八年二次根式、勾股定理综合复习经典

二次根式 勾股定理综合复习二次根式 勾股定理综合复习 8 00 10 008 00 10 00 适用学科数学适用年级八年 适用区域广州课时时长 分钟 120 知识点 1 1 二次根式二次根式 2 2 最简二次根式最简二次根式 3 3 同类二次根式同类二次根式 4 4 二次根式的性质二次根式的性质 5 5 二次根式的运算二次根式的运算 6 6 勾股定理勾股定理 7 7 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 8 8 勾股定理及逆定理的应用勾股定理及逆定理的应用 学习目标 1 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质 并能熟练地化简含二 次 根式的式子 2 熟练地进行二次根式的加 减 乘 除混合运算 3 掌握勾股定理及其逆定理的内容 熟练利用勾股定理及其逆定理解决 实 际问题 学习重点 1 含二次根式的式子的混合运算 2 勾股定理及其逆定理的应用 学习难点 1 综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子 2 勾股定理及其逆定理的应用 学习过程 一 知识点复习讲解 1 1 二次根式 式子二次根式 式子 0 0 叫做二次根式 叫做二次根式 aa 2 2 最简二次根式 必须同时满足下列条件 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中被开方数中不含分母不含分母 分母中分母中不含根式不含根式 3 3 同类二次根式 同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同 类二次根式 类二次根式 4 4 二次根式的性质 二次根式的性质 1 1 2 2 0 0 2 2 aaa aa 2 5 5 二次根式的运算 二次根式的运算 1 1 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 就可以用它的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 就可以用它的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 那么先解因式 那么先解因式 变形为积的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根变形为积的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根 号外面的正因式平方后移到根号里面 号外面的正因式平方后移到根号里面 2 2 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次 根式 根式 3 3 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 将被开方数相乘 除 所 所 得的积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根得的积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根 式 式 ab a b a 0a 0 b 0b 0 bb aa b 0b 0 a 0a 0 4 4 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法乘法对加法 的的 分配律以及多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 分配律以及多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 勾股定理 勾股定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 0 表示方法 如果直角三角形的两直角边分别为 斜边为 那么 abc 222 abc 勾股定理的由来 勾股定理也叫商高定理 在西方称为毕达哥拉斯定 理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾 较长的直角边称为股 斜 边称为弦 早在三千多年前 周朝数学家商高就提出了 勾三 股四 弦五 形式的勾股定理 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为 两 直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改 变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾 股定理 常见方法如下 方法一 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 化简可证 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三 角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 22 1 42 2 Sabcabc 所以 222 2Sabaabb 222 abc 方法三 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 化简得证 c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 它只适用于直角三 角形 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征 因而在应用勾 股定理时 必须明了所考察的对象是直角三角形 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长 求第三边在已知直角三角形的任意两边长 求第三边在中 中 ABC 90C 则则 22 cab 22 bca 22 acb 知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题可运用勾股定理解决一些实际问题 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形三边长如果三角形三边长 满足满足 abc 222 abc 那么这个三角形是直角三角形 其中那么这个三角形是直角三角形 其中 为斜边为斜边 c 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它 通过 数转化为形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时 可用 两 小边的平方和与较长边的平方作比较 若它们相等时 以 22 ab 2 cab c 为三边的三角形是直角三角形 若 时 以 为三边的三 222 abc abc 角形是钝角三角形 若 时 以 为三边的三角形是锐角 222 abc abc 三角形 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若 abc 222 abc 三角形三边长 满足 那么以 为三边的三角形是 abc 222 acb abc 直 角三角形 但是 为斜边 b 勾股定理的逆定理在用问题描述时 不能说成 当斜边的平方等于两条直 角 边的平方和时 这个三角形是直角三角形 勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 222 abc 为正整数时 称 为一组勾股数 abcabc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 3 4 56 8 105 12 13 等 7 24 25 用含字母的代数式表示 组勾股数 n 为正整数 22 1 2 1nn n 2 n n 为正整数 22 21 22 221nnnnn n 为正整数 2222 2 mnmn mn mn mn 勾股定理的应用 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之 间的关系的证明问题 在使用勾股定理时 必须把握直角三角形的前提条件 了解直角三角形中 斜边和直角边各是什么 以便运用勾股定理进行计算 应 设法添加辅助线 通常作垂线 构造直角三角形 以便正确使用勾股定理进行 求解 勾股定理逆定理的应用 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形 是否是直角三角形 在具体推算过程中 应用两短边的平方和与最长边的平方 进行比较 切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误 的结论 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中 是密不可分的 一个整体 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形 又要用勾股定 理求出边的长度 二者相辅相成 完成对问题的解决 常见图形 A B C 30 D C BA A DB C 2 例题精析与课堂运用 第一部分 二次根式 例题例题 历年考点例析历年考点例析 考点考点 1 1 无理数 无理数 知识回顾 知识回顾 无限不循环的小数 叫做无理数 知识特点 知识特点 常见的无理数 1 以及 的有理数倍数 2 235 3 2 01001000100001 考查题型考查题型 1 写出一个有理数和一个无理数 使它们都是小于 1 的数 08 年自贡市 分析分析 1 的绝对值是 1 所以 小于 1 的数的绝对值一定要大于 1 只要符合 这一点 就可以了 所以 本题的答案不是唯一的 解 小于 1 的有理数 4 5 等等 小于 1 的无理数 等等 235 2 从实数 0 4 中 挑选出的两个数都是无理数的为 23 1 A 0 B 4 C 4 D D 3 1 22 08 年湖北省宜昌市 分析分析 根据常见的无理数 可以发现只有 和 是无理数 因此 选项 D 是 2 正 确的 3 如图 1 所示 A B C D 四张卡片上分别写有四个实数 从中 5 23 7 任取两张卡片 A B C D 1 请列举出所有可能的结果 用字母 A B C D 表示 2 求取到的两个数都是无理数的概率 08 嘉兴市 分析 分析 用列表的方式 把所有的结果找出来 后根据无理数的定义 作出判断 解 1 仔细观察上面的四个数 不难发现 B D 是无理数 A 和 C 是有理数 图 1 结果列表如下 2 仔细观察上表 一共有 12 种可能性 期中都是无理数的可能性有 2 种 因此 两个数都是无理数的概率为 6 1 12 2 考点考点 2 2 平方根 平方根 知识回顾 知识回顾 一般地 如果一个数 x 的平方等于 a 即 x2 a 那么这个数 x 叫做 a 的平 方根 记作 读作 正负根号 a a 知识特点 知识特点 1 被开方数 a 满足的关系式是 a 0 2 平方根 x 与被开方数 a 满足的关系式是 x a 3 被开方数 a 与平方根 x 满足的关系式是 a x2 2 2 2 aaa 4 两个平方根之间满足的关系式是 0 即两个平方根互为 aa 相 反数 所以 他们的和为 0 如下说法都是正确的 a的平方根是 是a的平方根 aa 是a的平方根 是a的平方根 其中a是非负数 aa 此外 0的平方根是0这个特例要记清楚 考查题型考查题型 4 2 的平方根是 A 4B C D D 08 年南京市 22 2 分析分析 根据平方根的特点 正数有两个平方根 且常用 来体现 两个 5 9 的算术平方根是 A 3 B B 3 3 C 3 D 08 恩施自治州 3 分析分析 算术平方根是平方根中的正数根 只有一个 所以 选项 A C 都是不正 确的 因为 32 9 所以 9 的算数平方根是 3 6 化简 4 A A 2 2 B 2 C 4 D 4 08 年甘肃省白银市 分析分析 理解的意义是解题的关键 的意义实际上就是求正数 4 的算术平 44 方根 所以 应该只有一个 为正数 并且这个数的平方应该等于 4 这样只 有选项 A 符合要求 7 化简 08 年安徽省 2 4 分析 分析 因为 4 2 16 的意义是求正数 16 的算数平方根 因为 2 4 42 16 所以 4 2 4 考点考点 3 3 二次根式 二次根式 知识回顾 知识回顾 知识特点 形如知识特点 形如 a 0a 0 的式子 叫做二次根式 的式子 叫做二次根式 a 1 被开放数 a 是一个非负数 2 二次根式是一个非负数 即 0 aa 3 有限个二次根式的和等于 0 则每个二次根式的被开方数必须是 0 考查题型考查题型 7 若式子在实数范围内有意义 则x的取值范围是 5x A x 5B x 5C x 5D D x x 5 5 08 常州市 分析 分析 在这里二次根式的被开方数是 x 5 要想使式子在实数范围内有 5x 意 义 必须满足条件 x 5 0 所以 x 5 因此 选项 D 是正确的 8 若 则 08 年遵义市 230ab 2 ab 分析 分析 因为 a 2 和都是非负数 并且它们的和是 0 3 b 所以 a 2 0 且 0 所以 a 2 b 3 3 b 所以 a2 b 4 3 1 9 若实数满足 则 xy 的值是 08 年宁波 xy 2 2 3 0 xy 市 分析 分析 因为 和都是非负数 并且它们的和是 0 2 x 2 3 y 所以 0 且 0 所以 x 2 y 2 x 2 3 y3 所以 xy 2 3 考点考点 4 4 二次根式的化简与计算 二次根式的化简与计算 知识回顾 知识回顾 二次根式的化简 实际上就是把二次根式化成最简二次根式 然后 通过 合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算 知识特点 知识特点 二次根式的加减运算 a b a b m 0 mmm 二次根式的乘法运算 a 0 b 0 abab 二次根式的除法运算 a 0 b 0 abb ab b a 二次根式的乘方运算 a a 0 2 a 二次根式的开方运算 2 a 0 0 a a aa 考查题型考查题型 10 下列计算正确的是 A B 2 34 26 5 84 2 C C D 08 年聊城市 2733 2 3 3 分析 分析 这就是二次根式化简的综合题目 2与 4的被开方数不相同 所以 32 它们不是同类二次根式 所以 不能进行合并计算 所以 A 是错误的 因为 所以 B 也是错误的 2222248 2 因为 所以 C 是正确的 27339327 根据二次根式的开方公式 得到 D 是错误的 11 若baybax 则xy的值为 A a2 B b2 C ba D D ba 08 年大连市 分析 xy a b 所以 D 是正确的 ba ba 2 a 2 b 考点考点 5 5 最简二次根式 最简二次根式 知识回顾 知识回顾 满足下列条件的二次根式 叫做最简二次根式 1 被开方数的因数是整数 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 知识特点 知识特点 1 最简二次根式中一定不含有分母 2 对于数或者代数式 它们不能在写成 an m 的形式 考查题型考查题型 12 下列根式中属最简二次根式的是 A A B C D 08 年湖北省荆州市 2 1a 1 2827 分析 分析 因为 B 中含有分母 所以 B 不是最简二次根式 而 8 22 2 27 32 3 所以 选项 C D 都不是最简二次根式 所以 只有选项 A 是正确的 考点考点 6 6 估算 估算 13 估计 1 3220 2 的运算结果应在 6 到 7 之间 7 到 8 之间 8 8 到到 9 9 之间之间 9 到 10 之间 08 年芜湖市 分析分析 524201620 2 1 32 因为 4 5 9 所以 所以 2 3 954 5 所以 4 2 6 5 所以 4 4 2 4 6 4 所以 8 2 4 10 也就是在 8 到 9 之间 55 考试题型归纳考试题型归纳 一一 基本概念型基本概念型 例例 1 1 二次根式中 字母的取值范围是 a 1 说明 注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键 例例 2 2 在下列根式中 最简二次根式有 4 528 3 abx A 4 个B 3 个C C 2 2 个个D 1 个 最简二次根式的概念是 1 被开方式的因数是整数 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 例例 3 3 下列根式中 与是同类二次根式的是 3 A B B C D 2412 3 218 二二 性质运用型性质运用型 例例 4 4 已知 则化简的结果是 x 2xx 2 44 例例 5 5 化简得 44123 22 xxx 解题策略解题策略 一 二次根式的定义一 二次根式的定义 例 1 函数的自变量 x 的取值范围是 yx 21 A xB xC xD x 1 2 1 2 1 2 1 2 解题策略 根据二次根式的定义 被开方数必须是非负数 例 2 函数的自变量 x 的取值范围是 y x x x 1 2 5 3 AxBx CxxDxx 2525 253253 且且 解题策略 根据二次根式的定义 被开方数必须是非负数 还应特别注意 分式的分母不能为零 二 二次根式的性质二 二次根式的性质 例 3 若 则 xy 的值等于 yyxy 2 4410 A A 6 6B 2C 2D 6 解题策略 紧扣二次根式是一个非负数的性质 可以得到 a a 0 故 y xy 20 10 2 xy 32 例 4 如果 那么 x 的取值范围是 xx 22 2 A x B xc xD x 2222 解题策略 运用二次根式是一个非负数的性质知 a a 0 x 20 例 5 若 b 0 化简的结果是 ab3 A b abB babCbabD b ab 解题策略 紧紧抓住二次根式被开方数必须是非负数 由二次根式的性质 aa a a a a abab bb ab 2 32 0 0 知 三 最简二次根式三 最简二次根式 例 6 把二次根式化成最简二次根式为 x y x y 0 例 7 下列各式中属于最简二次根式的是 A xBx yCD 225 11205 解题策略 最简二次根式必须满足下列两个条件 1 被开方数的因数是 整数 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 例 6 的答案为 例 7 的答案为 A xy 四 同类二次根式四 同类二次根式 例 8 在下列二次根式中与是同类二次根式的是 2 A BCD 8101227 例 9 在下列各组根式中 是同类二次根式的是 AB Ca babDaa 3183 1 3 11 22 和和 和和 解题策略 紧扣定义 化成最简二次根式之后 被开方数相同的二次根式 叫做同类二次根式 例 8 的答案为 A 例 9 的答案为 B 五 二次根式的化简运算五 二次根式的化简运算 例 10 2 3 23121 2 2 323122 2 32 33 224 2 以上推导中错误在第 步 A 1 B 2 C 3 D 4 解题策略 紧扣二次根式的性质是一个非负数 第 2 步 a a 0 是一个负数 是一个正数 答案为 B 2 3 23 2 例 11 计算 1 21 831 0 解题策略 二次根式的有关概念是二次根式化简与运算的基础 二次根式 的性质是二次根式化简与运算的根据 互为有理化因式 2121 与 82 2 六 二次根式的条件求值六 二次根式的条件求值 例 12 已知 则的值为 ab 1 52 1 52 ab 22 7 A 3B 4C C 5 5D 6 解题策略 分母有理化是在进行二次根式的化简与运算时常用的方法 简解 a 1 52 52b 1 52 52 原式 abab 2 27255 例 13 先化简 再求值 其中 a 3 b 4 abab 22 解题策略 合并同类二次根式是在进行二次根式的化简与运 算时常用的方法 当 a 3 b 4 时 原式 aabbaabbab2248 3 七 二次根式的应用七 二次根式的应用 例 14 如图 数轴上表示 1 的对应点分别为 A B 点 B 关于点 A 的 2 对称点为 C 设点 C 所表示的数为 x 求的值 x x 2 C A B 0 x 1 2 解题策略 看懂题意 图意 抓住 点 B 关于点 A 的对称点为 C 解题 ABAC x x x 21 12122 2 22 2 22 4 经典例题精讲经典例题精讲 第二部分 勾股定理第二部分 勾股定理 题型一 直接考查勾股定理题型一 直接考查勾股定理 例 例 在中 ABC 90C 已知 求的长 6AC 8BC AB 已知 求的长分析 直接应用勾股定理 17AB 15AC BC 222 abc 解 22 10ABACBC 22 8BCABAC 题型二 利用勾股定理测量长度题型二 利用勾股定理测量长度 例题例题 1 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米 那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的 高度是多少米 解析 解析 这是一道大家熟知的典型的 知二求一 的题 把实物模型转化为 数 学模型后 已知斜边长和一条直角边长 求另外一条直角边的长 度 可以直接利用勾股定理 根据勾股定理 AC2 BC2 AB2 即 AC2 92 152 所以 AC2 144 所以 AC 12 例题例题 2 2 如图 8 水池中离岸边 D 点 1 5 米的 C 处 直立长着一根芦苇 出水部分 BC 的长是 0 5 米 把芦苇拉到岸边 它的顶端 B 恰好落到 D 点 并 求水池的深度 AC 解析 解析 同例题 1 一样 先将实物模型转化为数学模型 如图 2 由题意可 知 ACD 中 ACD 90 在 Rt ACD 中 只知道 CD 1 5 这是典型的利用勾股 定理 知二求一 的类型 C BD A 标准解题步骤如下 仅供参考 解 解 如图 2 根据勾股定理 AC2 CD2 AD2 设水深 AC x 米 那么 AD AB AC CB x 0 5 x2 1 52 x 0 5 2 解之得 x 2 故水深为 2 米 题型三题型三 勾股定理和逆定理并用勾股定理和逆定理并用 例题例题 3 3 如图 3 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的中点 F 是 AB 上一点 且 那么 DEF 是直角三角形吗 为什么 ABFB 4 1 解析 解析 这道题把很多条件都隐藏了 乍一看有点摸不着头脑 仔细读题会 意可以发现规律 没有任何条件 我们也可以开创条件 由可 ABFB 4 1 以设 AB 4a 那么 BE CE 2 a AF 3 a BF a 那么在 Rt AFD Rt BEF 和 Rt CDE 中 分别利用勾股定理求出 DF EF 和 DE 的长 反过来再利用 勾股定理逆定理去判断 DEF 是否是直角三角形 详细解题步骤如下 解 解 设正方形 ABCD 的边长为 4a 则 BE CE 2 a AF 3 a BF a 在 Rt CDE 中 DE2 CD2 CE2 4a 2 2 a 2 20 a2 同理 EF2 5a2 DF2 25a2 在 DEF 中 EF2 DE2 5a2 20a2 25a2 DF2 DEF 是直角三角形 且 DEF 90 注 本题利用了四次勾股定理 是掌握勾股定理的必练习题 注 本题利用了四次勾股定理 是掌握勾股定理的必练习题 题型四题型四 利用勾股定理求线段长度利用勾股定理求线段长度 例题例题 4 4 如图 4 已知长方形 ABCD 中 AB 8cm BC 10cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 求 CE 的长 解析 解析 解题之前先弄清楚折叠中的不变量 合理设元是关键 详细解题过程如下 详细解题过程如下 解 解 根据题意得 Rt ADE Rt AEF AFE 90 AF 10cm EF DE 设 CE xcm 则 DE EF CD CE 8 x 在 Rt ABF 中由勾股定理得 AB2 BF2 AF2 即 82 BF2 102 BF 6cm CF BC BF 10 6 4 cm 在 Rt ECF 中由勾股定理可得 EF2 CE2 CF2 即 8 x 2 x2 42 64 16x x2 2 16 x 3 cm 即 CE 3 cm 注 本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积 注 本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积 题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直 例题例题 5 5 如图 5 王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边 和 CD 边 他测得 AD 80cm AB 60cm BD 100cm AD 边与 AB 边垂直吗 怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直 解析 解析 由于实物一般比较大 长度不容易用直尺来方便测量 我们通 常截取部分长度来验证 如图 4 矩形 ABCD 表示桌面形状 在 AB 上截取 AM 12cm 在 AD 上截取 AN 9cm 想想为什么要设为这两个长度 连结 MN 测 量 MN 的长度 如果 MN 15 则 AM2 AN2 MN2 所以 AD 边与 AB 边垂直 如果 MN a 15 则 92 122 81 144 225 a2 225 即 92 122 a2 所以 A 不是直角 利用勾股定理解决实际问题 例题例题 6 6 有一个传感器控制的灯 安装在门上方 离地高 4 5 米的墙上 任 何东西只要移至 5 米以内 灯就自动打开 一个身高 1 5 米的学生 要走到离 门多远的地方灯刚好打开 解析 解析 首先要弄清楚人走过去 是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米 可想而知应该是头先距离灯 5 米 转化为数学模型 如图 6 所示 A 点表示控 制灯 BM 表示人的高度 BC MN BC AN 当头 B 点 距离 A 有 5 米时 求 BC 的长度 已知 AN 4 5 米 所以 AC 3 米 由勾股定理 可计算 BC 4 米 即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开 题型六题型六 旋转问题 旋转问题 例 1 如图 ABC 是直角三角形 BC 是斜边 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后 能与 ACP 重合 若 AP 3 求 PP 的长 变式 1 如图 P 是等边三角形 ABC 内一点 PA 2 PB PC 4 求 ABC 的边长 2 3 分析 利用旋转变换 将 BPA绕点B逆时针选择60 将三条线段集中到同一个 三角形中 根据它们的数量关系 由勾股定理可知这是一个直角三角形 变式2 如图 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 E F是BC上的点 且 EAF 45 试探究间的关系 并说明理由 222 BECFEF 题型七题型七 关于翻折问题关于翻折问题 例 1 如图 矩形纸片 ABCD 的边 AB 10cm BC 6cm E 为 BC 上一点 将矩形纸 片沿 AE 折叠 点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处 求 BE 的长 变式 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45 把 ADC 沿直线 AD 翻折 点 C 落在点 C 的位置 BC 4 求 BC 的长 题型八题型八 关于勾股定理在实际中的应用关于勾股定理在实际中的应用 例 1 如图 公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇 点 A 处有一 所中学 AP 160 米 点 A 到公路 MN 的距离为 80 米 假使 拖拉机行驶时 周围 100 米以内会受到噪音影响 那么拖拉 机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到影响 请说明理由 如果受到影响 已知拖拉机的速度是 18 千米 小时 那么学校受到影响的时间为多少 题型九题型九 关于最短性问题关于最短性问题 A P QM N 例 5 如右图 1 19 壁虎在一座底面半径为 2 米 高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处 它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫 便决定捕捉这只害虫 为了不引 起害虫的注意 它故意不走直线 而是绕着油罐 沿一条螺旋路线 从背后对害虫进行 突然袭击 结果 壁虎的偷袭得到成功 获得了一顿美餐 请问壁虎至少要爬行多少路 程才能捕到害虫 取 3 14 结果保留 1 位小数 可以用计算器计算 变式 如图为一棱长为 3cm 的正方体 把所有面都分为 9 个小正方形 其边长都是 1cm 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm 则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点 最少 要花几秒钟 四 课后作业 1 1 易错点 本节的易错点是 在用勾股定理求第三边时 分不清直角三角形的 易错点 本节的易错点是 在用勾股定理求第三边时 分不清直角三角形的 斜边和直角边 另外不论是否是直角三角形就用勾股定理 为了避免这些错误斜边和直角边 另外不论是否是直角三角形就用勾股定理 为了避免这些错误 的出现 在解题中 同学们一定要找准直角边和斜边 同时要弄清楚解题中的的出现 在解题中 同学们一定要找准直角边和斜边 同时要弄清楚解题中的 三角形是否为直角三角形 三角形是否为直角三角形 例例 1 1 在 在 Rt ABCRt ABC 中 中 a a b b c c 分别是三条边 分别是三条边 B 90 B 90 已知 已知 a 6a 6 b 10b 10 求边长求边长 c c 错解 因为 a 6 b 10 根据勾股定理得 c 342106 2222 ba 剖析 上面解法 由于审题不仔细 忽视了 B 90 这一条件而导致没有分 清直角三角形的斜边和直角边 错把 c 当成了斜边 正解 因为 a 6 b 10 根据勾股定理得 c 8610 2222 ab 温馨提示 运用勾股定理时 一定分清斜边和直角边 不能机械套用 c2 a2 b2 例例 2 2 已知一个 已知一个 Rt ABCRt ABC 的两边长分别为的两边长分别为 3 3 和和 4 4 则第三边长的平方是 则第三边长的平方是 错解 因为 Rt ABC 的两边长分别为 3 和 4 根据勾股定理得 第三边长 的平方是 32 42 25 剖析 此题并没有告诉我们已知的边长 4 一定是直角边 而 4 有可能是斜 边 因此要分类讨论 正解 当 4 为直角边时 根据勾股定理第三边长的平方是 25 当 4 为斜边 时 第三边长的平方为 42 32 7 因此第三边长的平方为 25 或 7 温馨提示 在用勾股定理时 当斜边没有确定时 应进行分类讨论 例例 3 3 已知 已知 a a b b c c 为为 ABC ABC 三边 三边 a 6a 6 b 8b 8 b cb c 且 且 c c 为整数 则为整数 则 c c 错解 由勾股定理得 c 1086 22 剖析 此题并没有告诉你 ABC 为直角三角形 因此不能乱用勾股定理 正解 由 b c 结合三角形三边关系得 8 c 6 8 即 8 c 14 又因 c 为整 数 故 c 边长为 9 10 11 12 13 温馨提示 只有在直角三角形中 才能用勾股定理 因此解题时一定注意 已知条件中是否为直角三角形 2 2 思想方法 本节主要思想方法有数形结合的思想 方程的思想 化归的思想思想方法 本节主要思想方法有数形结合的思想 方程的思想 化归的思想 及分类的思想 及分类的思想 例例 4 4 如图 有一个直角三角形纸片 两直角边 如图 有一个直角三角形纸片 两直角边 AC 6cmAC 6cm BC 8cmBC 8cm 现将直 现将直 角边角边 ACAC 沿直线沿直线 ADAD 折叠 使它落在斜边折叠 使它落在斜边 ABAB 上 且与上 且与 AEAE 重合 你能求出重合 你能求出 CDCD 的长的长 吗 吗 析解 因两直角边 AC 6cm BC 8cm 所以由勾股定理求得 AB 10 cm 设 CD x 由题意知则 DE x AE AC 6 BE 10 6 4 BD 8 x 在 Rt BDE 由勾股定理得 42 x2 8 x 2 解得 x 3 故 CD 的长能求出且为 3 运用中的质疑点 运用中的质疑点 1 使用勾股定理的前提是直角三角形 2 在求解问 C B A D E 题的过程中 常列方程或方程组来求解 3 已知直角三角形中两边长 求第 三边长 要弄清哪条边是斜边 哪条边是直角边 不能确定时 要分类讨论 巩固训练巩固训练 选择题 1 已知 ABC 中 A B C 则它的三条边之比为 A 1 1 B 1 2 C 1 D 1 4 1 2 已知直角三角形一个锐角 60 斜边长为 1 那么此直角三角形的周长是 A B 3 C D 3 下列各组线段中 能够组成直角三角形的是 A 6 7 8 B 5 6 7 C 4 5 6 D 3 4 5 4 下列各命题的逆命题成立的是 A 全等三角形的对应角相等 B 如果两个数相等 那么它们的绝对值相等 C 两直线平行 同位角相等 D 如果两个角都是 45 那么这两个角相等 5 若等边 ABC 的边长为 2cm 那么 ABC 的面积为 A cm2 B 2 cm2 C 3 cm2 D 4cm2 6 在 Rt ABC 中 已知其两直角边长 a 1 b 3 那么斜边 c 的长为 7 直角三角形的两直角边分别为 5cm 12cm 其中斜边上的高为 A 6cm B 8 5cm C cm D cm 13 30 13 60 8 两只小鼹鼠在地下打洞 一只朝前方挖 每分钟挖 8cm 另一只朝左挖 每 分钟挖 6cm 10 分钟之后两只小鼹鼠相距 A 50cm B 100cm C 140cm D 80cm 9 有两棵树 一棵高 6 米 另一棵高 3 米 两树相距 4 米 一只小鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢 至少飞了 米 10 一座桥横跨一江 桥长 12m 一般小船自桥北头出发 向正南方驶去 因 水流原因到达南岸以后 发现已偏离桥南头 5m 则小船实际行驶 m 11 一个三角形的三边的比为 5 12 13 它的周长为 60cm 则它的面积是 12 在 Rt ABC 中 C 90 中线 BE 13 另一条中线 AD2 331 则 AB 13 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门 如果把竹竿竖放就比 门高出 1 尺 斜放就恰好等于门的对角线长 已知门宽 4 尺 求竹竿高与门 高 14 如图 3 台风过后 一希望小学的旗杆在离地某处断裂 旗杆顶部落在离 旗杆底部 8m 处 已知旗杆原长 16m 你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗 请你试一试 15 如图 4 所示 梯子 AB 靠在墙上 梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2m 梯 8m 图 3 O B 图 4 B AA 子的顶端 B 到地面的距离为 7m 现将梯子的底端 A 向外移动到 A 使梯子的底 端 A 到墙根 O 的距离为 3m 同时梯子的顶端 B 下降到 B 那么 BB 也等于 1m 吗 16 在 ABC 中 三条边的长分别为 a b c a n2 1 b 2n c n2 1 n 1 且 n 为整数 这个三角形是直角 三角形吗 若是 哪个角是直角 与同伴一起研究 课后训练 课后训练 一 填空题 1 如图 1 在高 2 米 坡角为 30 的楼梯表面铺地毯 地毯的长至少需 米 图 1 C O AB D E F 第 3 题图 D B C A 第 4 题图 2 种盛饮料的圆柱形杯 如图 测得内部底面半径为 2 5 高为 12 吸管放进杯里 杯口 外面至少要露出 4 6 问吸管要做 3 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 4 在一棵树的 10 米高处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处 另一只 爬到树顶 D 后直接跃到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距 离相等 则这棵树高 米 5 如图是一个三级台阶 它的每一级的长宽和高分别为 20dm 3dm 2dm A 和 B 是这个台阶两个相对的端点 A 点有一只蚂蚁 想到 B 点去吃可口的食物 则蚂蚁沿