2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD-全解析)：必修1-§4

知识点一 函数的零点 1 函数零点的概念 1 定义 对于函数 y f x 使 f x 0 的实数 x 叫做函数 y f x 的零点 2 几何意义 函数 y f x 的图象与 x 轴的交点的横坐标 就是函数 y f x 的零点 2 函数的零点与方程的根的关系 方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0 且 a 1 对数函数模型f x blogax c a b c 为常数 b 0 a 0 且 a 1 幂函数模型f x axn b a b n 为常数 a 0 2 三种函数模型的性质 函数 性质 y ax a 1 y logax a 1 y xn n 0 在 0 上的增减性 单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不 同 值的比较存在一个 x0 当 x x0时 有 logax xn0 且 x 1 的图象有两个交点 故函数 f x ln x 的零点 1 x 1 1 x 1 有 2 个 2 令 g x f x f a 即 g x x2 a2 2 x 2 a 整理得 g x x a ax2 a2x 2 1 ax 显然 g a 0 令 h x ax2 a2x 2 h 0 2 0 h a 2 a3 1 0 h x 在区间 0 和 0 a 上各有一个零点 g x 有 3 个零点 即方程 f x f a 有 3 个实数解 感悟与点拨 函数零点个数的确定 常从函数单调性分析 结合零点存在性定理或数形结合 来判断 跟踪训练 1 若函数 f x ax b 有一个零点是 2 那么函数 g x bx2 ax 的零点是 A 0 2 B 0 1 2 C 0 D 2 1 2 1 2 答案 C 解析 因为 2a b 0 所以 g x 2ax2 ax ax 2x 1 所以零点为 0 1 2 题型二 根据函数零点存在情况求参数 例 2 已知 f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数 当 x 0 3 时 f x 若函数 x2 2x 1 2 y f x a 在区间 3 4 上有 10 个零点 互不相同 则实数 a 的取值范围是 答案 0 1 2 解析 作出函数 y f x 的图象 如图所示 则 y a 的图象只能夹在 y 0 与 y 的图象之间 1 2 故 a 的取值范围是 0 1 2 感悟与点拨 根据函数的零点存在情况求参数 常用如下方法处理 1 y g x m 有零点即 y g x 与 y m 的图象有交点 所以可以结合图象求解 2 g x f x 0 有两个相异实数根 y f x 与 y g x 的图象有两个不同交点 所以可利用 它们的图象求解 跟踪训练 2 设函数 f x Error 若函数 g x f x m 在 0 2 内恰有 4 个不同的零点 则实 数 m 的取值范围是 A 0 1 B 1 2 C 0 1 D 1 2 答案 A 解析 画出函数 f x 在 0 2 的图象 如图所示 若函数 g x f x m 在 0 2 内恰有 4 个不同的零点 即 y f x 和 y m 在 0 2 内恰有 4 个不同的交点 结合图象知 0 m 1 题型三 函数与方程思想的应用 例 3 已知函数 f x x2 2ex m 1 g x x x 0 e2 x 1 若 y g x m 有零点 求 m 的取值范围 2 确定 m 的取值范围 使得 g x f x 0 有两个相异实数根 解 1 方法一 g x x 2 2e e2 xe2 等号成立的条件是 x e 故 g x 的值域是 2e 因而只需 m 2e 则 y g x m 就有零点 方法二 作出 g x x x 0 的大致图象 如图所示 e2 x 可知若使 y g x m 有零点 则只需 m 2e 2 若 g x f x 0 有两个相异实数根 即 g x 与 f x 的图象有两个不同的交点 作出 g x x x 0 的大致图象 如图所示 e2 x f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其图象的对称轴为直线 x e 开口向下 最大值为 m 1 e2 故当 m 1 e2 2e 即 m e2 2e 1 时 g x 与 f x 有两个不同的交点 即 g x f x 0 有两个相异的实数根 m 的取值范围是 e2 2e 1 感悟与点拨 求函数零点的值 判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数 范围等问题 都可利用方程来求解 但当方程不易甚至不可能解出时 可构造两个函数 利 用数形结合的方法进行求解 跟踪训练 3 已知 a b R 定义运算 a b Error 函数 f x x2 2 x 1 x R 若方程 f x a 0 只有两个不同实数根 则实数 a 的取值范围是 A 2 1 1 2 B 2 1 1 2 C 2 1 1 2 D 2 1 1 2 答案 B 解析 由 x2 2 x 1 1 解得 x 1 2 故 f x Error 画出函数图象如图所示 由图可知当 f x a 有两个不同实数根时 a 的取值范围为 2 1 1 2 题型四 函数应用问题 例 4 某电信公司推出两种手机收费方式 A 种方式是月租 20 元 B 种方式是月租 0 元 一 个月的本地网内通话时间 t 分钟 与电话费 s 元 的函数关系如图所示 当通话 150 分钟时 这两种方式电话费相差 A 10 元 B 20 元 C 30 元 D 元 40 3 答案 A 解析 依题意可设 sA t 20 kt sB t mt 又 sA 100 sB 100 所以 100k 20 100m 即 k m 0 2 于是 sA 150 sB 150 20 150k 150m 20 150 0 2 10 即两种方式电话费相差 10 元 故选 A 感悟与点拨 函数应用问题 文字量往往比较大 所以解决此类问题 一般要审读 提炼 建模 就本题而言 1 认真阅读题干内容 理清数量关系 2 分析题目提供的信息 从题 目内容可看出函数是分段的 3 建立函数模型 确定解决模型的方法 跟踪训练 4 某种型号的电脑自投放市场以来 经过三次降价 单价由原来的 5 000 元降到 2 560 元 则平均每次降价的百分率是 A 10 B 15 C 16 D 20 答案 D 解析 设平均每次降价的百分率为 x 则由题意得 5 000 1 x 3 2 560 解得 x 0 2 即平均每次降价的百分率为 20 故选 D 一 选择题 1 函数 f x x2 x 6 则 f x 的零点个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 C 解析 当 x 0 时 令 x2 x 6 0 解得 x 2 或 3 x 3 当 x0 f 1 0 2 3 f 0 f 1 0 方程 x x 的解所在区间为 0 1 1 3 1 2 3 下列函数中 在 1 1 内有零点且单调递增的是 A y log2x B y 2x 1 C y x2 1 D y x3 答案 B 解析 当 x 0 时 y log2x 无意义 故 A 错误 y x2 1 在 1 0 上单调递减 故 C 错误 y x3在 1 1 上单调递减 故 D 错误 y 2x 1 在 1 1 上单调递增 f 1 0 f 1 0 y 2x 1 在 1 1 内存在零点 4 若函数 f x x2 2mx m2 1 在区间 0 1 上恰有一个零点 则 m 的取值范围为 A 1 0 1 2 B 2 1 0 1 C 1 1 D 2 2 答案 A 解析 令 f x x2 2mx m2 1 0 可得 x1 m 1 x2 m 1 函数 f x x2 2mx m2 1 在区间 0 1 上恰有一个零点 0 m 1 1 或 0 m 1 1 1 m 0 或 1 m 2 故选 A 5 已知函数 f x x cos x 则 f x 在 0 2 上的零点个数为 1 2 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 令 f x 0 得 x cos x 1 2 分别作出函数 y x和 y cos x 的图象 1 2 由图象可知 y x和 y cos x 在 0 2 上有 3 个交点 1 2 f x 在 0 2 上有 3 个零点 故选 C 6 函数 f x 2x x3 2 在区间 0 1 内的零点个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 因为函数 f x 2x x3 2 在区间 0 1 上是单调递增函数 且 f 0 10 所以根据零点存在性定理可知 在区间 0 1 上函数的零点个数为 1 故选 B 7 2017 年 4 月学考 若实数 a b c 满足 1 b a 2 0 c0 f 1 a b c 0 1 b a 2 0 c 1 8 0 4ac0 又对称轴为 x 1 0 b 2a 关于 x 的方程 ax2 bx c 0 在区间 1 0 内有两个不相等的实数根 故选 D 8 函数 f x Error 的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 B 解析 当 x 0 时 只有一个零点 3 当 x 0 时 也只有一个零点 e2 9 2017 年 11 月学考 已知 1 是函数 f x ax2 bx c a b c 的一个零点 若存在实数 x0 使得 f x0 b c a 0 c 0 1 是方程 ax2 bx c 0 的较大的根 f x0 0 x0b b a b 2a 1 2 设另一个零点为 x2 则 x2 1 2 1 2 x2 2 对于 A x0 1 x0 30 b c 时 1 0 b a 对称轴 b 2a 0 1 2 x2 1 2 0 1 2 x2 1 0 又 x0 1 B 中 x0 1 2 1 2 f x 的另一个零点可能是 x0 故选 B 1 2 10 2018 年 4 月学考 设 a 为实数 若函数 f x 2x2 x a 有零点 则函数 y f f x 的零 点个数是 A 1 或 3 B 2 或 3 C 2 或 4 D 3 或 4 答案 C 二 填空题 11 已知函数 f x Error 若函数 g x f x x 有三个不同的零点 则实数 m 的取值范围是 答案 1 2 解析 由题意可得函数 f x Error 若它的图象和直线 y x 有 3 个不同的交点 即直线 y x 和直线 y 2 有交点 且 y x2 4x 2 的图象和直线 y x 有两个交点 即必须使函数 y 2 x 有零点 并且函数 y x2 3x 2 x 1 x 2 有两个零点 从而得到 m2 时 f x f x 2 则方程 f x 的所有实数根之和是 1 2 1 5 答案 18 解析 作函数 y f x 的草图如下 知 f 1 1 f 3 f 5 f 7 所以 f x 有 6 个根 它们的和是 1 2 1 4 1 8 1 5 2 1 2 3 2 5 18 13 已知函数 f x Error 则函数 y 2f2 x 3f x 1 的零点个数是 答案 5 解析 由 2f2 x 3f x 1 0 得 f x 或 f x 1 1 2 作出 y f x 的大致图象 由图象知零点的个数为 5 14 已知 f x 为 R 上的增函数 且对任意 x R 都有 f f x 3x 4 则 f 2 答案 10 解析 根据题意得 f x 3x为常数 设 f x 3x m 则 f m 4 f x 3x m 3m m 4 易知该方程有唯一解 m 1 f x 3x 1 f 2 10 15 在经济学中 函数 f x 的边际函数 Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 某公司每月最多生 产 100 台报警系统装置 生产 x x N 台的收入函数为 R x 3 000 x 20 x2 单位 元 其成 本函数为 C x 500 x 4 000 单位 元 利润是收入与成本之差 1 边际利润函数 MP x 2 利润函数 P x 与边际利润函数 MP x 的最大值分别为 答案 1 2 480 40 x 2 74 120 2 440 解析 由题意知 x 1 100 且 x N 1 P x R x C x 3 000 x 20 x2 500 x 4 000 20 x2 2 500 x 4 000 MP x P x 1 P x 20 x 1 2 2 500 x 1 4 000 20 x2 2 500 x 4 000 2 480 40 x 2 P x 20 x2 2 500 x 4 000 20 2 74 125 x 125 2 当 x 62 或 x 63 时 P x 的最大值为 74 120 元 MP x 2 480 40 x 是减函数 当 x 1 时 MP x 的最大值为 2