江苏省盐城市2016届高三第三次模拟考试数学试题含答案

高三数学试题第 1 页（共 4 页） 盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题 (总分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 参考公 式 1锥体的体积公式： 13V 其中 S 为底面积 ,h 为高 . 2样本数据12, , , nx x x的方差2211 ()x ，标准差为 2s ，其中11 . 一、填 空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1已知集合 1, 2 , 3, 4 , 5A ， 1, 3, 5, 7 , 9B ， C A B I ，则集合 C 的子集的个数 为 . 2若复数 z 满足 ( 2 ) 4 3i z i （ i 为虚数单位），则 |z . 3甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的 2 个红球和 1 个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 . 4已知一组数据1 2 3 4 5, , , ,x x x x ，则数据1 2 3 4 52 , 2 , 2 , 2 , 2x x x x . 5 如图所示，该伪代码运行的结果为 . 6以双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的右焦点 F 为圆心， a 为半径的圆恰 好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 . 7设 , 的棱 ,C 的中点，三棱锥 P 的体积记为1V，三棱锥 P 的体积记为2V，则21 . 8已知实数 , 52 ，则 2123的最大值为 . 9若 ( ) 3 s i n ( ) c o s ( ) ( )22f x x x 是定义在 R 上的偶函数，则 . 10 已知向量 ,4, 3)a r ， | | 1br ， | | 21则向量 , . S0 i1 20 SS+i ii+2 i 第 5 题图 高三数学试题第 2 页（共 4 页） 11 已知线段 长为 2 ，动点 C 满足 B 为常数），且点 C 总不在以点 B 为圆心， 12为半径的圆内，则负数 的最大值是 . 12 若函数 3 1( ) 12xf x e x x 的图象上有且只有两点12,使得 函数 3( ) + mg x 图象上存 在两点12,1实数 m 的取值集合 是 . 13 若数列 任意的 ，只有有限个正整数 m 使得立，记这样的 m 的个数为得到一个新数列 例如，若数列 , 2, 3, , ,n ，则数列 1, 2 , , 1,n . 现已知数列 等比数列，且 252, 1 6，则数列 满足 2016的正整数 i 的个数为 . 14在 中，角 ,对的边分别为 , 为锐角三角形，且满足 22b a ，则 11取值范围是 . 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，计 90 分 明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 ） 15 (本小题满分 14 分 ) 在 中， 角 ,A B C 所 对的边分别为 ,a b c ，已知 60B o , 4 （ 1） 当 , 的面积； （ 2）设 D 为 的中点，求线段 的最小值 16 (本小题满分 14 分 ) 如图，四棱锥 P 中，底面 矩形， 2D ， 底面 ,C 的中点 . （ 1） 求证： /面 （ 2） 求证： 平面 平面 17 (本小题满分 14 分 ) 一位创业青年租用了一块边长为 1 百米的正方形田地 养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的P A B C D E 第 16 题图 F 高三数学试题第 3 页（共 4 页） 边 ,D 上分别取点 ,与正方形的顶点重合），连接 ,F 使得 45 . 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区， 部分规划为蜂巢区， 部分规划为蜂蜜交易区 . 若 蜂源植物生长区的投入约为 52 10 元 /百米 2， 蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为 510 元 /百米 2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ 18 (本小题满分 16 分 ) 在平面直角坐标系 ，已知椭圆 22:143的左顶点为 A ，右焦点为 F ， ,上两点，圆 2 2 2: ( 0 )O x y r r . （ 1）若 PF x 轴，且满足直线 圆 O 相切，求圆 O 的方程； （ 2）若圆 O 的半径为 3 ，点 ,4O P O ，求直线 圆 O 截得弦长的最大值 . 19 (本小题满分 16 分 ) 已知函数 ( ) x m x （ ） . （ 1）若函数 ()y f x x的最小 值为 0 ，求 m 的值； （ 2）设函数 22( ) ( ) ( 2 )g x f x m x m x ，试求 () A B C D E F 第 17 题图 高三数学试题第 4 页（共 4 页） （ 3）试给出一个实数 m 的值，使得函数 ()y f x 与 1( ) ( 0 )2xh x 的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且 只有一条公切线的理由 . 20 (本小题满分 16 分 ) 已知数列 *12 , 2 1 ( , ),2nn na n ka k N r Ra r n k ，其前 n 项和为（ 1）当 m 与 r 满足什么关系时，对任意的 *，数列 ？ （ 2）对任意实数 ,否存在实数 p 与 q ，使得 2 +1 2同一个等比数列？若存在 ，请求出 ,不存在，请说明理由； （ 3）当 1时，若对任意的 *，都有，求实数 的最大值 . 盐城市 2016 届 高三年级 第三次模拟 考试 数学附加题部分 （本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟） 21 选做题 （在 A、 B、 C、 2 题 ,每小题 10 分 ,计 20 分 答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修 4 1：几何证明选讲） 如图， 圆 O 的直径，弦 ,D 的延长线相交于点 E ， 直 延长线于点 F ，连结 求证： D E A D F A . A B O F C D E 第 21 题（ A）图 高三数学试题第 5 页（共 4 页） B.（选修 4 2：矩阵与变换） 已知矩阵 21 ，201，若 12，求 2M . C（选修 4 4：坐标系与参数方程） 已知直线 l 的参数方程为 1 2，曲线 C 的极坐标方程为 4 ，试判断直线 l 与曲线 D (选修 4 5：不等式选讲） 已知正数 ,足 2 3 1x y z ，求 1 2 3x y z的最小值 . 必做题 （第 22、 23 题 ,每小题 10 分 ,计 20 分 答案写在答题纸的指定区域内） 22（ 本小题满分 10 分 ） 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 假设每局比赛中，甲胜乙的概率为 12，甲胜丙 、乙胜丙 的概率都为 23，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判 . （ 1）求第 3 局甲当裁判的概率； （ 2） 记 前 4 局中乙当裁判 的次数为 X ，求 X 的概率分布与数学期望 . 高三数学试题第 6 页（共 4 页） 23 （本小题满分 10 分） 记 2 2 2 2 *2 3 4( ) ( 3 2 ) ) ( 2 , )nf n n C C C C n n N L（. （ 1）求 ( 2 ), (3 ), ( 4 )f f f 的值； （ 2） 当 *2,n n N时， 试 猜想所有 () 约数，并证明 . 盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 一、填空题 ： 本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 . 1 8 2. 5 3. 894. 22 5. 11 6. 2 7. 148. 759. 310. 3（或 60 ） 11. 3412. 22 13. 20152 14. 23(1, )3二、解答题： 本大题共 6 小题，计 90 分 明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 . 15解：（ 1）因为 ,以 22， 2分 由余弦定理，得 2 2 2 22 c o s ( ) 3 1 6 3 4b a c a c B a c a c a c ，解得 4， 6分 从而 13s i n 2 322a c B . 8 分 （ 2）方法一：因为 D 为 的中点，所以 1 ()2B D B A B C 10分 则 2 2 2211( ) ( 2 )44B D B A B C B A B A B C B C u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 2 211( 2 c o s ) ( ( ) )44c a c B a a c a c 14 4 12 分 高三数学试题第 7 页（共 4 页） 214 ( ) 342 ，当且仅当 时取等号， 所以 线段 的最小值为 3 . 14分 方法二： 因为 D 为 的中点，所以可设 D d， 由 c o s c o s 0A D B C D B ，得 2 2 2 2 2 2 022B d c B D d D d B D ， 即 222 2 282 d a c d ， 10分 又因为 2 2 2 22 c o s ( ) 3 1 6 3b a c a c B a c a c a c ， 即 24 1 6 3d a c ，所以 2 344d ， 12分 故 22114 4 ( ) 34 4 2 a c ，当且仅当 时取等号， 所以 线段 的最小值为 3 . 14分 16证明：（ 1）取 中点 G ，连接 ,G . . 因为 ,D 的中点， 所以 /C ，且 12C， 又 E 是 中点，所以 /C ，且 12C， 所以 /E ，且 E ， 所以 平行四边形，故 /G . . 又 平面 平面 /面 . （说明：也可以取 点，用面面平行来证线面平行） （ 2）因为 底面 底面 所以 D . . 取 点 H ，连接 因为 矩形，且 2D ， 所以 ,A D H E B C H 所以 45D E H C E H ，即 E . . 又 ,E 是平面 的两条相交直线， 所以 平面 . 而 平面 所以平面 平面 .17解： 解法一：设阴影部 分面积为 S ， 三个区域的总投入为 T . P A B C D E 第 16题图 1 F G P A B C D E 第 16题图 2 F H 高三数学试题第 8 页（共 4 页） 则 5 5 52 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )T S S S ，从而只要求 S 的最小值 . .设 ( 0 4 5 ) ，在 中，因为 1, 9 0A B B ，所以 ， 则 11 t a B B E ； .又 45D A F ，所以 1 t a n ( 4 5 )2A D ， .所以 1 1 1 t a n( t a n t a n ( 4 5 ) ) ( t a n )2 2 1 t a ， .令 ta n ( 0 ,1)x ，则 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( 1 )2 1 2 1 2 1x x xx x x .1 2 1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 12 1 2x x ， 当且仅当 211x x，即 21x 时取等号 . .从而 三个区域的总投入 T 的最小值约为 52 10 元 . . （说明：这里 S 的最小值也可以用导数来求解： 因为2( ( 2 1 ) ) ( ( 2 1 ) )2 ( 1 ) ，则由 0S ，得 21x . 当 (0 , 2 1)x 时， 0S ， S 递减；当 ( 2 1,1)x 时， 0S ， S 递增 . 所以当 21x 时， S 取得最小值为 ( 2 1) .） 解法二：设阴影部分面积为 S ， 三个区域的总投入为 T . 则 5 5 52 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )T S S S ， 从而只要求 S 的最小值 . . 如图，以点 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系 . 设直线 方程为 ( 0 1)y k x k ， 即 ，因为 45 ， 所以直线 斜率为 1t a n ( 4 5 )1 k ， 从而直线 程为 11 . . 在方程 y 中，令 1x ，得 (1, )以 1122 B B E k ； A B C D E F x y 高三数学试题第 9 页（共 4 页） 在方程 11 中，令 1y ，得 1( ,1)1 kF k，所以 1 1 12 2 1A D F D D F k ； 从而 11( ) , ( 0 , 1 )21 kS k . .以下同方法一 . . 解法三： 设阴影部分 面积为 S ， 三个区域的总投入为 T . 则 5 5 52 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 )T S S S ，从而只要求 S 的最小值 . .设 , ( 0 , 4 5 )D A F B A E ，则 1 ( t a n t a n )2S . .因为 9 0 4 5 ，所以 t a n t a nt a n ( ) 11 t a n t a n ， .所以 2t a n t a nt a n t a n 1 t a n t a n 1 ( )2 ， .即 221 ，解得 21S ，即 S 取得最小值为 ( 2 1) ， 从而 三个区域的总投入 T 的最小值约为 52 10 元 . . 18解：（ 1）因为椭圆 C 的方程为 22143，所以 ( 2,0)A ， (1,0)F . .因为 PF x 轴，所以 3(1, )2P ，而直线 圆 O 相切， 根据对称性，可取 3(1, )2P， . 则直线 方程为 1 ( 2)2， 即 2 2 0 . . 由圆 O 与直线 切，得 25r， 所以圆 O 的方程为 2245. . （ 2）易知，圆 O 的方程为 223. 当 PQ x 轴时， 2 34O P O Q O Pk k k ， 所以 32， x y A O F P x y O P Q 高三数学试题第 10 页（共 4 页） 此时得直线 圆 O 截得的弦长 为 677. . 当 x 轴不垂直时，设直线 方程为 y kx b，1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) ( 0 )P x y Q x y x x ， 首先由 34O P O ，得1 2 1 23 4 0x x y y， 即1 2 1 23 4 ( ) ( ) 0x x k x b k x b ，所以 221 2 1 2( 3 4 ) 4 ( ) 4 0k x x k b x x b （ *） . . 联立 22143y kx ，消去 x ，得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k b x b ， 将 21 2 1 2228 4 1 2,3 4 3 4k b bx x x 代入（ *）式，得 222 4 3. 14分 由于圆心 O 到直线 距离为2|1， 所以直线 圆 O 截得的弦长为 2222 3 41ld k ，故当 0k 时， l 有最大值为 6 . 综上，因为 6767，所以直线 圆 O 截得的弦长的最大值为 6 . 16分 19解：（ 1） 由题意，得函数 m x x， 所以 1m x ， 当 0m 时，函数 y 在 (0, ) 上单调递增，此时无最小值，舍去； 2分 当 0m 时，由 0y ，得 . 当 (0, )， 0y ，原函数单调递减； ( , ) ， 0y ，原函数单调递增 . 所以 时，函数 y 取最小值，即 ) 0m m m ，解得 . 4分 （ 2）由题意，得 22( ) l n ( 2 )g x m x m x m x ， 则 222 ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )() m x m x m x m m ， 6分 当 0m 时， ( ) 0 ，函数 ()0, ) 上单调递增； 当 0m 时，由 ( ) 0 ，得2或 1， （ A）若 2m ，则 12m m ，此时 ( ) 0 ，函数 ()0, ) 上单调递减； 高三数学试题第 11 页（共 4 页） （ B）若 20m ，则 12m m ， 由 ( ) 0 ，解得 1(,2mx m ），由 ( ) 0 ，解得 10+2mx m U（ ， ） （ ， ）， 所以函数 ()(,2m m）上单调递增，在 02m（ ， ）与 1 +m（ ， ）上单调递减； （ C）若 2m ，则 12m m ， 同理可得，函数 ()(,2）上单调递增，在 10m（ ， ）与 +2m（ ， ）上单调递减 . 综上所述， () 当 0m 时，函数 ()0, ) 上单调递增； 当 2m 时，函数 ()0, ) 上单调递减； 当 20m 时，函数 ()(,2m m），减区间为 02m（ ， ）与 1 +m（ ， ）； 当 2m 时，函数 ()增区间为 1(,2），减区间为 10m（ ， ）与 +2m（ ， ）. 10分 （ 3） 12m符合题意 . 12分 理由如下：此时 1( ) x x. 设函数 (), 2A x x，2221( , )2x ， 则 () 为切点的切线方程为111 1 1 2y x ， () 为切点的切线方程为 22222122， 由两条切线重合，得2122121122211 2 （ *）， 14分 消去1x，整理得2 21x x ，即2 21 0x x ， 令 1( ) ，得221 1 1() xx x x x ， 所以函数 ()x 在 (0,1) 单调递减，在 (1+ )， 单调递增， 又 (1) 0 ，所以函数 ()x 有唯一零点 1x ， 高三数学试题第 12 页（共 4 页） 从而方程组（ *）有唯一解 1211，即此时 函数 () 故 12m符合题意 . 16 分 20. 解： （ 1）由题意，得12122a a m，32 2a a r m r ， 首先由31得 0 . 2分 当 0 时，因为 *12 , 2 1 (),2nn na n ka k Na m n k， 所以13a a m ，24 2a a m ，故对 任意的 *，数列 . 即当实数 , 时，题意成立 . 4分 （ 2）依题意，2 1 2 2 1=2n n na a r a r ，则2 1 2 1= 2 ( )r a r， 因为1 =a r m r，所以当 0 时， 21是 等 比 数 列 ， 且2 1 1= ( ) 2 ( ) 2r a r m r . 为使 21是等比数列，则 . 同理，当 0 时，2 2 = ( ) 2 r m r，则欲 2 2等比数列，则 2. 8分 综上所述： 若 0 ，则不存在实数 ,得 21与 2等比数列； 若 0 ，则当 ,2q p r时， 21与 2同一个等比数列 . 10分 （ 3）当 1时，由（ 2）可得21 21 ， 12 =2 2 ， 当 2时， 12 = 2 2， 1 2 2 3 1 12 ( 2 2 + 2 ) ( 2 2 + 2 ) 3 = 3 2 2 )k k k k （， 所以 3 1(1 )22k k ， 令122k ，则 11 2 1 2 11 (1 ) 2 2 02 2 2 2 ( 2 2 ) ( 2 2 )k k k kk k ， 所以 32， 32， 13分 当 21时，21= 2 1， 1 1 222 3 2 2 ) ( 2 2 ) 2 3 4k k kn k a k k （， 所以 3421n ，同理可得 1 ， 1 ， 综上所述，实数 的最大值为 1. 16高三数学试题第 13 页（共 4 页） 分 附加题答案 21. A、 证明：连结 Q 圆 O 的直径， 90A D B o， 90A D E o, 4分 又 BQ ， 90 o ，所以 , , ,A F E D 四点共圆， D E A D F A . 10分 B、 解：设矩阵 M 的特征向量1对应的特征值为1，特征向量2对应的特征值为2， 则 由 1 1 12 2 2 可解得：120 , 2 , 1 ， 4分 又121 1 0222 0 1 ， 6分 所以 2 2 2 21 2 1 1 2 21 0 4( 2 ) 2 4 20 1 2 . 10分 C、解： 直线 l 的普通方程为 2 2 0 ； 曲线 C 的直角坐标方程为： 22( 2 ) 4 ，它表示圆 . 4分 由圆心到直线 l 的距离 44 5255d ，得直线 l 与曲线 C 相交 . 10分 D、解： 1 2 3 1 4 9( ) ( 2 3 )23 x y