第四章--扭转.ppt

受力特征 杆受一对大小相等 方向相反的力偶 力偶作用面垂直于轴线 变形特征 横截面绕轴线转动 工程中常把以扭转为主要变形的构件称为轴 圆轴在机械中最常见 故本章主要研究圆轴的扭转问题 二 外力偶矩的计算 设某轮所传递的功率是NkW 轴的转速是nrpm 4 2扭矩和扭矩图 一 扭矩1 定义 受扭圆轴横截面上所受的内力偶矩 其表示外力矩对横截面作用的效果 2 扭矩的计算方法 截面法 扭矩一般用T表示 n n 3 扭矩T的符号规定 按右手螺旋法则 矩矢与截面外法线一致为正 反之为负 二 扭矩图 1 定义 扭矩随截面位置变化的图形 其表示扭矩的变化状态 2 扭矩图的绘法同轴力图 例 图示传动轴 主动轮A输入功率NA 50马力 从动轮B C D输出功率分别为NB NC 15马力 ND 20马力 轴的转速为n 300转 分 作轴的扭矩图 解 1 求外力矩 分段列写扭矩方程 3 扭矩图的作用 表示各截面上的扭矩大小 确定危险截面的位置 Tmax的位置 确定Tmax的值 4 3纯剪切 一 薄壁圆筒的扭转应力分析等厚度的薄壁圆筒 平均半径为r 壁厚为t壁厚t远小于半径r 受扭前在其表面上用圆周线nn mm和纵向线画成方格 然后加载 观察方格变形情况 n n m m 1 纵向线倾斜了同一微小角度 2 圆周线的形状 大小及圆周线之间的距离没有改变 nn mm仍平行 3 方格变为斜棱形 设想 mm相对nn转动 方格两边发生相对错动 但两对边之间距离不变 圆筒半径尺寸不变 根据以上实验现象 可得结论 圆筒横截面上只有剪应力 而无正应力 由于壁很簿 可认为剪应力 沿簿壁均匀分布 方向垂直于半径与周线相切 观察到如下现象 剪应力在截面上均匀分布 方向垂直于半径与周线相切 根据精确的理论分析 当t r 10时 上式的误差不超过4 52 是足够精确的 二 剪应力互等定理 1 应力单元体 围绕一点截取一个微小的面积或体积 用以表示该点的应力关系 应力单元体的截取方法 如图为立方体单元体 常见的还有柱形和球形单元体 应力单元体上的应力 每个截面上最多有三个应力分量 一个正应力和二个剪应力 dy dx dz 2 纯剪切 应力单元体上只有剪应力而无正应力 应力单元体为 3 剪应力互等定理 在相互垂直的两个平面上 剪应力一定成对出现 其数值相等 方向同时指向或背离两平面的交线 说明 两个截面过同一点且相互垂直才有该定理 否则剪应力没有相等关系 三 剪切胡克定律 在纯剪状态下 单元体相对两侧面将发生微小的相对错动 原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量 两正交线段的直角改变量 剪应变 薄壁圆筒的实验 证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系 即当剪应力不超过材料的剪切比例极限 p时 剪应力与剪应变成正比 G称为材料的剪切弹性模量 上式关系称为剪切胡克定律 即 当 p时 剪切弹性模量G材料常数 拉压弹性模量E泊松比 对于各向同性材料 可以证明 E G 三个弹性常数之间存在着如下关系 四 剪切变形能 定义 因剪切应力的作用产生变形而储存的应变能称为剪切变形能 剪切变形比能 单位体积所储存的剪切变形能 4 4圆轴扭转时的应力 一 圆轴扭转时横截面上的应力 变形几何关系从三方面考虑 物理关系静力学关系 观察到下列现象 1 各圆周线的形状 大小以及两圆周线间的距离没有变化 2 纵向线仍近似为直线 但都倾斜了同一角度 3 表面方格变为菱形 由此可推断 横截面上只有剪应力 沿外圆的剪应力相等 1 变形几何关系 2 分析变形 变形几何方程平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面 它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度 横截面上距形心为 的任一点处应变 根据剪切胡克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 剪应力方向垂直于半径 2 物理关系 3 静力学关系 CL5TU9 二 截面的几何性质 1 极惯性矩 某面积到某极点距离平方与面积的乘积 其表示该截面对扭矩的惯性的大小 2 抗扭截面系数 惯性矩与最大半径的商 3 空心轴的抗扭截面系数要大于同体积的实心轴 三 强度计算 1 强度条件 引起扭转破坏的因素是剪应力 2 强度计算的三类问题 强度校核及验算 轴的截面设计 确定轴的容许扭矩或功率 例 实心圆轴受扭 若将轴的直径减小一半时 横截面的最大剪应力是原来的倍 8 例 图示铸铁圆轴受扭时 在 面上发生断裂 其破坏是由应力引起的 在图上画出破坏的截面 45 螺旋 最大拉 例 内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴 受扭矩T 1kN m作用 计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力 解 例 一直径为D1的实心轴 另一内外径之比 d2 D2 0 8的空心轴 若两轴横截面上的扭矩相同 且最大剪应力相等 求两轴外直径之比D2 D1 解 由 得 例 在强度相同的条件下 用d D 0 5的空心圆轴取代实心圆轴 可节省材料的百分比为多少 解 设实心轴的直径为d1 由 得 0 8 0 8 1 192 0 8 0 512 例 一厚度为30mm 内直径为230mm的空心圆管 承受扭矩T 180kN m 试求管中的最大剪应力 使用 1 薄壁管的近似理论 2 精确的扭转理论 解 1 利用薄壁管的近似理论可求得 2 利用精确的扭转理论可求得 例 一空心圆轴 内外径之比为 0 5 两端受扭转力偶矩作用 最大许可扭矩为 若将轴的横截面面积增加一倍 内外径之比仍保持不变 则其最大许可扭矩为 的多少倍 按强度计算 解 设空心圆轴的内 外径原分别为d D 面积增大一倍后内外径分别变为d1 D1 最大许可扭矩为 1 例 一空心轴 d D 0 8 转速n 250r m 功率N 60kW 40MPa 求轴的外直径D和内直径d 解 4 5圆轴扭转的变形 一 扭转角公式 式中 称为抗扭刚度 二 圆轴扭转变形的计算 比较拉压变形 公式适用条件 1 当 p 剪切比例极限 公式才成立 2 仅适用于圆杆 平面假设对圆杆才成立 4 对于小锥度圆杆可作近似计算 3 扭矩 面积沿杆轴不变 T Ip为常量 2 当扭矩和横截面都是变量时 则用分段积分式 三 刚度条件 工程中常用单位长度转角表示扭转程度 阶梯轴的扭转角等于其每一段相对扭转角之和 例 水平面上的直角拐 AB段为圆轴 直径为d 在端点C受铅垂力P作用 材料的剪切弹性模量为G 不计BC段变形 求C点的铅垂位移 解 例 已知一直径d 50mm的钢制圆轴在扭转角为6 时 轴内最大剪应力等于90MPa G 80GPa 求该轴长度 解 例 圆截面橡胶棒的直径d 40mm 受扭后 原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90 变为88 如杆长l 300mm 试求两端截面间的扭转角 如果材料的剪变模量G 2 7MPa 试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩 解 由 例 传动轴传递外力偶矩 5kN m 材料的 30MPa G 80GPa 0 5 m 试选择轴的直径 解 例 空心圆轴 外径 内径 AB l mm m m 求C截面对A B截面的相对扭转角 解 一 绘扭矩图 T X 4 kNm 2 二 计算IP 三 计算相对扭转角 号表示面向C截面观察时 该截面相对于A 或B 截面逆时针转动 例 圆截面杆AB左端固定 承受均布力偶作用 其力偶矩集度 单位长度上的力偶矩 为m 20Nm m 已知直径D 20mm l 2m 材料G 80MPa 300MPa 单位长度的许用扭角 20 m 试进行强度和刚度校核 并计算A B两截面的相对扭角 解 计算扭矩 绘扭矩图 T 2 校核强度 3 校核刚度 3 计算 B A 取微段dx研究 号表示面向B截面观察时 该截面相对于A截面逆时针转动 例 一圆钢管套在一实心圆钢轴上 长度均为 钢管与钢轴材料相同 先在实心圆轴两端加外力偶矩 使轴受扭后 在两端把管与轴焊起来 去掉外力偶矩 求此外管与内轴的最大剪应力 解 外管与内轴承受的扭矩相等 设为T 例 两端固定的圆截面等直杆AB 在截面C受外力偶矩m作用 试求杆两端的支座反力偶矩 解 静力平衡方程为 变形协调条件为 即 4 6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 一 弹簧杆横截面上的应力 1 构件特征与假设 弹簧的外形是圆柱体 簧杆是圆形曲杆 当螺旋角很小时和簧杆直径d远小于簧圈直径D时 可近似用直杆公式计算 2 簧杆的内力 在密圈弹簧中 可认为拉力F与簧杆横截面在同一平面内 其内力可简化为一个过截面形心的剪力Q和一个扭矩T 根据静力平衡方程得 与剪力Q对应的剪应力可按实用计算方法 认为其在横截面上均匀分布而如图c所示 得 与扭矩T对应的剪应力的计算认为与直圆轴相同 其最大剪应力如图d所示 得 3 簧杆横截面上的应力 簧杆横截面上任意点的总应力是两种剪应力的矢量和 靠近内侧的E点处的总应力达到最大值 为 在上式中第一项代表剪切的影响 当D d大于10时 其影响在5 以内 可忽略 故上式可简化为 在以上分析中 计算应力采用的是直杆扭转公式和剪切引起的剪应力均匀分布的假设 计算误差较大 最大剪应力可采用下面的修正公式 弹簧的强度条件为 二 弹簧的变形 1 概念与原理 弹簧在轴向拉压作用下 轴线方向总伸缩量 在弹性范围内与作用力F成正比 如右图所示 计算弹簧的变形可以利用能量守恒原理 外力对系统所做的功等于系统的变形能 外力的功等于 a 中阴影的面积 2 弹簧的变形能 弹簧杆横截面上的扭转剪应力如 b 图所示 其大小为 根据剪切变形比能的计算公式 可得 弹簧的变形能应为 上式积分时 以d 代表横截面的微分面积 代表微分长度 则 d s从0到 若弹簧的有较圈数为n时 L D 则 3 能量守恒原理 外力功等于储存在弹簧内的变形能 即W U 得 由此可得 引入记号 则弹簧变形可写成 上式中C代表弹簧抵抗变形的能力 称为弹簧则度 4 7非圆截面杆扭转的概念 4 7非圆截面杆扭转的概念 圆截面杆扭转时的应力和变形公式 均建立在平面假设的基础上 对于非圆截面杆 受扭时横截面不再保持为平面 杆的横截面已由原来的平面变成了曲面 这一现象称为截面翘曲 因此 圆轴扭转时的应力 变形公式对非圆截面杆均不适用 CL5TU20 非圆截面杆在扭转时有两种情形 CL5TU21 1 自由扭转或纯扭转在扭转过程中 杆的各横截面的翘曲不受任何约束 任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同 此时横截面只有剪应力 而没有正应力 2 约束扭转扭转时 由于杆的端部支座的约束 使杆件截面翘曲受到一定限制 而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同 将在横截面上产生附加的正应力 CL5TU21 对于矩形和椭圆形的实体截面杆 由于约束扭转产生的附加正应力很小 一般可以忽略 但对于薄壁截面杆来说 这种附加的正应力是不能忽略的 一 矩形截面杆的扭转 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行 且截面的四个角点上剪应力均为零 剪应力形成与周边相切的顺流 最大剪应力发生在长边中点处 CL5TU22 当h b 10时 截面为狭长矩形 1 3 h 二 开口薄壁杆件的自由扭转 开口薄壁杆件 如角钢 槽钢 工字钢等 壁厚远小于整个截面的高 宽尺寸 其截面中线是