【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 6.1不等式的性质及应用课时提能训练 理 新人教A版

1 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 6 16 1 不等式的性质及应用课时不等式的性质及应用课时 提能训练提能训练 理理 新人教新人教 A A 版版 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 2011 重庆高考 已知 a 0 b 0 a b 2 则 y 的最小值是 1 a 4 b A B 4 C D 5 7 2 9 2 2 2012 桂林模拟 设 0 a b a b 1 则 b 2ab a2 b2中最大的是 1 2 A B 2ab C b D a2 b2 1 2 3 下列函数中 y 的最小值为 2 的是 A y x B y 1 x x2 3 x2 2 C y ex e x D y 0 x sinx 2 2 sinx 4 2012 南宁模拟 已知 a b c 是正实数 则 b a 2c 是 b2 4ac 2 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 2012 百色模拟 已知 b a 0 且 ab 1 则取得最小值时 a b 等于 a2 b2 a b A B C D 10632 6 设定义域为 R 的函数 f x 满足下列条件 对任意 x R f x f x 0 对任意 x1 x2 1 a 当 x2 x1时 有 f x2 f x1 0 则下列不等式不一定成立的是 A f a f 0 B f f 1 a 2a C f f 3 D f f a 1 3a 1 a 1 3a 1 a 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 2 7 如果对于任意的正实数 x 不等式 x 1 恒成立 则a 的取值范围是 a x 8 若实数 a b c 满足 2a 2b 2a b 2a 2b 2c 2a b c 则 c 的最大值为 9 若实数 x y 满足 x2 y2 xy 1 则 x y 的最大值是 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 1 求函数 y x a 2x x 0 a 为大于 2x 的常数 的最大值 2 当点 x y 在直线 x 3y 4 0 上移动时 求表达式 3x 27y 2 的最小值 11 已知 a 0 b a c b 比较 a b c 1 2 3 a 1 2 3 b 探究创新 16 分 某单位用 2 160 万元购得一块空地 计划在该空地上建造一栋至少 10 层 每层 2 000 平方米的楼 房 经测算 若将楼房建为 x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为 560 48x 单位 元 1 写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数解析式 2 该楼房建造多少层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值是多少 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 答案解析答案解析 1 解题指南 用 a b 乘以 然后再除以 2 即可 1 a 4 b 解析 选 C 2y 2 a b 5 5 2 9 当且仅当 a b 时等号成 1 a 4 b 1 a 4 b b a 4a b b a 4a b 2 3 4 3 立 所以 y 的最小值为 9 2 2 解析 选 C 0 a b a2 b2 2ab 又 a b b b 2b b 1 2 b a2 b2 b b2 a2 b 1 b a2 b a a2 a b a 0 b a2 b2 故选 C 3 解析 选 C 对 A x 不一定大于 0 则 A不成立 对 B y x2 3 x2 2 x2 2 1 x2 2x2 2 1 x2 2 3 2 2 而等号成立的条件为 1 x2 1 不成立 故 y 取不到最小值 2 同理 x2 2 1 x2 2 x2 2 D 也不成立 对 C y ex e x 2 2 当且仅当 ex e x即 ex 1 x 0 时取等号 ex e x 4 解析 选 A a b c 是正实数 b a 2c 2 22ac 2b2 8ac 即 b2 4ac b a 2c 是 b2 4ac 的充分条件 2 反之 若 b2 4ac 成立 则b a 2c 不一定成立 2 如 b 5 a c 2 使 b2 4ac 成立 但b a 2c 不成立 2 b a 2c 是 b2 4ac 的不必要条件 故选 A 2 5 解析 选 B b a 0 a b 0 ab 1 a b a2 b2 a b a b 2 2ab a b 2ab a b a b 2 2 a b2 当且仅当 a b 2 a b 即 a b 时 等号成立 2 此时 a b 2 a b 2 4ab 2 4 6 a b 故选 B 6 6 解析 选 C 由函数 f x 的定义域为 R 且对任意 x R f x f x 0 知 f x 为奇函数且 f 0 0 由对任意 x1 x2 1 a 当 x2 x1时 有 f x2 f x1 0 知 f x 在 1 a a 1 上为增函数且函数 值为正值 显然 A 成立 由 a 1 则 f f B 成立 函数 f x 在 a 1 a 1 上 1 a 2a 1 a 2a 为增函数 30 即 a 因此 f 1 3a 1 a 4 1 a 1 3a 1 a 1 3a a a2 1 a 1 a 2 1 a 1 3a 1 a 1 3a 1 a f a 从而 D 成立 由于 3 在不在区间 a 1 内不确定 因此 f 与 f 3 的大小关系不 1 3a 1 a 确定 故选 C 7 解析 当 a 0 时 x 1 对任意的正实数 x 不可能恒成立 所以 a 0 a x x 2 2 其中当且仅当 x 时等号成立 a x x a xaa 4 要使 x 1 恒成立 则 2 1 解得 a a xa 1 4 答案 1 4 8 解析 由 2a 2b 2a b可得 1 由均值不等式知 2 其中当且 1 2a 1 2b 1 2a b 1 2a 1 2b 1 2a 1 2b 2 1 4 仅当 即 a b 1 时等号成立 1 2a 1 2b 1 2 2a 2b 2c 2a b 2c 2a b c 即 2a b 2c 2a b 2c 可得 2c 1 1 1 2a b 1 1 1 4 4 3 所以 c 的最大值为 log2 2 log23 4 3 答案 2 log23 9 解题指南 把求解 x y 的最大值问题转化为求 xy 的最大值问题 而 xy 取最大值时必为正数 不妨 设 x y 均为正实数来研究 解析 x2 y2 xy 1 x y 2 xy 1 故当 xy 取最大值时 当 x 0 y 0 时 x y 取最大值 x y 2 1 xy 1 x y 2 4 x y 2 x y 其中当且仅当 x y 时等号成立 4 3 2 3 3 3 3 答案 2 3 3 10 解析 1 x 0 a 2x y x a 2x 2x a 2x 1 2 2 1 2 2x a 2x 2 a2 8 当且仅当 x 时取等号 故函数的最大值为 a 4 a2 8 2 由 x 3y 4 0 得 x 3y 4 3x 27y 2 3x 33y 2 2 2 2 2 3x 33y3x 3y 2 2 20 34 5 当且仅当 3x 33y且 x 3y 4 0 即 x 2 y 时等号成立 故表达式 3x 27y 2 的最小值为 20 2 3 11 解题指南 本题可利用均值不等式先得到 b c 的大致范围 然后利用作差法进一步比较 a b c 的大小 解析 由题意 a 0 时 b a 当且仅当 a 时等号成立 同理 由 b 知 c 当 1 2 3 a3333 且仅当 b 时等号成立 所以当 a 时 b 且 c 此时 a b c 3333 当 a 时 b c 此时 a b 0 333 a2 3 2a b c 0 所以 a b c b2 3 2b 当 0 a c 知 b a c a 333 此时 b c 0 仍然成立 所以 b c a b2 3 2b 探究创新 解析 1 依题意知 y 560 48x 2 160 10 000 2 000 x 560 48x x 10 x N 10 800 x 2 x 10 48x 2 1 440 10 800 x 48x 10 800 x 当且仅当 48x 即 x 15 时取到等号 此时平均综合费用的最小值是 560 1 440 2 000 元 10 800 x 即当楼房建造 15 层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值为 2 000 元 方法技巧 解实际应用问题时应注意的几点 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需利用均值不等式求得函数的最值即可 3 在求最值时 一定要在定义域 实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 变式备选 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD 公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1和环公园人行道 阴影部分 组成 已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000 平方米 人行道的宽分别为 4 米和 10 米 如图 6 1 若设休闲区的长和宽的比 x 求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S x 的解析式 A1B1 B1C1 2 要使公园所占面积最小 休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计 解析 1 设休闲区的宽 B1C1为 a 米 则其长 A1B1为 ax 米 a2x 4 000