高一数学笔记

第一章集合 1 一般地 研究对象统称为元素 element 一些元素组成的总体叫集合 set 也简称集 2 元素与集合的关系 1 如果 a 是集合 A 的元素 就说 a 属于 belong to A 记作 a A 2 如果 a 不是集合 A 的元素 就说 a 不属于 not belong to A 记作 aA 或 a A 举例 3 常用数集及其记法 非负整数集 或自然数集 记作 N 正整数集 记作 N 或 N 整数集 记作 Z 有理数集 记作 Q 4 任何一个集合是它本身的子集 5 真子集的概念 若集合 存在元素 则称集合 A 是集合 B 的真BA AxBx 且 子集 proper subset 记作 A B 或 B A 6 空集的概念 不含有任何元素的集合称为空集 empty set 记作 规定 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 7 集合基本运算的一些结论 A BA A BB A A A A A B B A AA B BA B A A A A A A B B A CUA A U CUA A 若 A B A 则 AB 反之也成立 若 A B B 则 AB 反之也成立 若 x A B 则 x A 且 x B 若 x A B 则 x A 或 x B 且 则AA 2 BA CB CA 第二章函数第二章函数 1 2 2 函数的表示法 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个 数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 function 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 domain 与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 range 2 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 3 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中 的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 mapping 记作 f AB 说明 1 这两个集合有先后顺序 A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是 截不同的 其中 f 表示具体的对应法则 可以用汉字叙述 补充 复合函数 如果 y f u u M u g x x A 则 y f g x F x x A 称 为 f g 的复合函数 1 3 1 函数的单调性 1 增函数 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数 increasing function 思考 仿照增函数的定义说出减函数的定义 学生活动 注意 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 1 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x2 2 2 函数的单调性定义 如果函数 y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数 y f x 在这一区 间具有 严格的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 3 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤 任取 x1 x2 D 且 x11 且 axn xannn N 当是奇数时 正数的次方根是一个正数 负数的次方根是一个负数 此时 nnn 的次方根用符号表示 an n a 式子叫做根式 radical 这里叫做根指数 radical exponent 叫做被开方数 n ana radicand 当是偶数时 正数的次方根有两个 这两个数互为相反数 此时 正数的正的nna 次方根用符号表示 负的次方根用符号 表示 正的次方根与负的次方根n n an n ann 可以合并成 0 n aa 由此可得 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 思考 课本 P58探究问题 一定成立吗 学生活动 nn aa 结论 当是奇数时 naa nn 当是偶数时 n 0 0 a a a a aa nn 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 有理指数幂的运算性质 1 r a srr aa 0 Qsra 2 rssr aa 0 Qsra 3 srr aaab 0 0 Qrba 2 1 2 指数函数及其性质 一 指数函数的概念 一般地 函数叫做指数函数 exponential function 其中 x 是 1a 0a ay x 且 自变量 函数的定义域为 R 2 你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗 图象特征函数性质 1a 1a0 1a 1a0 向 x y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方函数的值域为 R 函数图象都过定点 0 1 1a0 自左向右看 图象逐渐上升 自左向右看 图象逐渐下降 增函数减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 1a 0 x x 1a 0 x x 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 1a 0 x x 1a 0 x x 图象上升趋势是越 来越陡 图象上升趋势是越 来越缓 函数值开始增长较 慢 到了某一值后 增长速度极快 函数值开始减小极 快 到了某一值后 减小速度较慢 课题 2 2 1 对数 1 对数的概念 一般地 如果 那么数叫做以为底的对数 Logarithm Na x 1 0 aaxaN 记作 Nx a log 底数 真数 对数式aNN a log 说明 注意底数的限制 且 1 0 a1 a 对数的性质 1 负数和零没有对数 2 1 的对数是零 01log a 3 底数的对数是 1 4 对数恒等式 1log a a Na N a log 5 na n a log 2 2 2 对数函数 一 一 对数函数的概念 1 定义 函数 且叫做对数函数 logarithmic function 0 log axy a 1 a 其中是自变量 函数的定义域是 0 x 注意 对数函数的定义与指数函数类似 都是形式定义 注意辨别 如 1 都不是对数函数 而只能称其为对数型函数 xy 2 log2 5 log5 x y 对数 指数 对数 2 二 对数的运算性质 如果 且 那么 0 a1 a0 M0 N 1 M a log NM a logN a log 2 N M a logM a logN a log 3 n aM logn M a log Rn 注意 换底公式 且 且 a b b c c a log log log 0 a1 a0 c1 c 0 b 利用换底公式推导下面的结论 1 2 b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 函数对底数的限制 且 0 a 1 a 类比指数函数图象和性质的研究 研究对数函数的性质并填写如下表 2 图象特征函数性质 1a 1a0 1a 1a0 函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为 0 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为 R 函