三角函数的定义导学案

MO P a b Y x 第一章基本初等函数 1 2 任意角的三角函数 1 2 1 三角函数的定义 学 习 目 标 1 掌握任意角的三角函数的定义 2 已知角 终边上一点 会求角 的各三角函数值 3 记住三角函数的定义域 值域 4 会判断三角函数在各象限的符号 课 前 准 备 预习 1 三角函数的定义 1 正弦 2 余弦 3 正切 4 余切 5 正割 6 余割 2 三角函数的定义域 三角函数定义域 sin cos tan 3 三角函数在各象限的符号 sin cos tan 新 课 引 入 思考 我们已经学过锐角三角函数 知道它们都是以锐角为自变量 以比值为函数值的 函数 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示 锐角三角函数吗 结论 在 Rt ABC 中 设 A 对边为 a B 对边为 b C 对边为 c 锐角 A 的正弦 余弦 正切依次 为 aba sinAcosAtanA ccb 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 新 课 导 学 探究一探究一 角推广后 这样的三角函数的定义不再适用 我们必须对三角函数重新定义 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图 设锐角的顶点与原点重合 始边与轴的正半轴重合 那么它的终边在第 Ox 一象限 在的终边上任取一点 它与原点的距离 P a b 过作轴的垂线 垂足为 则线段 22 0rab PxM 的长度为 线段的长度为 OMaMPb 则 sin MPb OPr cos OMa OPr tan MPb OMa 新知新知 1 任意角的三角函数的定义 如图 设是一个任意角 它的终边上任一点 那么 P x y 0 22 yxOPRyMPxOM 1 叫做的余弦 记作 即 r x cos r x cos 2 叫做的正弦 记作 即 r y sin r y sin 3 叫做的正切 记作 即 y x tan 0tan x x y 4 叫做的正割 记作 即 x r csec 0sec x x r 5 叫做的余割 记作 即 y r csc 0csc y y r 6 叫做的余切 记作 即 y x cot 0cot y y x 探究二探究二 在上述三角函数定义中在上述三角函数定义中 自变量是什么自变量是什么 函数的定义域是什么函数的定义域是什么 新知新知 2 2 三角函数定义域 sin cos tan 说明 当时 的终边在轴上 终边上任意一点的横坐标都等 2 kkZ yx 于 所以无意义 除此情况外 对于确定的值 上述各值都是唯一确定的0tan y x 实数 探究三探究三 三角函数值在各象限的符号的什么 新知新知 3 三角函数在各象限的符号 sin cos tan 结论 一全正 二正弦 三两切 四余弦 典 型 例 题 例 1 已知角的终边经过点 P 2 求的六个三角函数值 M x O y r P y x 训练 1 已知角的终边经过点 P 求的六个三角函数值 3 1 例 2 求下列各角的六个三角函数值 1 2 3 2 3 训练 2 求下列各角的六个三角函数值 1 2 2 2 5 例 3 确定下列各三角函数值的符号 1 cos260 2 sin 3 tan 672 20 4 tan 3 3 10 训练 3 确定下列各三角函数值的符号 1 sin 120 2 cos 3 tan672 20 4 4 5 00 sin340cos265 例 4 设且 确定是第几象限角 0sin 0tan 训练 4 设且 确定是第几象限角 0cos 0tan 小 结 1 任意角的三角函数的定义 2 三角函数的定义域及三角函数值的符号 当 堂 检 测 1 已知角的终边过点 求角的正弦 余弦和正切值 0 3 4 P 2 确定下列各三角函数值的符号 1 2 3 4 0 cos250sin 4 0 tan 672 tan3 3 1 若 sin 0 且 cos 0 且 sin 0 且 cos 求 sin cos tan 的值 3 2 x B 组 一 选择题 1 设 角属于第二象限 且 2 cos 2 cos 则 2 角属于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 给出下列各函数值 1000sin 0 2200cos 0 10tan 9 17 tan cos 10 7 sin 其中符号为负的有 A B C D 3 02120 sin等于 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 1 4 已知 4 sin 5 并且 是第二象限的角 那么tan 的值等于 A 4 3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 5 若 则等于 5 4 3 2 1 2sin cos A cos sin B sin cos C sin cos D cos sin 6 若 tan 则 cos2 sin cos 的值是 1 3 A B C D 6 5 4 5 4 5 6 5 二 填空题 7 设 分别是第二 三 四象限角 则点 cos sin P分别在第 象限 8 若角 的终边在直线 y x 上 则 cos cos1 sin1 sin 2 2 9 使 tanx 有意义的 x 的集合为 xsin 1 10 已知 是第二象限的角 且 cos 则 是第 象限的角 2 4 5 2 三 解答题 11 已知 1 tan tan 是关于x的方程 22 30 xkxk 的两个实根 且 2 7 3 求 sincos 的值 12 设 cos m n 0 求 的其他三角函数值 m n m n C 组 1 证明 1 1 2sin cos cos2 sin2 1 tan 1 tan 2 tan2 sin2 tan2 sin2 2 已知 1 2 cossin mmmxx且 求 1 xx 33 cossin 2 xx 44 cossin 的值 课后作业参考答案 A 组 一 1 c 2 c 3 A 4 A 5 C 6 C 二 7 8 9 10 10 103 2 1 3 2 6 三 11 asin 5 4 5 3 cos a 3 4 tan a 4 3 cot a 3 5 sec a 4 5 csc a 12 3tan 2 1 cos 2 3 sin B 组 一 选择题 1 C 22 2422 kkkZkkkZ 当2 kn nZ 时 2 在第一象限 当21 knnZ 时 2 在第三象限 而coscoscos0 222 2 在第三象限 2 C 00 sin 1000 sin800 000 cos 2200 cos 40 cos400 tan 10 tan 310 0 77 sincossin 717 1010 sin0 tan0 1717 109 tantan 99 3 B 200 3 sin 120sin120 2 4 A 43sin4 sin cos tan 55cos3 5 A 6 D 二 填空题 7 四 三 二 当 是第二象限角时 sin0 cos0 当 是第三象限角时 sin0 cos0 当 是第四象限角时 sin0 cos0 8 1717 sin0 cos0 1818 MPOM 9 x x R 且 x k Z 2 k 10 三 三 解答题 11 解 2 1 tan31 2 tan kk 而 2 7 3 则 1 tan2 tan k 得tan1 则 2 sincos 2 cossin2 12 解 m n 0 cos 0 m n m n 是第一象限角或第四象限角 当 是第一象限角时 sin 2 2 2 1cos1 nm nm mn nmnm nmnm 2 2 22 tan mn nm 2 cos sin 当 是第四象限角时 sin mn nm 2 cos1 2 tan mn nm 2 cos sin C 组 1 1 证明 左 sin cossin cos cossin2cossin 22 sin cossin cos cos sin 2 sincos sincos cos sincos cos sincos cos 0 分子 分母可同除以 cos 右 证毕 1 tan 1 tan 还可用其他证法 2 证明 左 sin2 2 2 cos sin 2 222 cos cossinsin tan2 sin2 右 证毕 2 22 cos