2010高考数学二轮复习 专题四《解析几何》新人教版

用心 爱心 专心1 专题四专题四 解析几何解析几何 考情分析 1 圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位 是高考的重点 热点和难点 高考一 般设计两个客观题和一个主观题 客观题考查直线与圆的关系和圆锥曲线的概念及 基本几何性质 主观题一般通过以圆锥曲线为载体 与平面向量 导数 数列 不 等式 平面几何等知识进行综合 结合数学思想方法 考查学生的数学思维能力及 创新能力 其设问形式新颖 有趣 综合性很强 2 该部分考查的重点有 直线与圆的方程 直线与圆的位置关系 三种圆锥曲线的概 念及几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系等 动点轨迹方程的求法 解析几何与 各部分知识综合问题的解法 数形结合思想等 知识交汇 1 1 直线与圆综合 直线与圆综合 直线与圆都是解析几何的基本知识点 考题常以选择题和填空题形式综合考查他们 之间的位置关系 难度不大 属于基础题 例 1 若圆C的半径为 1 圆心在第一象限 且与直线4 30 xy 和x轴相切 则该 圆的标准方程是 A 2 2 7 3 1 3 xy B 22 2 1 1xy C 22 1 3 1xy D 2 2 3 1 1 2 xy 答案 B 解析 设圆心为 1 a由已知得 43 1 1 2 52 a da 舍故选 B 点评 圆与 x 轴相切 则圆心的纵坐标与半径的值相等 注意用数形结合 画出草图来 帮助理解 例 2 已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切 圆心在直线 x y 0 上 则圆 C 的 方程为 A 22 1 1 2xy B 22 1 1 2xy C 22 1 1 2xy D 22 1 1 2xy 答案 B 解析 圆心在 x y 0 上 排除 C D 再结合图象 或者验证 A B 中圆心到两直线的距离 用心 爱心 专心2 等于半径即可 2 点评 圆与直线相切 则圆心到直线的距离等于半径 注意用数形结合 画出草图来帮助 理解 当然选择题中也可以用排除法 既快又准的得出答案 2 2 直线与圆锥曲线的综合 直线与圆锥曲线的综合 直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题 会利用直线与圆锥 曲线方程所组成的方程组消去一个变量后 将交点问题转化为一元二次方程根的问 题 结合根与系数的关系及判别式解决问题 能够利用数形结合法 迅速判断某直 线与圆锥曲线的位置关系 但要注意曲线上的点的纯粹性 涉及弦长问题时 利用 弦长公式及韦达定理求解 涉及弦的中点及中点弦的问题 利用点差法较为简 便 直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程 数形结合 分类讨论 化归等数学 思想方法 因此这部分经常作为高考试题的压轴题 命题主要意图是考查运算能力 逻辑推理能力 例 3 已知以 1 2 0 F 2 2 0 F 为焦点的椭圆与直线340 xy 有且仅有一个交 点 则椭圆的长轴长为 A 3 2B 2 6C 2 7D 4 2 解析 设椭圆方程为 22 1 0 mxnymn 联立方程组 22 1 340 mxny xy 消 x 得 2 3 8 316mn ymym 1 0 192m2 4 16m 1 3m n 0 整理 得 316 mnmn 即 31 16 nm 又 c 2 由焦点在 x 轴上信 所以 11 mn 4 联立解得 1 7 1 3 m n 故长轴长为2 7 点评 直线与圆锥曲线只有一个交点时 经常采用联立方程组 消去一个未知数后 变 成一元二次方程 由判别式来求解 但要注意 有时要考虑二次项的系数为 0 的特殊情况 3 3 向量与圆锥曲线综合 向量与圆锥曲线综合 向量作为数学的一个实用工具 在各部分的高考试题中频频出现 这也是命题者设 计隐藏已知条件的热点所在 解决该类问题的关键是将条件转化 从而挖掘出条件 用心 爱心 专心3 的真正面目 例 4 设椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐 标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存 在说明理由 解析 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 设该圆的切线方程为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 用心 爱心 专心4 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的切线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交 点 A B 且OAOB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 用心 爱心 专心5 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 所以 4 6 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取 当0k 时 4 6 3 AB 当 AB 的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此 时 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 点评 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 能够运用解方程 组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系 4 4 方程 不等式与圆锥曲线综合方程 不等式与圆锥曲线综合 近几年来的高考题中 圆锥曲线与方程 不等式的综合一直是高考热点之一 尤其 是均值不等式在求最值或范围中的应用 更是频繁出现 其综合性强 对能力的要求 较高 运算难度较大 例 5 如图 直线ykxb 与椭圆 2 2 1 4 x y 交于AB 两点 记AOB 的面积为S I 求在0k 01b 的条件下 S的最大值 II 当2AB 1S 时 求直线AB的方程 解析 设点A的坐标为 1 xb 点B的坐标为 2 xb 由 2 2 1 4 x b 解得 2 1 2 2 1xb A y xO B 图 1 用心 爱心 专心6 所以 222 12 1 2111 2 Sb xxbbbb 当且仅当 2 2 b 时 S取到最大值 1 解 由 2 2 1 4 ykxb x y 得 222 1 210 4 kxkbxb 2222 4 41 1 k bkb 22 4kb 1 AB 22 1212 xxyy 22 22 12 2 41 11 1 4 kb kxxk k 2 设O到AB的距离为d 则 2 1 S d AB 又因为 2 1 b d k 所以 22 1bk 代入 式并整理 得 42 1 0 4 kk 解得 2 1 2 k 2 3 2 b 代入 式检验 0 故直线AB的方程是 26 22 yx 或 26 22 yx 或 26 22 yx 或 26 22 yx 点评 点评 求圆锥曲线的弦长时 可利用弦长公式 AB 22 1212 xxyy 2 12 1kxx 来求解 5 5 充分 必要条件与圆锥曲线的综合 充分 必要条件与圆锥曲线的综合 高考对简单逻辑用语中的充分 必要条件的考查 主要通过与其它部分的综合问题 出现 而与解析几何相综合的问题最为普遍 通过这种形式主要考查对充分 必要 条件的理解和解析几何部分的基本概念等细节性问题 严密性问题 例 6 a b 是 直线2 2 22 byaxxy与圆 相切 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件 答案 A 用心 爱心 专心7 解析 若 a b 则直线与圆心的距离为2 2 2 aa 等于半径 2 2 22 byaxxy与圆 相切 若2 2 22 byaxxy与圆 相切 则2 2 2 ba 40 baba或 故 a b 是 直线2 2 22 byaxxy与圆 相切 的充分不必要条件 点评 解决该类问题的关键是 先将二者排好队 然后通过判断前者是否能推出后者 即判断是否充分条件 通过判断后者是否能推出前者 即判断是否必要条件 例 7 圆 22 1xy 与直线2ykx 没有公共点的充要条件是 A 22 k B 33 k C 2 2 k D 3 3 k 答案 B 解析 本小题主要考查直线和圆的位置关系 依题圆 22 1xy 与直线2ykx 没有公 共点 2 2 1 1 d k 33 k 点评 直线与圆的公共点的问题 有两种解决方法 1 运用圆心到直线的距离与半径的 关系进行判断 dr 直线与圆相离 没有公共点 dr 直线与圆相切 有一个公 共点 dr 直线与圆相交 有两个公共点 2 利用判别式进行判断 0 直线 与圆相离 没有公共点 0 直线与圆相切 有一个公共点 0 直线与圆 相交 有两个公共点 两种方法任选其一都可以解决问题 但是相比之下 第一种 方法略简单些 思想方法 例 1 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且BFx 轴 直线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 答案 D 用心 爱心 专心8 解析 对于椭圆 因为2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace 分析 该题体现了转化与化归思想和数形结合的巧妙应用 是解析几何与平面向量结 合的综合性考题 命题点是解析几何与向量的交汇 例 2 直线1 xy上的点到圆0424 22 yxyx的最近距离是 答案 122 解析 因为圆心到直线的距离为 2 1 1 2 2 2 所以直线1 xy上的点到圆 0424 22 yxyx的最近距离就是圆心到直线的距离减去半径 即 1221 2 112 分析 该题体现了对转化与化归思想的考查 本题主要考查了直线和圆的位置关系 将直线与圆的最近距离转化为圆心到直线的距离 问题迎刃而解 例 3 点 A B 分别是椭圆1 2036 22 yx 长轴的左 右端点 点 F 是椭圆的右焦点 点 P 在椭圆上 且位于x轴上方 PFPA 求点 P 的坐标 解析 由已知可得点 A 6 0 F 4 0 设点 P 的坐标是 6 4 x yAPxyFPxy 则 由已知得 6 2 3 01892 0 4 6 1 2036 2 2 22 xxxx yxx yx 或则 由于 3 2 5 2 3 3 2 5 2 3 0的坐标是点于是只能Pyxy 分析 该题体现了方程思想和转化与化归思想的应用 解析几何中的很多综合题的解 决过程中 都需要根据已知条件列出方程或方程组 通过解方程或方程组来达 到求解的目的 例 4 已知椭圆中心在原点 焦点在y轴上 焦距为 4 离心率为 3 2 求椭圆方程 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M 又点 A 和点 B 在椭圆上 且 M 分有向线段 AB 所成的比为 2 求线段 AB 所在直线的方程 用心 爱心 专心9 解析 设椭圆方程为1 2 2 2 2 b x a y 由 2c 4 得 c 2 又 3 2 a c 故 a 3 5 222 cab 所求的椭圆方程为 22 1 95 yx 若 k 不存在 则2 MB AM 若 k 存在 则设直线 AB 的方程为 y kx 2 又设 A 221 1 yxByx 由 1 95 2 22 yx kxy 得 02520 59 22 kxxk 12 2 20 95 k xx K 12 2 25 95 xx K 点 M 坐标为 M 0 2 2 2 2211 yxMByxAM 由得2 MB AM MBAM2 2 2 2 2211 yxyx 21 2xx 代入 得 2 2 20 95 k x k 2 2 2 25 2 95 x k 由 得 2 2 20 2 95 k k 2 25 95k 2 1 3 k 3 3 k 线段 AB 所在直线的方程为 2 3 3 xy 分析 本题是分类讨论在解析几何中的应用 处理直线与圆锥曲线的位置关系时 待 定直线方程要考虑斜率不存在的情况 专题演练 1 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 且和y轴交于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 2 过点 0 1 作与抛物线 2 4yx 仅有一个公共点的直线共有 A 1条 B 2条 C 3条 D 0条 用心 爱心 专心10 3 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段AF交C于点 B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 4 已知圆 1 C 2 1 x 2 1 y 1 圆 2 C与圆 1 C关于直线10 xy 对称 则圆 2 C的方程为 5 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点P在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的小大为 6 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线 C 的方程 已知直线0 xym 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且线段 AB 的中点在圆 22 5xy 上 求m的值 7 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 3 过右焦点 F 的直线l与C相交 于A B两点 当l的斜率为 1 时 坐标原点O到l的距离为 2 2 I 求a b的值 II C上是否存在点 P 使得当l绕 F 转到某一位置时 有OPOAOB 成立 若存在 求出所有的 P 的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 参考答案 1 答案 B 用心 爱心 专心11 解析 抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 坐标为 0 4 a 则直线l的方程为2 4 a yx 它与y轴的交点为 A 0 2 a 所以 OAF 的面积为 1 4 2 42 aa 解 得8a 所以抛物线方程为 2 8yx 故选 B 2 答案 C 解析 点01 在抛物线xy4 2 的外部 考虑与对称轴平行及与抛物线相切两种情况 即满足条件的直线有 3 条 3 答案 A 解析 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意 3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 4 答案 2 2 x 2 2 y 1 解析 设圆 2 C的圆心为 a b 则依题意 有 11 10 22 1 1 1 ab b a 解得 2 2 a b 因为对称圆的半径不变仍为 1 所以圆 2 C的方程为 2 2 x 2 2 y 1 5 答案 2 120 解析 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 用心 爱