一阶常微分方程解法总结

第第 一一 章章 一阶微分方程的解法的小结 可分离变量的方程 形如 ygxf dx dy 当时 得到 两边积分即可得到结果 0 ygdxxf yg dy 当时 则也是方程的解 0 0 g 0 xy 例 1 1 xy dx dy 解 当时 有 两边积分得到0 yxdx y dy 2 ln 2 为常数CC x y 所以 11 2 1 2 C x eCCeCy 为非零常数且 显然是原方程的解 0 y 综上所述 原方程的解为 1 2 1 2 为常数CeCy x 形如0 dyyQxPdxyNxM 当时 可有 两边积分可得结果 0 yNxPdy yN yQ dx xP xM 当时 为原方程的解 当时 为原方程的解 0 0 yN 0 yy 0 0 xP 0 xx 例 1 2 0 1 1 22 dyxydxyx 解 当时 有两边积分得到0 1 1 22 yxdx x x dy y y 11 22 所以有 0 ln1ln1ln 22 CCyx 0 1 1 22 CCyx 当时 也是原方程的解 0 1 1 22 yx 综上所述 原方程的解为 1 1 22 为常数CCyx 可化为变量可分离方程的方程 形如 x y g dx dy 解法 令 则 代入得到为变量可分离方程 得 x y u udxxdudy ugu dx du x 到再把 u 代入得到 0 为常数CCxuf 0 为常数CCx x y f 形如 0 abbyaxG dx dy 解法 令 则 代入得到为变量可分离方byaxu b duadx dy 1 uG b a dx du b 程 得到再把 u 代入得到 0 为常数CCxuf 0 为常数CCxbyaxf 形如 222 111 cybxa cybxa f dx dy 解法 转化为 下同 0 10 22 11 ba ba byaxG dx dy 的解为 令 0 20 22 11 ba ba 0 0 222 111 cybxa cybxa 00 yx 0 0 yyv xxu 得到 下同 22 11 22 11 u v g u v ba u v ba f vbua vbua f du dv 还有几类 xyudyxyxgdxxyyf 0 xyvxyf dx dy x 2 22 x y w x y xf dx dy sin cos 0 ryrxydxxdyyxNydyxdxyxM 以上都可以化为变量可分离方程 例 2 1 2 5 yx yx dx dy 解 令 则 代入得到 有dxudu7 2 yxududxdy u u dx du7 1 所以 把 u 代入得到 7 2 2 为常数CCx u 7 2 2 2 为常数 CCx yx 例 2 2 12 12 yx yx dx dy 解 由得到 令 有 代入得到 012 012 yx yx 3 1 3 1 y x 3 1 3 1 yv xu dudx dvdy 令 有 代入得到 化 u v u v vu vu du dv 21 2 2 2 u v t udttdudv t t du dt ut 21 2 简得到 有 1 2 1 222 21 2 2 2 tt ttd dt tt t u du 所以有 故代入得 2 1ln ln 2 为常数CC tt u 1 1 2 1 C eC tt C u 到 0 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 2 1 C x y x y C x 3 一阶线性微分方程 一般形式 01 xhyxa dx dy xa 标准形式 xQyxP dx dy 解法 1 直接带公式 CdxxQeedxxQeeCey dxxPdxxPdxxPdxxPdxxP 2 积分因子法 1 CdxxQx x xy dxxP ex 3 IVP xQyxP dx dy 00 yxy x x dssPdssP x x dssPdssP dtetQeyydtetQey t x t x x x x x 0 00 0 00 00 例 3 1 1 1 nx xeny dx dy x 解 化简方程为 则 nx xey x n dx dy 1 1 1 1 nx xexQ x n xP 代入公式得到 n dx x n dxxP xeex 1 1 所以 1 1 1 1 为常数CCexCdxxexxxy xnnxnn 4 恰当方程 形如dyyxNdxyxMdGtsyxGdyyxNdxyxM 0 解法 先判断是否是恰当方程 如果有恒成立 那么原方程是个恰当方程 找出一个 x yxN y yxM yxN y yxG yXM x yxG tsyxG 有 为常数CCyxG 例 4 0 46 63 3222 dyyyxdxxyx 解 由题意得到 3222 46 63 yyxyxNxyxyxM 由得到 原方程是一个恰当方程 x N xy y M 12 下面求一个 yxN y yxG yXM x yxG tsyxG 由得 两边对 y 求 22 63 xyxyXM x yxG 3 223 yyxxyxG 偏导得到 得到 有 322 46 6yyxyyx y G 3 4 yy 4 yy 故 由 得到 4223 3 yyxxyxG 0 dG 3 4223 为常数CCyyxx 5 积分因子法 方程 是一个恰当方程0 0 NdyMdxtsyxdyyxNdxyxM 那么称是原方程的积分因子 积分因子不唯一 yx 当且仅当 原方程有只与 x 有关的积分因子 且为 x N x N y M dxx eyx 两边同乘以 化为恰当方程 下同 4 yx 当且仅当 原方程有只与 y 有关的积分因子 且为 y M x N y M dyy eyx 两边同乘以 化为恰当方程 下同 4 yx 例 5 1 02 3 2 xydydxyex 解 由得 且有xyyxNyeyxM x 2 3 2 yyy x N y M 426 有 原方程两边同乘 得到 x x N x N y M 2 2 2 xeyx dx x 2 x 化为 得到解为 02 3 322 ydyxdxyex x 0 22 232 yxexxd x 22 232 为常数CCyxexx x 例 5 2 0 3 dyyxydx 解 由题意得到 有 3 yxyxNyyxM 2 1 1 x N y M 有 有 原方程两边同乘 y y M x N y M 2 2 2 yeeyx dy y dyy 2 y 得到 得到原方程的解为 0 2 2 2 y y x ddyy y x y dx 2 2 为常数CC y y x 6 贝努力方程 形如 n yxQyxP dx dy 解法 令 有 代入得到 n yu 1 dyyndu n 1 1 1 xQnuxPn dx du 下同 3 例 6 2 6xy x y dx dy 解 令 有 代入得到 则 1 yudyydu 2 xu xdx du 6 xxQ x xP 6 有 把 u 代入 6 xex dxxP 8 6 2 66 为常数C x Cx Cxdxxxxu 得到 8 1 6 2 为常数C x Cx y 7 一阶隐式微分方程 一般形式 解不出的称为一阶隐式微分方程 0 y yxF y 下面介绍四种类型 1 yxfy 2 yyfx 0 3 y xF0 4 y yF 形如 dx dy xfy 一般解法 令 代入得到 两边对 x 求导得到 这 dx dy p pxfy dx dp p f x f p 是关于 x p 的一阶线性微分方程 仿照 3 1 得出解为 那么原方程的通解为为常数CCxp 为常数CCxxfy 2 得出解为 那么原方程的通解为为常数CCpx 为常数C pCpfy Cpx 3 得出解为 那么原方程的通解为为常数CCpx 0 为常数C pxfy Cpx 0 形如 dx dy yfx 一般解法 令 代入有 两边对 y 求导 得到 此 dx dy p pyfx dy dp p f y f p 1 方程是一阶微分方程 可以按照以上 1 5 求出通解 那么原为常数CCpy 0 方程的通解为 为常数C pyfx Cpy 0 形如0 y xF 一般解法 设 两边积分得到 为参数t ty tx dtttdxydy 于是有原方程的通解为 为常数CCdttty 为常数C tx Cdttty 形如0 y yF 一般解法 设 由关系式得 有 为参数t ty ty dxydy dxtdtt 两边积分得到 于是有 dt t t dx 为常数 CCdt t t x 为常数 C ty Cdt t t x 例 7 1 yyx 1 3 解 令 得到 两边对 y 求导 得到 yp 3 1 p p x dy dp p p pp 1 31 1 43 有 得到 于是通解为dp pp dy 32 32 为常数CC pp y 2 32 2 为常数 C C pp y p p x 2 3 2 32 1 例 7 2 y eyy 2 解 令 得到 两边对 x 求导 得到 有yp p epy 2 dx dp eppp p 2 2 两边积分得到 于是通解为dpepdx p 2 为常数CCepx p 1 为常数C epy Cepx p p 1 2 例 7 3 1 22 yx 解 设有 所以 sin cos ty tx dt t dtttdxydy 2 12cos sin sin 为常数CC tt y 24 2sin 于是通解为 为常数C tx C tt y cos 24 2sin 例 7 4 1 1 22 yy 解 设有 所以 cos 1 sin t y ty tan cossin 1 cos sin 22 td t dt dt tt t y dy dx 为常数CCtx tan 于是通解为 为常数C t y Ctx cos 1 tan 8 里卡蒂方程 一般形式 2 xRyxQyxP dx dy 一般解法 先找出一个特解 那么令 有 代入原方 0 xy z yy 1 0 dx dz zdx dy dx dy 2 0 1 程得到 1 1 1 0 2 0 2 0 xR z yxQ z yxP dx dz zdx dy 化简得到 为一阶线性微分方程 解出0 2 0 xPzxQyxP dx dz 为常数CCxxz 那么原方程的通解为 为常数C Cx yy 1