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第四章矩阵博弈 二 4 1矩阵博弈的数学描述4 2矩阵博弈的纯策略解4 3矩阵博弈的混合策略解4 4求解矩阵博弈的线性规划方法 混合策略解的引入 一般来说 博弈方I的得益值不会大于博弈方II的所损失值 即总有 其中 是博弈方I有把握的最小得益 博弈方II把握的最大损失 当时 矩阵博弈G存在纯策略解 且但实际中出现的更多情形是存在严格不等式 如下例 4 3矩阵博弈的混合策略解 例 设有矩阵博弈 其中 得益矩阵为 4 3矩阵博弈的混合策略解 4 3矩阵博弈的混合策略解 矩阵博弈混合策略的定义设有矩阵博弈 其中 记 则和分别称为博弈方I和II的混合策略集 和分别称为博弈方I和II的混合策略 对 称为一个混合策略组合 博弈方I的得益函数记成 这样得到的一个新的博弈记成 称为博弈G的混合扩展 4 3矩阵博弈的混合策略解 注意 纯策略实际上混合策略的特例 一个混合策略可设想为两个博弈方多次重复进行矩阵博弈时 分别采取纯策略的概率 若只进行一次矩阵博弈 混合策略可设想成博弈方对各纯策略的偏好程度 4 3矩阵博弈的混合策略解 矩阵博弈混合策略解的定义两博弈方仍然采取保守态度即最不利中的最有利情形 博弈方I保证自己的期望得益不小于博弈方II可保证自己的期望损失不大于 都是存在的 并且有 4 3矩阵博弈的混合策略解 矩阵博弈混合策略解定义设是矩阵博弈的混合扩展 如果记其值为 则称为博弈的值 称满足上式的混合策略组合为G在混合策略意义下的解 简称混合策略解或直接简称为解 和分别称为博弈方I和II的最优混合策略 简称最优策略 注意 完全信息静态博弈混合策略纳什均衡的区别 3 矩阵博弈的混合策略解的存在性 定理 矩阵博弈有混合策略解的充要条件是 存在 使得对一切 有 例 求矩阵博弈的解 其中 得益矩阵为 4 3矩阵博弈的混合策略解 定理 设 则混合策略组合为G的解的充要条件是 对任意和 有 3 矩阵博弈的混合策略解的存在性解 定理 设 则混合策略组合为G的解的充要条件是 存在数v 使得和分别是不等式组 I 和 II 的解 且 3 矩阵博弈的混合策
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