2013高考数学 课后作业 7-4 数学归纳法 理 新人教A版

用心 爱心 专心 1 20132013 高考数学人教高考数学人教 A A 版课后作业版课后作业 1 2010 广东中山模拟 用数学归纳法证明 1 1 时 第 1 2 1 3 1 2n 1 一步应验证不等式 A 1 2 B 1 2 1 2 1 2 1 3 C 1 3 D 1 1 n取的第一个数为 2 左端分母最大的项为 故选 B 1 22 1 1 3 2 对于不等式 n 1 n N 某人的证明过程如下 n2 n 1 当n 1 时 1 1 不等式成立 12 1 2 假设n k k N 时不等式成立 即 k 1 则n k 1 时 k2 k k 1 1 k 1 2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 2 2 当n k 1 时 不等式成立 上述证法 A 过程全都正确 B n 1 验得不正确 C 归纳假设不正确 D 从n k到n k 1 的推理不正确 答案 D 解析 上述证明过程中 在由n k变化到n k 1 时 不等式的证明使用的是放缩 法而没有使用归纳假设 故选 D 3 某个命题与自然数n有关 若n k k N 时命题成立 则可推得当n k 1 时该命 题也成立 现已知n 5 时 该命题不成立 那么可以推得 A n 6 时该命题不成立 B n 6 时该命题成立 C n 4 时该命题不成立 D n 4 时该命题成立 答案 C 解析 若n k k N 时命题成立 则当n k 1 时 该命题也成立 故若 n 4 时命题成立 则n 5 时命题也应成立 现已知n 5 时 命题不成立 故n 4 时 命 题也不成立 点评 可用逆否法判断 用心 爱心 专心 2 4 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验第一个值n0 1 2 等于 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 因为凸n边形的边数最少为 3 故验证的第一个值n0 3 5 已知Sk k 1 2 3 则Sk 1等于 1 k 1 1 k 2 1 k 3 1 2k A Sk B Sk 1 2 k 1 1 2k 2 1 k 1 C Sk D Sk 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 1 1 2k 2 答案 C 解析 Sk 1 1 k 1 1 1 k 1 2 1 2 k 1 1 k 2 1 k 3 1 2k 2 1 k 1 1 k 2 Sk 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 2k 1 1 2k 2 6 2011 厦门月考 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 从 n k到n k 1 左端需增乘的代数式为 A 2k 1 B 2 2k 1 C D 2k 1 k 1 2k 3 k 1 答案 B 解析 n k时 左端为 k 1 k 2 k k n k 1 时 左端为 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k k k 1 k k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 故左端 增加了 2 2k 1 7 2010 吉林市检测 浙江金华十校联考 观察下列式子 1 1 1 则可以猜想 当n 2 时 有 1 22 3 2 1 22 1 32 5 3 1 22 1 32 1 42 7 4 答案 1 n2 1 对于n n0的正整数n都成立 则n0的最小值为 答案 5 解析 当n 1 时 2 2 不成立 当n 2 时 4 5 不成立 当n 3 时 8 10 不成立 当n 4 时 16 17 不成立 当n 5 时 32 26 成立 当n 6 时 64 37 成立 由此猜测n0应取 5 1 观察下式 1 3 22 1 3 5 32 1 3 5 7 42 1 3 5 7 9 52 据此你可归纳猜想出的一般结论为 A 1 3 5 2n 1 n2 n N B 1 3 5 2n 1 n2 n N C 1 3 5 2n 1 n 1 2 n N D 1 3 5 2n 1 n 1 2 n N 答案 D 解析 观察可见第n行左边有n 1 个奇数 右边是 n 1 2 故选 D 2 2010 天津滨海新区五校 若f x f1 x fn x fn 1 f x n 2 n N x 1 x 则f 1 f 2 f n f1 1 f2 1 fn 1 A n B 9 n 1 C D 1 n n 1 答案 A 解析 易知f 1 f 2 f 3 f n 由fn x fn 1 f x 得 1 2 2 3 3 4 n n 1 f2 x f3 x fn x 从而f1 1 f2 1 f3 1 x 1 2x x 1 3x x 1 nx 1 2 1 3 用心 爱心 专心 4 fn 1 1 4 1 n 1 所以f n fn 1 1 故f 1 f 2 f n f1 1 f2 1 fn 1 n 3 如图 一条螺旋线是用以下方法画成的 ABC是边长为 1 的正三角形 曲线 CA1 A1A2 A2A3是分别以A B C为圆心 AC BA1 CA2为半径画的圆弧 曲线CA1A2A3称为 螺 旋线旋转一圈 然后又以A为圆心 AA3为半径画圆弧 这样画到第n圈 则所得螺旋 线的长度ln为 A 3n2 n B 3n2 n 1 C D 3n2 n 2 3n2 n 1 2 答案 A 解析 由条件知 对应的中心角都是 且半径依次为 CA1 A1A2 A2A3 An 1An 2 3 1 2 3 4 故弧长依次为 2 3 据题意 第一圈长度为 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 第二圈长度为 4 5 6 第n圈长度为 3n 2 3n 1 3n 故 2 3 2 3 Ln 1 2 3 3n 3n2 n 2 3 2 3 3n 1 3n 2 4 在一次珠宝展览会上 某商家展出一套珠宝首饰 第一件首饰是 1 颗珠宝 第二件 首饰由 6 颗珠宝 图中圆圈表示珠宝 构成如图 1 所示的正六边形 第三件首饰由 15 颗珠宝 构成如图 2 所示的正六边形 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形 第五 件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形 以后每件首饰都在前一件上 按照这种 规律增加一定数量的珠宝 使它构成更大的正六边形 依此推断前 10 件首饰所用珠宝总颗 数为 用心 爱心 专心 5 A 190 B 715 C 725 D 385 答案 B 解析 由条件可知前 5 件首饰的珠宝数依次为 1 1 5 1 5 9 1 5 9 13 1 5 9 13 17 即每件首饰的珠宝数为一个以 1 为首项 4 为公差的等差数列的前n项和 通项an 4n 3 由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为 2n2 n 则前n件首饰所用的珠宝总数为 2 12 22 n2 n 1 4n 3 2 1 2 n 4n3 3n2 n 6 当n 10 时 总数为 715 5 2010 南京调研 已知 x 1 n a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 an x 1 n n 2 n N 1 当n 5 时 求a0 a1 a2 a3 a4 a5的值 2 设bn Tn b2 b3 b4 bn 试用数学归纳法证明 当n 2 时 Tn a2 2n 3 n n 1 n 1 3 解析 1 当n 5 时 原等式变为 x 1 5 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a4 x 1 4 a5 x 1 5 令x 2 得a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 243 2 因为 x 1 n 2 x 1 n 所以a2 C 2n 2 2n bn 2C n n 1 n 2 a2 2n 32n 当n 2 时 左边 T2 b2 2 右边 2 左边 右边 等式成立 2 2 1 2 1 3 假设当n k k 2 k N 时 等式成立 即Tk 成立 k k 1 k 1 3 那么 当n k 1 时 用心 爱心 专心 6 左边 Tk bk 1 k 1 k 1 1 k k 1 k 1 3 k k 1 k k 1 k 1 3 k k 1 k 1 3 1 k k 1 k 2 3 右边 k 1 k 1 1 k 1 1 3 故当n k 1 时 等式成立 综上 当n 2 时 Tn n n 1 n 1 3 6 已知正项数列 an 中 对于一切的n N 均有a an an 1成立 2n 1 证明 数列 an 中的任意一项都小于 1 2 探究an与 的大小 并证明你的结论 1 n 解析 1 由a an an 1得an 1 an a 2n2n 在数列 an 中an 0 an 1 0 an a 0 0 an 1 2n 故数列 an 中的任何一项都小于 1 2 解法 1 由 1 知 0 an 1 1 1 那么a2 a1 a 2 由此猜想 an 2 1 a1 1 2 1 4 1 4 1 2 1 n 下面用数学归纳法证明 当n 2 n N 时猜想正确 当n 2 时 显然成立 假设当n k k 2 k N 时 有ak 成立 1 k 1 2 那么ak 1 ak a 2 2 2k ak 1 2 1 4 1 k 1 2 1 4 1 k 1 k2 k 1 k2 k 1 k2 1 1 k 1 当n k 1 时 猜想也正确 综上所述 对于一切n N 都有an 1 n 解法 2 由a an an 1 2n 得 0 ak 1 ak a ak 1 ak 2k 0 ak1 1 ak 1 1 ak 1 1 ak 用心 爱心 专心 7 令k 1 2 3 n 1 得 1 1 1 1 a2 1 a1 1 a3 1 a2 1 an 1 an 1 n 1 n an0 f an 1 g an 证明 存在常数M 使得对于 任意的n N 都有an M 解析 1 由h x x3 x 知 x 0 而h 0 0 且h 1 10 则x 0 为h x 的一个零点 且h x 在 1 2 内有零点 因此h x 至少有两个零 2 点 解法 1 h x 3x2 1x 记 x 3x2 1 x 则 x 6x x 当 1 2 1 2 1 4 x 0 时 x 0 因此 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内 至多只有一个零点 又因为 1 0 0 则 x 在 1 内有零点 所以 x 3 3 3 3 在 0 内有且只有一个零点 记此零点为x1 则当x 0 x1 时 x x1 0 所以当x 0 x1 时 h x 单调递减 而h 0 0 则h x 在 0 x1 内无零点 当x x1 时 h x 单调递增 则h x 在 x1 内至 多只有一个零点 从而h x 在 0 内至多只有一个零点 综上所述 h x 有且只有两个零点 解法 2 由h x x x2 1 x 记 x x2 1 x 则 x 2x x 当 1 2 x 0 时 x 0 从而 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内 至多只有一个零点 因此h x 在 0 内也至多只有一个零点 综上所述 h x 有且只 有两个零点 2 记h x 的正零点为x0 即x x0 3 0 x0 当a x0时 由a1 a 即a1 x0 而a a1 x0 x 因此a2 x0 由此猜测 an x0 下面用数学归纳法证明 3 2a1x03 0 a 当n 1 时 a1 x0显然成立 b 假设当n k k 1 时 ak x0成立 则当n k 1 时 由 a ak x0 x知 ak 1 x0 3k 1akx03 0 因此 当n k 1 时 ak 1 x0成立 故对任意的n N an1 求证 1 1 2 1 3 1 nn 解析 1 当n 2 时 不等式左边 1 右边 1 22 2 假设n k k 1 k N 时 不等式成立 即 1 那么当 1 2 1 3 1 kk n k 1 时 有 1 1 2 1 3 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 1 k 1 k2 1 k 1 k 1 k 1k 1 所以当n k 1 时 不等式也成立 由 1 2 可知对任何n N n 1 1 均成立 1 2 1 3 1 nn 3 设数列 an 的前n项和为Sn 对一切n N 点都在函数f x x 的图象 n Sn n an 2x 上 1 求a1 a2 a3的值 猜想an的表达式 并用数学归纳法证明 用心 爱心 专心 9 2 将数列 an 依次按 1 项 2 项 3 项 4 项循环地分为 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 a21 分别计算各个括号内各数之和 设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 bn 求 b5 b100的值 分析 1 将点代入函数f x x 中 通过整理得到Sn与an的关系 则 n Sn n an 2x a1 a2 a3可求 2 通过观察发现b100是第 25 组中第 4 个括号内各数之和 各组第 4 个括号中各数之和 构成首项为 68 公差为 80 的等差数列 利用等差数列求和公式可求b100 解析 1 点在函数f x x 的图象上 n Sn n an 2x n Sn n2 an Sn n an 2n 1 2 令n 1 得 a1 1 a1 a1 2 1 2 令n 2 得 a1 a2 4 a2 a2 4 1 2 令n 3 得 a1 a2 a3 9 a3 a3 6 1 2 由此猜想 an 2n 用数学归纳法证明如下 当n 1 时 由上面的求解知 猜想成立 假设n k k 1 时猜想成立 即ak 2k成立 则当n k 1 时 注意到Sn n2 an n N 1 2 故Sk 1 k 1 2 ak 1 Sk k2 ak 1 2