小学奥数著名问题之——一笔画问题习题集

一笔画问题 教师必备 一笔画问题 教师必备 一 欧拉的一笔画原理是 1 一笔画必须是连通的 图形的各部分之间连接在一起 2 没有奇点的连通图形是一笔画 画时可以以任一偶点为起点 最后仍回到这点 3 只有两个奇点的连通图形是一笔画 画时必须以一个奇点为起点 以另一个奇点为 终点 4 奇点个数超过两个的图形不是一笔画 利用一笔画原理 七桥问题很容易解决 因为图中 A B C D 都是奇点 有四个奇 点的图形不是一笔画 所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥 二 顺便补充两点 1 一个图形的奇点数目一定是偶数 因为图形中的每条线都有两个端点 所以图形中所有端点的总数必然是偶数 如果一 个图形中奇点的数目是奇数 那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数 奇数个奇 数之和是奇数 与偶点相连的线的端点数之和是偶数 任意个偶数之和是偶数 于是得到 所有端点的总数是奇数 这与前面的结论矛盾 所以一个图形的奇点数目一定是偶数 2 有 K 个奇点的图形要 K 2 笔才能画成 例如 下页左上图中的房子共有 B E F G I J 六个奇点 所以不是一笔画 如 果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条 那么这两个奇点都变成了偶点 如果能去掉 两条这样的连线 使图中的六个奇点变成两个 那么新图形就是一笔画了 将线段 GF 和 BJ 去掉 剩下 I 和 E 两个奇点 见右下图 这个图形是一笔画 再添上线段 GF 和 BJ 共 需三笔 即 6 2 笔画成 一个 K K 1 笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢 我们知道 K 笔画有 2K 个 奇点 如果在任意两个奇点之间添加一条连线 那么这两个奇点同时变成了偶点 如左下 图中的 B C 两个奇点在右下图中都变成了偶点 所以只要在 K 笔画的 2K 个奇点间添加 K 1 笔就可以使奇点数目减少为 2 个 从而变成一笔画 三 到现在为止 我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画 以及怎样添加连线将多 笔画变成一笔画 看下面的例题 1 下列图形分别是几笔画 怎样画 2 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形 3 从 A 点出发 走遍右上图中所有的线段 再回到 A 点 怎样走才能使重复走的路程 最短 4 下图是国际奥林匹克运动会的会标 能一笔画吗 如果能 请你把它画出来 数学趣闻集锦 之欧拉与哥尼斯堡七桥问题 拓扑学起源于公元 1736 年一个著名问题 哥尼斯堡七桥问题 的解决 哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市 它包含两个岛屿及连接它们的七座 桥 该河流经城区的这两个岛 岛与河岸之间架有六座桥 另一座桥则连接着两个 岛 星期天散步已成为当地居民的一种习惯 但试图走过这样的七座桥 而且每桥 只走过一次却从来没有成功过 但直至引起瑞士数学家欧拉 Leonhard Euler 1707 1783 注意之前 没有人能够解决这个问题 那时 欧拉正在圣彼得堡为俄国女皇凯瑟琳服务 在解决该问题的过 程中 欧拉创立了一个数学分支 即后来人们所熟知的拓扑学 他在解哥尼斯 堡七桥问题时 采用了今天人们称之为网络的拓扑学知识 运用网络 欧拉证 明了要走过哥尼斯堡的七座桥且每桥只通过一次是不可能的 这一问题及欧拉对 七桥问题 的研究是图论研究的开始 同时也为拓扑 学的研究提供了一个初等的例子 它开创了拓扑学研究的先河 拓扑学是一个 相对较新的领域 19 世纪 数学家们才开始对它以及其他的非欧几何开展研 究 论述拓扑学的第一篇论文 写于 1847 年 一个网络基本上可以看成是一个问题的图样 哥尼斯堡七桥问题的网络可以图 解如下 一个网络由顶点和弧线组成 一个可以遍历的网络是指它可以准确一次地穿经 所有的弧线 但顶点却可以通过任意次数 哥尼斯堡七桥问题的网络顶点 有如上 图所示的 A B C D 注意每个顶点发出的弧线数 A 为 3 B 为 5 C 为 3 D 为 3 由于这些数全是奇数 这类顶点我们称之为奇顶点或奇点 如果一个顶点发 出的弧线数为偶数 我们则称之为偶顶点或偶点 欧拉发现 对于一个可以遍历的 网络 其奇 偶点具有许多性质 特别地 欧拉注意到 一个奇顶点在这种遍历式 的旅行中 要么是起点 要么是终点 由于一个遍历的网络只能有一个起点和一个 终点 因而这种网络的奇点数不能多于两个 然而在哥尼斯堡七桥问题的网络中却 有四个