第十章-质点动力学的基本方程.ppt

10 1质点动力学基本定律 一 牛顿三大定律 二 坐标系 三 单位制 牛顿第一定律 惯性定律 不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动状态 牛顿第二定律 牛顿第三定律 作用与反作用定律 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等 方向相反 沿同一直线 但分别作用在两个物体上 一 牛顿三大定律 牛顿三大定律是对绝对运动而言 惯性坐标系 牛顿三大定律可以适用的坐标系 在工程技术中 通常采用地球 地面 作为惯性坐标系 二 坐标系 力学单位制 采用国际单位制 基本物理量 质量 M 长度 L 时间 T kg m s 力 导出单位 1N 牛顿 三 单位制 10 2质点的运动微分方程 牛顿第二定律 加速度a有三种计算方法 有三种形式的质点运动微分方程 一 矢量法 二 直角坐标法 三 自然法 一 矢量法 质点运动微分方程为 二 直角坐标法 将矢量式向坐标轴投影 得 或 三 自然法 在自然坐标系中 自然坐标系中的运动微分方程为 或 动力学的问题可分为 1 第一类问题 动力学正问题 已知物体的运动 求作用在物体的力 3 混合问题 2 第二类问题 动力学反问题 已知作用在物体上的力 求物体的运动 10 3质点动力学的两类问题 一 动力学第一类问题 求解第一类问题比较简单 已知质点运动 求作用在物体上的力 求解方法为 将运动方程对时间求两次导数 得到质点的加速度 再代入牛顿第二定律 即可求得作用于质点上的力 例题 已知滑块B的运动方程为 滑块B的质量为m 忽略连杆AB的质量和摩擦 本问题为第一类问题 当 0时 而且 0 可得到 AB杆受拉 以滑块B为研究对象 解 以滑块B为研究对象 当 2时 可得到 AB杆受压 二 动力学第二类问题 第二类问题比较复杂 求解时一般需要进行积分 仅对下述几种情况 有简单解 已知作用在质点上的力 求质点的运动规律 1 力为常数 对时间积分两次 利用初始条件 确定积分常数 即可 2 力为时间的函数 同样 对时间积分两次 利用初始条件 确定积分常数 即可 3 力是位置的函数 进行如下变换 得 积分得 由上式及所给条件 求出 再由 4 力是速度的函数 进行如下变换后 积分 得 再由 得到 物块的质量为m 求 物块的运动方程 例题 弹簧的刚度系数为k 物块自平衡位置以初始速度v0开始运动 这是已知力 弹簧力 求运动规律 故为第二类动力学问题 以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系 将物块置于任意位置x 0处 物块在x方向只受有弹簧力F kx 根据直角坐标系中的质点运动微分方程 解 令 方程的通解为 代入初始条件 解得 物块的质量为m 求 物块的运动方程 弹簧的刚度系数为k 物块自平衡位置以初始速度v0开始运动 例题 这是已知力 弹簧力 求运动规律 故为第二类动力学问题 以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置为原点建立Ox坐标系 将物块置于任意位置x 0处 物块在x方向只受有弹簧力F kx和重力W mg 根据直角坐标系中的质点运动微分方程 解 解 以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置为原点建立Ox坐标系 将物块置于任意位置x 0处 物块在x方向只受有弹簧力F kx和重力W mg 根据直角坐标系中的质点运动微分方程 方程的通解为 代入初始条件 解得 计算结果分析 重力mg只改变了系统的平衡位置 对运动规律并无影响 例题 已知 粉碎机滚筒半径为R 匀速转动 铁球应在时掉下 求 滚筒每分钟的转数n 解 本问题为混合型问题 小球的运动微分方程 沿主法线方向 为 铁球的受力情况如图 质点的速度v为 得到 当时 铁球将落下 此时 解得 一 质点相对运动微分方程 10 4质点相对运动微分方程 二 特例 三 非惯性系中的质点动力学 惯性参考系 静系 Oxyz 非惯性参考系 动系 O x y z 绝对运动轨迹sa 相对运动轨迹sr 相对位矢r 牵连运动 动系O x y z 相对于静系Oxyz的运动 一 质点相对运动微分方程 M点的绝对运动方程 在静系内的运动 牛顿第二定律 根据运动学中的加速度合成定理 有 上式中 称为科氏加速度 为牵连加速度 为相对加速度 将加速度代入牛顿第二定律 得 由上式 可得 令 牵连惯性力 科氏惯性力 最后得 上式称为质点相对运动微分方程 质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和 牵连惯性力 科氏惯性力 二 特例 1 动系作平动 得到 2 动系作匀速直线运动 得到 2 动系作匀速直线运动 上式与牛顿第二定律相同 所有相对于惯性坐标系作匀速直线运动的参考系都可以认为是惯性坐标系 m 如图所示单摆 摆长l 小球质量为m 其悬挂点O以加速度向上运动 求 此单摆做微振动的周期 例题 m 在悬挂点O上固接以平动参考系Ox y 小球相对此动系相当于悬挂点固定的单摆振动 因为平动 本问题的动力学基本方程为 解 向切向方向投影 又很小 令 上式变为 得到 解得 三 非惯性系中的质点动力学 飞机急速爬高时飞行员的黑晕现象 爬升时 a 5g 惯性参考系 地球非惯性参考系 飞机 动点 血流质点 惯性力向下 从心脏流向头部的血流受阻 造成大脑缺血 形成黑晕现象 飞行员的黑晕与红视现象 非惯性系中的质点动力学 俯冲时 a 2g 飞机急速俯冲时飞行员的红视现象 惯性参考系 地球非惯性参考系 飞机 动点 血流质点 牵连惯性力向上 使血流自下而上加速流动 造成大脑充血 形成红视现象 飞行员的黑晕与红视现象 非惯性系中的质点动力学 由于地球的自转引起的水流科氏惯性力 非惯性系中的质点动力学 水流科氏惯性力对右岸的冲刷 例题 已知 开有矩形槽的大盘以等角速度 绕O轴旋转 矩形槽内安置物块 弹簧系统 物块P的质量为m 弹簧的刚度系数为k 初始状态下 物块处于大盘圆心O 这时弹簧不变形 求 1 物块的相对运动微分方程 2 物块对槽壁的侧压力 1 非惯性参考系 Ox y 动点 物块P 2 分析相对速度和各种加速度 相对速度vr 沿着x 正向 牵连加速度aen 由大盘转动引起 科氏加速度aIC 2m vr 解 3 分析质点 物块 受力 F 弹簧力F 2kx FN 槽对物块的约束力 FIC 科氏力 FIen 法向牵连惯性力FIen m 2x 4 建立质点 物块 的相对运动微分方程 5 计算结果分析与讨论 物块在x 0处的平衡位置为稳定平衡位置 计算结果分析与讨论