二次函数专题测试题及详细答案(超经典)

1 复习二次函数复习二次函数 一 选择题 1 抛物线的对称轴是 3 2 2 xy A 直线B 直线C 直线D 直线3 x3 x2 x2 x 2 二次函数的图象如右图 则点cbxaxy 2 在 a c bM A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 3 已知二次函数 且 则一定有 cbxaxy 2 0 a0 cba A B C D 004 2 acb04 2 acb04 2 acbacb4 2 4 把抛物线向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 所得图象的解析式cbxxy 2 是 则有 53 2 xxy A B 3 b7 c9 b15 c C D 3 b3 c9 b21 c 5 下面所示各图是在同一直角坐标系内 二次函数与一次函数cxcaaxy 2 的大致图象 有且只有一个是正确的 正确的是 caxy O x y A O x y B O x y C O x y D 6 抛物线的对称轴是直线 32 2 xxy A B C D 2 x2 x1 x1 x O x y 2 7 二次函数的最小值是 2 1 2 xy A B 2C D 12 1 8 二次函数的图象如图所示 若cbxaxy 2 cbaM 24 则 cbaN baP 4 A 0 M0 N0 P B 0 M0 N0 P C 0 M0 N0 P D 0 M0 N0 P 二 填空题 9 将二次函数配方成的形式 则32 2 xxykhxy 2 y 10 已知抛物线与 x 轴有两个交点 那么一元二次方程的cbxaxy 2 0 2 cbxax 根的情况是 11 已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为 则 cxaxy 2 1 ca 12 请你写出函数与具有的一个共同性质 2 1 xy1 2 xy 13 已知二次函数的图象开口向上 且与 y 轴的正半轴相交 请你写出一个满足条件的二 次函数的解析式 14 如图 抛物线的对称轴是 与 x 轴交于 A B 两点 若 B 点坐标是 则 A1 x 0 3 点的坐标是 O x y A B 1 1 16 题图 三 解答题 1 已知函数的图象经过点 3 2 1 2 bxxy 1 求这个函数的解析式 2 当时 求使 y 2 的 x 的取值范围 0 x 2 1 1 O x y 3 2 如右图 抛物线经过点 与 y 轴交于点 B nxxy 5 2 0 1 A 1 求抛物线的解析式 2 P 是 y 轴正半轴上一点 且 PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形 试求点 P 的坐标 3 如图 抛物线 y1 x2 2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2 回答下列问题 1 抛物线 y2的顶点坐标 2 阴影部分的面积 S 3 若再将抛物线 y2绕原点 O 旋转 180 得到抛物线 y3 求抛物线 y3的解析式 4 1999 烟台 如图 已知抛物线 y ax2 bx 交 x 轴正半轴于 A B 两点 交 y 轴于点 C 且 CBO 60 CAO 45 求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式 O x y 1 1 B A 4 5 如图 抛物线 y x2 bx c 经过直线 y x 3 与坐标轴的两个交点 A B 此抛物线与 x 轴的 另一个交点为 C 抛物线的顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 S APC S ACD 5 4 的点 P 的坐标 6 如图 抛物线 y a x 1 2的顶点为 A 与 y 轴的负半轴交于点 B 且 OB OA 1 求抛物线的解析式 2 若点 C 3 b 在该抛物线上 求 S ABC的值 7 如图 抛物线 y x2 2x c 的顶点 A 在直线 l y x 5 上 1 求抛物线顶点 A 的坐标及 c 的值 2 设抛物线与 y 轴交于点 B 与 x 轴交于点 C D C 点在 D 点的左侧 试判断 ABD 的形状 8 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品 年初上市后 公司经历了从亏损到赢利的 过程 下面的二次函数图象 部分 刻画了该公司年初以来累积利润 s 万元 与销 售时间 t 月 之间的关系 即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系 1 由已知图象上的三点坐标 求累积利润 s 万元 与销 5 售时间 t 月 之间的函数关系式 2 求截止到几月累积利润可达到 30 万元 3 求第 8 个月公司所获利润是多少万元 参考答案参考答案 一 选择题 题号123456789 答案DDAADDDBD 二 填空题 1 2 有两个不相等的实数根3 12 1 2 xy 4 1 图象都是抛物线 2 开口向上 3 都有最低点 或最小值 5 或或或3 5 8 5 1 2 xxy3 5 8 5 1 2 xxy1 7 8 7 1 2 xxy1 7 8 7 1 2 xxy 6 等 只须 12 2 xxy0 a0 c 7 0 32 8 1 43 x51 x 三 解答题 1 解 1 函数的图象经过点 3 2 解得 1 2 bxxy2139 b2 b 函数解析式为 12 2 xxy 2 当时 3 x2 y 根据图象知当 x 3 时 y 2 当时 使 y 2 的 x 的取值范围是 x 3 0 x 2 解 1 由题意得 抛物线的解析式为 051 n4 n45 2 xxy 6 2 点 A 的坐标为 1 0 点 B 的坐标为 4 0 OA 1 OB 4 在 Rt OAB 中 且点 P 在 y 轴正半轴上 17 22 OBOAAB 当 PB PA 时 17 PB417 OBPBOP 此时点 P 的坐标为 417 0 当 PA AB 时 OP OB 4 此时点 P 的坐标为 0 4 3 解 1 设 s 与 t 的函数关系式为 cbtats 2 由题意得或 解得 5 2525 224 5 1 cba cba cba 0 224 5 1 c cba cba 0 2 2 1 c b a tts2 2 1 2 2 把 s 30 代入 得 解得 舍去 tts2 2 1 2 2 2 1 30 2 tt 10 1 t6 2 t 答 截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元 3 把代入 得7 t 5 10727 2 1 2 s 把代入 得8 t 16828 2 1 2 s 答 第 8 个月获利润 5 5 万元 5 55 1016 4 解 1 由于顶点在 y 轴上 所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为 10 9 2 axy 因为点或在抛物线上 所以 得 0 2 5 A 0 2 5 B 10 9 2 5 0 2 a 125 18 a 因此所求函数解析式为 x 10 9 125 18 2 xy 2 5 2 5 2 因为点 D E 的纵坐标为 所以 得 20 9 10 9 125 18 20 9 2 4 5 x 7 所以点 D 的坐标为 点 E 的坐标为 20 9 2 4 5 20 9 2 4 5 所以 2 2 5 2 4 5 2 4 5 DE 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 米 385227501 011002 2 5 5 解 1 AB 3 由根与系数的关系有 21 xx 3 12 xx1 21 xx 1 1 x2 2 x OA 1 OB 2 2 21 a m xx 1tantan ABCBAC1 OB OC OA OC OC 2 2 m1 a 此二次函数的解析式为 2 2 xxy 2 在第一象限 抛物线上存在一点 P 使 S PAC 6 解法一 过点 P 作直线 MN AC 交 x 轴于点 M 交 y 轴于 N 连结 PA PC MC NA MN AC S MAC S NAC S PAC 6 由 1 有 OA 1 OC 2 AM 6 CN 12 61 2 1 2 2 1 CNAM M 5 0 N 0 10 直线 MN 的解析式为 102 xy 由 得 舍去 2 102 2 xxy xy 4 3 1 1 y x 18 4 2 2 y x 在 第一象限 抛物线上存在点 使 S PAC 6 4 3 P 解法二 设 AP 与 y 轴交于点 m 0 0 mD O A B M x P N y C 8 直线 AP 的解析式为 mmxy 2 2 mmxy xxy 02 1 2 mxmx 1 mxx PA 2 mxP 又 S PAC S ADC S PDC P xCDAOCD 2 1 2 1 2 1 P xAOCD 6 21 2 2 1 mm065 2 mm 舍去 或 6 m1 m 在 第一象限 抛物线上存在点 使 S PAC 6 4 3 P 提高题 1 解 1 抛物线与 x 轴只有一个交点 cbxxy 2 方程有两个相等的实数根 即 0 2 cbxx04 2 cb 又点 A 的坐标为 2 0 024 cb 由 得 4 b4 a 2 由 1 得抛物线的解析式为 44 2 xxy 当时 点 B 的坐标为 0 4 0 x4 y 在 Rt OAB 中 OA 2 OB 4 得 52 22 OBOAAB OAB 的周长为 5265241 2 解 1 76 34 10 7 10 7 10 10 2 2 xxxx x S 当时 3 1 2 6 x16 1 4 67 1 4 2 最大 S 当广告费是 3 万元时 公司获得的最大年利润是 16 万元 9 2 用于投资的资金是万元 13316 经分析 有两种投资方式符合要求 一种是取 A B E 各一股 投入资金为 万元 收益为 0 55 0 4 0 9 1 85 万元 1 6 万元 13625 另一种是取 B D E 各一股 投入资金为 2 4 6 12 万元 1 6 万元 3 解 1 设抛物线的解析式为 桥拱最高点到水面 CD 的距离为 h 米 则 2 axy 5 hD 3 10 hB 解得 3100 25 ha ha 1 25 1 h a 抛物线的解析式为 2 25 1 xy 2 水位由 CD 处涨到点 O 的时间为 1 0 25 4 小时 货车按原来速度行驶的路程为 40 1 40 4 200 280 货车按原来速度行驶不能安全通过此桥 设货车的速度提高到 x 千米 时 当时 2801404 x60 x 要使货车安全通过此桥 货车的速度应超过 60 千米 时 4 解 1 未出租的设备为套 所有未出租设备的支出为元 10 270 x 5402 x 2 54065 10 1 5402 10 270 40 2 xxxx x y 说明 此处不要写出 x 的取值范围 54065 10 1 2 xxy 3 当月租金为 300 元时 租赁公司的月收益为 11040 元 此时出租的设备为 37 套 当月租金为 350 元时 租赁公司的月收益为 11040 元 此时出租的设备为 32 套 因为出租 37 套和 32 套设备获得同样的收益 如果考虑减少设备的磨损 应选择出租 32 套 如果考虑市场占有率 应选择出租 37 套 4 5 11102 325 10 1 54065 10 1 22 xxxy 当时 y 有最大值 11102 5 但是 当月租金为 325 元时 租出设备套数为 34 5 325 x 而 34 5 不是整数 故租出设备应为 34 套或 35 套 即当月租金为为 330 元 租出 34 套 或 月租金为 320 元 租出 35 套 时 租赁公司的月收益最大 最大月收益均为11100 元 16 如图 抛物线 y1 x2 2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2 回答下列问题 1 抛物线 y2的顶点坐标 1 2 10 2 阴影部分的面积 S 2 3 若再将抛物线 y2绕原点 O 旋转 180 得到抛物线 y3 求抛物线 y3的解析式 考点 二次函数图象与几何变换 菁优网版权所有 分析 直接应用二次函数的知识解决问题 解答 解 1 读图找到最高点的坐标即可 故抛物线 y2的顶点坐标为 1 2 2 分 2 把阴影部分进行平移 可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积 1 2 2 6 分 3 由题意可得 抛物线 y3的顶点与抛物线 y2的顶点关于原点 O 成中心对称 所以抛物线 y3的顶点坐标为 1 2 于是可设抛物线 y3的解析式为 y a x 1 2 2 由对称性得 a 1 所以 y3 x 1 2 2 10 分 20 1999 烟台 如图 已知抛物线 y ax2 bx 交 x 轴正半轴于 A B 两点 交 y 轴于点 C 且 CBO 60 CAO 45 求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式 考点 待定系数法求二次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式 菁优网版权所有 11 分析 根据抛物线的解析式 易求得 C 点的坐标 即可得到 OC 的长 可分别在 Rt OBC 和 Rt OAC 中 通过解直角三角形求出 OB OA 的长 即可得到 A B 的坐标 进而可 运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式 解答 解 由题意得 C 0 在 Rt COB 中 CBO 60 OB OC cot60 1 B 点的坐标是 1 0 1 分 在 Rt COA 中 CAO 45 OA OC A 点坐标 0 由抛物线过 A B 两点 得解得 抛物线解析式为 y x2 x 4 分 设直线 BC 的解析式为 y mx n 得 n m 直线 BC 解析式为 y x 6 分 23 如图 抛物线 y x2 bx c 经过直线 y x 3 与坐标轴的两个交点 A B 此抛物线与 x 轴的 另一个交点为 C 抛物线的顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 S APC S ACD 5 4 的点 P 的坐标 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 动点型 12 分析 1 先根据直线 y x 3 求出 A B 两点的坐标 然后将它们代入抛物线中即可求出待 定系数的值 2 根据 1 中抛物线的解析式可求出 C D 两点的坐标 由于 APC 和 ACD 同 底 因此面积比等于高的比 即 P 点纵坐标的绝对值 D 点纵坐标的绝对值 5 4 据 此可求出 P 点的纵坐标 然后将其代入抛物线的解析式中 即可求出 P 点的坐标 解答 解 1 直线 y x 3 与坐标轴的交点 A 3 0 B 0 3 则 解得 此抛物线的解析式 y x2 2x 3 2 抛物线的顶点 D 1 4 与 x 轴的另一个交点 C 1 0 设 P a a2 2a 3 则 4 a2 2a 3 4 4 5 4 化简得 a2 2a 3 5 当 a2 2a 3 5 得 a 4 或 a 2 P 4 5 或 P 2 5 当 a2 2a 3 0 时 即 a2 2a 2 0 此方程无解 综上所述 满足条件的点的坐标为 4 5 或 2 5 27 如图 抛物线 y a x 1 2的顶点为 A 与 y 轴的负半轴交于点 B 且 OB OA 1 求抛物线的解析式 2 若点 C 3 b 在该抛物线上 求 S ABC的值 13 考点 待定系数法求二次函数解析式 二次函数图象上点的坐标特征 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 1 由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标 根据 OA OB 确定出 B 坐标 将 B 坐标代 入解析式求出 a 的值 即可确定出解析式 2 将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值 确定出 C 坐标 过 C 作 CD 垂直于 x 轴 三角形 ABC 面积 梯形 OBCD 面积 三角形 ACD 面积 三角形 AOB 面积 求出即 可 解答 解 1 由投影仪得 A 1 0 B 0 1 将 x 0 y 1 代入抛物线解析式得 a 1 则抛物线解析式为 y x 1 2 x2 2x 1 2 过 C 作 CD x 轴 将 C 3 b 代入抛物线解析式得 b 4 即 C 3