满座 否则称为不满座 统 计数据表明 各学科讲座各天的满座的概率如下表 根据上表 1 求数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座的概率 2 设周三各辅导讲座满座的科目数为 求随机变量的分布列和数学期望 10 9 分 4 121 5 2324 P A 所以随机变量的分布列如下 012345 P 1 48 1 8 7 24 1 3 3 16 1 24 10 分 故 12 分 1171318 012345 48824316243 E AAAAAA 19 本小题满分12分 如图 四棱锥P ABCD 的底面ABCD为菱形 PA 平面ABCD 2PAAB EF 分别为CD PB 的中点 3AE 求证 平面AEF 平面PAB 求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值 11 命题说明 本试题主要考查了空间中点线面的位置关系的综合运用 求解面面的垂直问 题 以及二面角的求解 可以运用几何性质定理和判定定理得到 也可以运用向量法来进 行求解 解析 证明 四边形ABCD是菱形 2ADCDAB 在 ADE 中 3AE 1DE 222 ADDEAE 90AED 即AECD 又AB CD AE AB 2分 PA 平面ABCD AE 平面ABCD PA AE 又 PA ABA AE 平面PAB 4分 又 AE 平面AEF 平面AEF 平面PAB 6分 12 22 7 cos 77 APE 所以 平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为 2 7 7 12分 理 解法二 以A为原点 AB AE分别为x轴 y 轴的正方向 建立空间直角坐标 系 Axyz 如图所示 因为 2PAAB 3AE 所以 0 0 0 A 0 0 2 P 0 3 0 E 1 3 0 C 6分 则 0 3 2 PE 1 0 0 CE 0 3 0 AE 7分 由 知AE 平面PAB 13 故平面PAB的一个法向量为 1 0 1 0 n 8分 设平面PCD的一个法向量为 2 nx y z 则 2 2 0 0 n PE n CE A A 即 320 0 yz x 令 2y 则 2 0 2 3 n 10分 12 12 12 22 7 cos 77 n n n n nn A A 所以 平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为 2 7 7 12分 20 本小题满分 12 分 已知椭圆经过点 且两焦点与短轴的一个端点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 2 2 1 P 的连线构成等腰直角三角形 1 求椭圆的方程 2 动直线交椭圆 C 于 A B 两点 试问 在坐标平 0 3 1 Rnmnnymxl 面上是否存在一个定点 T 使得以 AB 为直径的圆恒过点 T 若存在 求出点 T 的坐标 若 不存在 请说明理由 命题说明 本试题考查了椭圆的方程的求解 以及直线与椭圆的位置关系的综合运用 体现了运用代数方法解决解析几何的本质 联立方程组 设而不求的数学思想 借助于韦 达定理 求解计算 14 圆方程为 0 2 9 1815 3 2 2 3 4 22 22 22 2 22 22 nm mn y nm n x nm mn yx 将 0 1 代入显然成立 故存在 T 0 1 符合题意 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 ln1 a f xxax x aR 当时 讨论 f x的单调性 1 2 a 当时 对于任意的 证明 不等式0 a 2nNn 且 1111321 2 3 4 42 1 n ffff nn n 命题说明 本试题考查了导数在研究函数中的运用 主要是对于单调性的讨论 体现了 分类讨论思想的运用 尤其是含有参数的二次函数不等式的求解 另外 能构造函数 运 用函数 导数来证明不等式的综合试题 解析 15 II 由 I 知 时 上是增函数 0a 1 1 1 f xLnx x 在 1 0 xf xf x 时 设 22 1 1 1 g xf xxLnxxx x 则 33 222 1121 1 221 2 xxxxx g xx xxxx 恒成立 单调递减 2 2210 xx 1 0 xg xg x 时 2 1 1 0 1xg xgf xx 时 即 又 2 111111 0 1 1 1 211 f x f xxxxxx 111111111111 1 2 3 4 23243511ffff nnn 1111321 1 22142 1 n nnn n 不等式得证 12 分 请考生请考生在第在第 2222 2323 2424 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时 请写清题号 请写清题号 16 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线经过 上的点 并且ABOC 交直线于 连接 CBCAOBOA OOBED CDEC I 求证 直线是 的切线 ABO II 若 的半径为 3 求的长 2 1 tan CEDOOA 设 则 9 BD X 2BCX 2 BCBD BE 2 2 6 2BD 分 10 分 2 3 5OAOB BD OD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 17 已知直线 t ty tx 2 3 2 1 1 为参数 曲线 1 C cos sin x y 为参数 设 与 1 C相交于BA 两点 求 AB 若把曲线 1 C上各点的横坐标压缩为原来的 2 1 倍 纵坐标压缩为原来的 2