高等数学(二)复习指导-第10章曲线积分与曲面积分

第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 一 基本要求及重点 难点一 基本要求及重点 难点 1 1 基本要求 1 了解第一类曲线积分 即对弧长的曲线积分 的概念及其物理与几何意义 并掌 握其计算方法 2 了解第二类曲线积分 即对坐标的曲线积分 的概念及物理意义 并掌握其计算 方法 能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功 3 掌握格林公式的条件和结论 熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重 积分的计算方法 及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方 法 4 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用 会求全微 分的原函数 5 了解第一类曲面积分 即对面积的曲线积分 的概念及其物理与几何意义 并掌 握其计算方法 6 掌握高斯公式的条件与结论 并会利用高斯公式计算第二类曲面积分 2 重点及难点 1 重点 a 熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分 b 熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分 c 格林公式 熟练使用格林公式计算曲线积分 d 曲线积分与路径无关的概念及条件 e 高斯公式 熟练使用高斯公式计算曲面积分 2 难点 a 两类曲线积分的关系 b 格林公式的灵活使用 条件 结论 辅助曲线的添加 c 高斯公式的灵活使用 条件 结论 辅助曲面的添加 二 内容概述二 内容概述 1 曲线积分的基本概念与性质 1 对弧长的曲线积分 又称第一类曲线积分 定义定义 设在 xOy 面内的光滑曲线上有界 第一类曲线积分为 f x yL 见课本 0 1 lim n iii L i f x y dsfs 为空间曲线时 类似地有 0 1 lim n iiii i f x y z dsfs 物理意义物理意义 设曲线的线密度为 则其质量为L x y L Mx y ds 性质性质 1 1 运算性质 LLL f x yg x ydsf x y dsg x y ds 其中为常数 LL kf x y dskf x y ds k 性质性质 2 2 对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关 即 LL dsyxfdsyxf 性质性质 3 3 对积分路径具有可加性 即 12 k LLLL f x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 其中 12k LLLL 2 对坐标的曲线积分 又称第二类曲线积分 定义定义 设在 xOy 面内的有向光滑曲线上有界 P x y Q x yL L P x y dxQ x y dy 0 1 lim n iiiiii i PxQy 为空间曲线时 类似地有 P x y z dxQ x y z dyR x y z dz 0 1 lim n iiiiiiiiiiii i PxQyRz 物理意义物理意义 变力变力沿曲线所作的功功为 FP x y iQ x y j L L WP x y dxQ x y dy 性质性质 1 1 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关 即 LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP 性质性质 2 2 对积分路径具有可加性 即 1 LL P x y dxQ x y dyP x y dxQ x y dy 2 k LL P x y dxQ x y dyP x y dxQ x y dy 其中 k LLLL 21 3 两类曲线积分之间的关系 平面曲线上两类曲线积分有如下关系L L P x y dxQ x y dy cos cos L P x yQ x yds 其中为平面有向曲线上点处的切线向量的方向角 yxyx L yx 空间曲线上两类曲线积分有如下关系 P x y z dxQ x y z dyR x y z dz cos cos cos P x y zQ x y zR x y zds 其中为空间有向曲线上点处切向量的方向角 x y zx y zx y z x y z 2 曲线积分的计算公式 1 对弧长的曲线积分 1 设函数在平面曲线上连续 f x y t t L xy t 在区间上连续 且 则 tt 22 0tt 22 L f x y dsfttttdt 2 设平面曲线的方程为且在区间上连续 则L bxaxyy x y ba 2 1 b La f x y dsf x y xy xdx 3 设函数在空间曲线上连 zyxf xtyt tz t 续 在区间上连续 且 则 ttt 22 tt 2 0t f x y z ds 222 fttttttdt 注意注意 化对弧长的曲线积分为定积分时 定积分的上限一定比下限大 2 对坐标的曲线积分 1 设函数在有向曲线上连续 的参数方程为 yxQyxPLL tytx t 即为有向曲线的始点对应的参数值 为其终点对应的参数值 且在以 L tt 为端点的区间上连续 则 22 0tt L P x y dxQ x y dy PtttQttt dt 2 若是由方程给出 的始点的横坐标为 终点的横坐标为 具有L yx Lab x 一阶连续导数 则 L P x y dxQ x y dy b a P xxQ xxx dx 3 类似地 对于空间曲线 xtytzt P x y z dxQ x y z dyR x y z dz Ptttt dtQtttt dt Rtttt dt 为有向曲线的始点对应的参数值 为其终点对应的参数值 3 二元函数的全微分求积 设函数 在单连通域内有连续的一阶偏导数 且 则 yxP yxQG x Q y P 在内为某一函数的全微分 且有QdyPdx G yxu 如图 a 00 0 xy xy u x yP x y dxQ x y dy 或 如图 b dxyxPdyyxQyxu x x y y 0 00 3 曲线积分的有关定理 定理定理 1 1 格林公式 设闭区域是由分段光滑的曲线围成 函数在DL yxQyxP 上具有连续的一阶偏导数 则有D OO x 图 a y 00 yxA 0 yxB yxC 图 b x y 00 yxA 0 yxB yxC dxdy y P x Q QdyPdx LD 其中是的取正向的边界曲线 LD 定理定理 2 2 平面上曲线积分与路径无关的条件 设函数 在单连通域内 yxP yxQG 有连续的一阶偏导数 则以下四个条件等价 与路径无关 即 L PdxQdy L PdxQdy 1 L PdxQdy 其中 为内具有相同始点和终点任意曲线 L 1 LG 其中为内的任意闭曲线 L QdyPdx0LG 在内恒成立 PQ yx G 即在内为某一函数的全微分 PdxQdydu x y PdxQdy G u x y 4 曲面积分的基本概念与性质 1 对面积的曲面积分 又称第一类曲面积分 定义定义 设在光滑曲面上有界 f x y z 极限存在时 0 1 lim n iiii i f x y z dSfS 物理意义物理意义 设曲面的面密度为 则其质量为 x y z Mx y z dS 性质性质 设曲面都是光滑的 则 12 1 2 ki ik 12 f x y z dSf x y z dSf x y z dS k f x y z dS 2 对坐标的曲面积分 又称第二类曲面积分 指定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面 定义定义 设在有向光滑曲面上有界 P x y z Q x y z R x y z 极限存在时 0 1 lim n iiiiyz i P x y z dydzPS 极限存在时 0 1 lim n iiiizx i Q x y z dzdxQS 极限存在时 0 1 lim n iiiixy i R x y z dxdyRS 其中是任意分割有向曲面为片小曲面后 所得到的第 片小曲面上的任意 iii ni i S 一点 分别为在三个坐标面上的投影 为片小曲面 ixyiyzizx SSS i S n i S 的直径中的最大者 1 2 in 曲面在点处的单位法向量为 iii cos coscos iii nijk cos cos cos iyziiizxiiixyii SSSSSS 物理意义物理意义 稳定流动的不可压缩的流体 密度 如果在点处的流速是1 zyx vP x y z iQ x y z jR x y z k 则单位时间内流过曲面一侧的流量为 PdydzQdzdxRdxdy 性质性质 1 1 设曲面则 12 k 1 PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 2 k PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 性质性质 2 2 设表示与取相反侧的有向曲面 则 PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 3 两类曲面积分之间的关系 空间曲面上的两类曲面积分有如下关系 coscoscos PdydzQdzdxRdxdyPQRdS 其中是有向曲面上点处的法向量的方向余弦 cos cos cos x y z 5 曲面积分的计算公式 1 对面积的曲面积分 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为 则 yxzzxoy xy D f x y z dS 22 1 xy xy D f x y z x yzz dxdy 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为 则 zxyyxoz xz D f x y z dS 22 1 xz xz D f x y x z zyy dxdz 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为 则 zyxxyoz yz D f x y z dS 22 1 yz yz D f x y zy zxx dydz 2 对坐标的曲面积分 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为 取上 下 yxzzxoy xy D 侧 则 xy D R x y z dxdyR x y z x y dxdy 其中 取上侧时为正 取下侧时为负 注意注意 当曲面是母线平行于轴的柱面时 上任意一点的法向量与 z0 yxF 轴的夹角的余弦 则zcoscos0 2 0R x y z dxdy 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为 则 zxyyxoz xz D Q x y z dzdx xz D Q x y x z z dzdx 取右侧时为正 取左侧为负 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为 则 xx y z yoz yz D P x y z dydz yz D P x y zy z dydz 取前侧时为正 取后侧为负 6 曲面积分的有关定理 定理定理 1 1 高斯公式 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数 在上具有一阶连续偏导数 则有 zyxRzyxQzyxP dxdydz z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz 或 dxdydz z R y Q x P dSRQP coscoscos 其中是的整个边界曲面的外侧 是上点处的法向量的 cos cos cos zyx 方向余弦 三 典型例题分析三 典型例题分析 例例 1 计算 其中为圆周 直线及轴在第一象限内所 22 xy Le ds A L 222 xya xy x 围成的扇形的整个边界 分析分析 由于曲线分段光滑 所以先将分为若干光滑曲线段之和 再利用曲线积分的可LL 加性计算曲线积分 解解 22222222 123 xyxyxyxy LLLL edsedsedseds A 的方程为 1 L 2 0 2 yxxa 2 1 2dsyx dxdx 22 1 2 2 2 0 2 a xyx L edsedx 2 2 2 0 2 1 a xa edxe 的方程为 2 Lcos sin 0 4 xat yatt 2222 sin cos dsxtyt dtatatdtadt 22 2 4 0 4 xyaa L a edsae dte 的方程为 3 L0 0 yxa 2 1 dsyx dxdx 22 3 0 1 a xyxa L edse dxe 所以 x O y 2 L 1 L 3 La 22222222 123 xyxyxyxy LLLL edsedsedseds A 1122 44 aaaa aa eeee 例例 2 具有连续偏导数的函数应满足怎样的条件才能使曲线积分 f x y 与积分路径无关 L f x yydxxdy 解 解 设 Qxf x yPyf x y yxyfyxf y P y yxxfyxf x Q x 充要条件 x Q y P x f x y f y 例例 3 计算 其中为由点到点的曲线 dyyxdxxyxI 2 422 L 0 0 O 1 1 A xy 2 sin 解解 dyyxdxxyxI 2 422 由 xxyx yy P 2 2 2 知xyx xx Q 2 42 从而此曲线积分与路径无关 取折现 x Q y P 即 15 23 1 1 0 4 1 0 2 dyydxx故原式 例例 4 4 确定值 使曲线积分 与路径无关 a AB dyyyxdxxyx aa 56 4 4214 解 解 44 4xyxP 421 56yyxQ a x Q y P xay x Q xay Y P aa 221 1 64 系数相等 4a 6 a 1 a 3 221 1 64 aa xayxay 例例 5 5 计算 其中为由点到点的上半 L xx dymyedxmyeI cos L 0 a 0 0 圆周 0 22 yaxyx 解解 myemyye yy P xx cos sin yemye xx Q xx cos cos 如右图 x Q y P 即 AMOAAOAOAOL I dxdy y P x Q D AMOA 8 2 a m dxdym D 00 0 0 medx x a AO 8 0 8 22 a m a m I AMOAAO 例例 6 计算 其中是由沿到的曲 L dyxyx 2 2 L 0 aA 0 1 2 2 2 2 y b y a x 0 aB 线段 解 解 本题方法较多 可在直角坐标系下计算 分为取为积分变量 取为积分变量 xy 亦可利用参数方程计算 tbytaxsin cos 方法一方法一 取为积分变量 需分为两段 有yL 2 2 1 b y ax 2222 0 222 2222 0 2 1 21 1 21 b Lb yyyy xxy dyaaydyaaydy bbbb b abdy b y ya 0 2 2 2 3 4 14 方法二方法二 取为积分变量 的方程为xL 始点 终点 则有dx ya xb dxxydy a x bxy 2 2 2 2 1 ax ax a a a aL dxx a x b x a b dx ya xb zyxdyxyx 2 2 2 3 2 2 2 2 22 2 1 2 2 被积函数中 第一项是关于的奇函数 第二项是关于的偶函数 于是xx x y o 0 aA M 2 0 2 2 2 2 3 44 2 abdxx a b dyxyx a L 在方法二中 这里是无穷间断点 由于原曲线积分dx ya xb dxxydy 2 2 0 y 存在 可知此广义积分收敛 故能算出结果 这种把曲线积分化成广义积分的情形常会发 生 方法三方法三 利用积分曲线的方程化简被积表达式的方法求解 作法如下 由于 故 于是1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 22 b y ax xdx a b ydy 2 2 0 1 0 2 2 2 2 2 22 a LL dy b y ady b y aadyx 22 2 2 2 2 3 42 22abdxx a b dxx a b xxydy a aLL 所以 22 3 4 2 abdyxyx L 方法四方法四 将曲线用参数方程L tby tax sin cos 表示 则有 2 0 222 3 4 cos cossin2cos 2 abtdtbttabtadyxyx L 方法五方法五 利用格林公式计算 注注 用不同方法计算曲线积分 既可以比较不同方法的繁简 也有利于理解曲线积分的概 念和训练计算技巧 例例 7 证明曲线积分在整个坐标面上与路径 3 4 2322 1 2 6 63 xyy dxx yxydy xoy 无关 并计算积分值 解解 因为 2322 6 63Pxyy Qx yxy 2 123 PQ xyy yx 且在坐标面上有一阶连续偏导数 故曲线积分与路径无关 QP xoy 3 4 2322 1 2 6 63 xyy dxx yxydy x y O 2 1 A 2 3 B 4 3 C 23222322 6 63 6 63 ABBC xyy dxx yxy dyxyy dxx yxy dy 3 4 2322 1 2 622 6 33 3 xdxyy dy 80 156236 例例 8 设 求 2232 38 812 y dux yxydxxx yyedy u x y 解解 设 2232 38 812 y Px yxy Qxx yye 由 所以 2 316 PQ xxy yx 2232 1 0 0 38 812 x y y u x yx yxy dxxx yyedyC 32 1 0 0 0 812 xy y dxxx yyedyC 322 1 412 1 12 y x yx yeyC CC 注意注意 利用上述方法求函数时 选择的起点不同求出的可能相差一个常数 yxu yxu 例例 9 9 计算曲面积分 其中为平面在第一卦限的部分 4 2 3 zxy dS 1 234 xyz 解解 设 4 1 23 xy z 0 0 1 23 xy xy 在坐标面上的投影区域为 xoy xy D1 0 0 23 xy xy 由于 2 222 4 11 2 3 xy zz 61 3 4 244 3234 xyz zxyx y z 所以 44 61 244 61 33 xy D zxy dSdSdxdy 例例 1010 设为椭球面的上半部分 点为在点处 22 2 1 22 xy z P x y z P 的切平面 为点到平面的距离 试求 x y z 0 0 0 O z dS x y z x y z 0 2 3 4 解解 设为上任意一点 则 ZYX 22 2 1 22 xy Fz 2 xyz FxFyFz 在点处的切平面的方程为 P 即 2 0 x Xxy Yyz Zz 1 22 xXyY zZ 2222 2 2 000 1 122 44 22 xy z x y z xy xy z z 在坐标面上的投影区域记为 由 则 xOy 22 2 xy Dxy 22 1 22 xy z 2222 2 12 1 2222 xy xy zz xyxy 22 22 22 4 1 4 1 22 xy xy zz xy 所以 z dS x y z 222222 22 4 11 224 4 1 22 xy D xyxyxy dxdy xy 22 1 4 4 xy D xy dxdy 2 2 2 0 0 13 4 42 drrdr 例例 1111 计算 其中为曲面在第一象部分 zdxdyydzdxxdydzI 22 yxz 的上侧10 z 解 方法一 解 方法一 投影法 直接计算 设 分别表示在平面 平面 平面的投影 相应 yz D zx D xy D yOzzOxxOy 把的方程分别是 则 2 yzx 2 xzy 22 yxz zdxdyydzdxxdydzI yz D dydzyz 2 zx D dxdzxz 2 xy D dxdyyx 22 1 0 2 2 0 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 rdrrddzxzdxdzyzdy x 8 方法二 方法二 高斯公式 此时要补上三个平面块 与曲面块构成封0 1 y0 2 x1 3 z 闭曲面 所围成的空间区域记为 注意到取内侧 因此 123 I xy D dxdydxdydz003 2 0 1 0 1 2 3 r Dxy dxdydzrdrd 84 1 2 3 1 0 2 drrr 方法三 方法三 化为第一类曲面积分 曲面块方程 得 从而 22 yxz xzx2 yzy2 22 441 2 cos yx x 22 441 2 cos yx y 22 441 1 cos yx r dxdyyxds 22 441 dszyxI cos cos cos xy D dxdyyxyxyx 1 2 2 22 xyxy DD dxdyyxdxdyyxyx 22 222222 8 2 0 1 0 2 rdrrd 例例 1212 计算 其中 上侧 2 1 222 2 zyx dxdyazaxdydz I 222 yxaz 0 a 解 解 补有向曲面 取下 dxdyazaxdydz a I 2 1 1 222 0zxya 侧 则 222 11 222 ayx dxdyadxdyazdxdyazaxdydz 4 a 所以 4 23 11 11 adxdydzza aa I 0 43 2222 2 3 4 2 1 3 1 a zayx adxdyzdzaa a 0 4224 1 2 a az azdza a 3 2 a 四 自测题及解答四 自测题及解答 一 选择题 一 选择题 1 设 L 是起点为 A 1 1 终点为 B 2 2 的任意不通过原点的路径 则 为 L yx ydyxdx 22 A ln2 B 0 C 2 D ln2 2 设函数在单连通域 D 上具有一阶连续偏导数 则曲线积分 P x y Q x y 在 D 域内与路径无关的充要条件是 C QdyPdx A B C D y P x Q x P y Q x P y Q y P x Q 3 记以点 A 1 0 B 0 1 C 1 0 D 0 1 为顶点的正方形为 ABCDA 则为 ABCDA yx dydx A ln2 B 2 C 0 D 1 4 设 则曲线积分 L1 2 2 2 2 b y a x L yx xdyydx 22 A 与的取向无关 与的值有关 B 与的取向无关 与的值无关L a bL a b C 与的取向有关 与的值有关 D 与的取向有关 与的值有关L a bL a b 5 设 为在第一卦限的部分 则有 2222 0 xyzaz 1 1 A 4 xdSxdS 1 B 4 ydSxdS 1 C 4 zdSxdS 1 D 4xyzdSxyzdS 二 二 填空题填空题 1 设 L 为取正向的圆周 则 9 22 yx L dyxxdxyxy 4 22 2 2 设 C 为逆时针方向的闭曲线 其方程为 则 1 1 22 yx C dyxyydxyx 2 222 3 设 L 为曲线依参数 t 增加的方向上的一段弧 则 32 tztytx 10 t L dzxydydxzy 222 2 4 设 C 为闭域 D 的正向边界闭曲线 则可通过 A 表示为 c x dyyxdxye sin 2 2 A 为 D 面积 5 是光滑闭曲面 的外法向量的方向余弦 又 所围的空间闭区域cos cos cos 为 设函数和在 上具有二阶连续偏导数 则由高斯公 P x y z Q x y z R x y z 式 有 ds y P x Q x R z P z Q y R cos cos cos 三 计算题 1 I 其中 L L dszyx 11 3 2 32 ttztytx 2 I 其中 L 是从 A 0 1 沿曲线到 4 2 22 xydydxyx L x x y sin 0 B 3 证明 并求 2 2 222 yxdudyyxyxdxyxy u x y 4 求质点受作用力沿路径 L 顺时针方向运动一周所作 M x y 3 2 Fyx iyx j 的功 其中 L 为椭圆44 22 yx 5 计算 其中为圆周 22 L xy ds A L 22 xyax 0 a 6 设是沿动圆周的逆时针方向 计算含曲线积分的极限 L 222 tyx 其中为常数 L dynymxdxbyax t t 1 2lim a b m n 7 计算 其中是上半球面的上侧 xdydzydzdxzdxdy 22 1zxy 自测题参考答案自测题参考答案 一 1 A 分析 积分与路径无关 2 D 3 C 4 D 分析 因 Q 且 故在 22 yx y P 22 yx x 222 22 yx xy x Q y P L 为边界的区域 D 内 有偏导数不存在的点 0 0 可取 C 为不过原点但含于 L 内部并与 L 同向的曲线 在 L 与 C 所围区域应用格林公式 1 D 当为正向闭曲线时 取 号 否则 D CL QdyPdxdxdy y P x Q CL 1 D 取 号 因上 从而 1 D y P x Q 0 1 dxdy y P x Q D 即 此积分与 C 的方向也即 L 的方向有关 但与 a b L yx xdyydx 22 C yx xdyydx 22 无关 5 C 二 1 分析 由于 故应用格林公式 18 xxQYXYP4 22 2 L dyxxdxyxy 4 22 2 DD ddxdy y P x Q 182 2 0 分析分析 设 C 所围成的区域为 D 由于 xyyQyxP2 222 所以在 D 上 故应用格林公式 x Q y y P 2 C dyxyydxyx 2 222 0 dxdy y P x Q D 3 35 1 4 2A 分析 因 由格林公式1 1 sin 2 2 x Q y P yxQyeP x 原式 DD Adxdydxdy y P x Q 22 5 dxdydz x P 三 1 解 dttdtttdt dt dz dt dy dt dx ds 21 441 242 222 L dtttttdszyx 1 1 232 15 22 5 2 3 1 2 21 3 2 2 解 在 xoy 面内 xyQyxP4 2 22 x Q y y