2-1-2数学必修二直线和直线的位置关系

数学必修二直线和直线的位置关系 一 选择题 1 异面直线是指 A 空间中两条不相交的直线 B 分别位于两个不同平面内的两条直线 C 平面内的一条直线与平面外的一条直线 D 不同在任何一个平面内的两条直线 答案 D 解析 对于 A 空间两条不相交的直线有两种可能 一是平行 共面 另一个是异面 A 应排除 对于 B 分别位于两个平面内的直线 既可能平行也可能相交也 可异面 如下图 就是相交的情况 B 应排除 对于 C 如上图的 a b 可看做是平面 内的一条直线 a 与平面 外的一条直线 b 显然它们是相交直线 C 应排除 只有 D 符合定义 应选 D 规律总结 解答这类立体几何的命题的真假判定问题 一方 面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理 定理 另一方面要善于 寻找特例 构造相关特例模型 能快速 有效地排除相关的选择项 2 若直线 a b c 满足 a b a c 异面 则 b 与 c A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线 答案 C 解析 若 b c 由 a b 知 a c 这与 a c 异面相矛盾 故 b 与 c 不可能平行 选 C 3 直线 a 与直线 b 相交 直线 c 也与直线 b 相交 则直线 a 与 直线 c 的位置关系是 A 相交 B 平行 C 异面 D 以上都有可能 答案 D 解析 如图所示 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 与 AA1相交 A1B1与 AA1相交 所以 AB A1B1 又 AD 与 AA1相交 所以 AB 与 AD 相交 又 A1D1与 AA1相交 所以 AB 与 A1D1异面 故选 D 4 正方体 ABCD A1B1C1D1中 与对角线 AC1异面的棱有 A 3 条 B 4 条 C 6 条 D 8 条 答案 C 解析 画一个正方体 不难得出有 6 条 5 下列命题中 正确的结论有 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个 角相等 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这 两组直线所成的锐角 或直角 相等 如果一个角的两边和另一个 角的两边分别垂直 那么这两个角相等或互补 如果两条直线同 时平行于第三条直线 那么这两条直线互相平行 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 解析 是正确的 6 空间四边形 ABCD 中 E F 分别为 AC BD 中点 若 CD 2AB EF AB 则 EF 与 CD 所成的角为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 A 解析 取 AD 的中点 H 连 FH EH 在 EFH 中 EFH 90 HE 2HF 从而 FEH 30 故选 A 7 正方体 A1B1C1D1 ABCD 中 BD 与 B1C 所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 A1D B1C A1D 与 BD 所成的锐角 或直角 即为所求角 连接 A1B A1DB 为正三角形 A1DB 60 8 空间四边形 ABCD 中 AB BC CD 的中点分别为 P Q R 且 AC 4 BD 2 PR 3 则 AC 和 BD 所成的角为 5 A 90 B 60 C 45 D 30 答案 A 解析 如图 P Q R 分别为 AB BC CD 中点 PQ AC QR BD PQR 为 AC 和 BD 所成角 又 PQ AC 2 1 2 QR BD RP 3 1 25 PR2 PQ2 QR2 PQR 90 即 AC 和 BD 所成的角为 90 故选 A 9 如图所示 已知三棱锥 A BCD 中 M N 分别为 AB CD 的中点 则下列结论正确的是 A MN AC BD 1 2 B MN AC BD 1 2 C MN AC BD 1 2 D MNMN 所以 MN AC BD 1 2 10 如图 将无盖正方体纸盒展开 直线 AB CD 在原正方体 中的位置关系是 A 平行 B 相交且垂直 C 异面 D 相交成 60 答案 D 解析 将展开图还原为正方体 如图所示 则 ABC 是等边三角形 所以直线 AB CD 在原正方体中的位置 关系是相交成 60 二 填空题 11 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 不 平行的两条直线的位置关系是 两条直线没有公共点 则 它们的位置关系是 垂直于同一直线的两条直线的位置关 系为 答案 平行 相交 异面 相交 异面 平行 异面 平行 相交 异面 12 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a M N P Q 分别 为棱 AB BC C1D1和 CC1的中点 则 MN 与 PQ 的位置关系为 它们所成的角为 DB1与 MN 的位置关系为 它们所成的角是 答案 相交 60 异面 90 解析 连接 AC BD 交于 O 取 BB1的中点 H 连 OH 则 OH B1D 连 AH HC 则 AH HC OH AC 又 MN AC OH B1D MN B1D 13 正方体 ABCD A1B1C1D1中 AC 和 DD1所成角是 度 AC 和 D1C1所成的角是 度 AC 和 B1D1所成的角是 度 AC 和 A1B 所成的角是 度 O 为 B1D1中点 AC 和 BO 所成角是 度 A1B 和 B1D1所成角是 度 答案 90 45 90 60 90 60 解析 DD1 面 ABCD DD1 AC D1C1 DC DCA 45 D1C1与 AC 成 45 角 B1D1 BD BD AC B1D1 AC A1B D1C D1AC 为等边三角形 成 60 角 在正方体中 O 是 B1D1中点 O 为 A1C1中点 又 A1B BC1 BO A1C1 又 AC A1C1 BO AC AC 与 BO 成 90 角 B1D1 BD A1BD 为等边 成 60 角 14 给出下列命题 空间中如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边 那么 这两个角相等或互补 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直 线所成的锐角 或直角 相等 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线垂直 两条直线和第三条直线成等角 则这两条直线平行 其中成立的是 答案 三 解答题 15 如图所示 OA OB OC 为不共面的三条射线 点 A1 B1 C1分别是 OA OB OC 上的点 且 成 OA1 OA OB1 OB OC1 OC 立 求证 A1B1C1 ABC 分析 由初中所学平面几何知识 可证明两内角对应相等 进而证明两个三角形相似 证明 在 OAB 中 A1B1 AB OA1 OA OB1 OB 同理可证 A1C1 AC B1C1 BC C1A1B1 CAB A1B1C1 ABC A1B1C1 ABC 反思 在立体几何中 常利用等角定理来证明两个角相 等 此时要注意观察这两个角的方向必须相同 且能证明它们的两 边对应平行 16 如图所示 在长方体 ABCD A1B1C1D1中的面 A1C1内有一 点 P 经过点 P 作棱 BC 的平行线 应该怎样画 并说明理由 分析 由于 BC B1C1 所以平行于 BC 的直线只需要平行于 B1C1即可 解析 如图所示 在面 A1C1内过 P 作直线 EF B1C1 交 A1B1于 点 E 交 C1D1于点 F 则直线 EF 即为所求 理由 EF B1C1 BC B1C1 EF BC 17 如下图 等腰直角三角形 ABC 中 A 90 BC DA AC DA AB 若 DA 1 且 E 为 DA 的中点 求异 2 面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 分析 根据异面直线所成角的定义 我们可以选择适当的点 分别引 BE 与 DC 的平行线 换句话说 平移 BE 或 CD 设想平移 CD 沿着 DA 的方向 使 D 移向 E 则 C 移向 AC 的中点 F 这样 BE 与 CD 所成的角即为 BEF 或其补角 解 EFB 即可获解 解析 取 AC 的中点 F 连接 BE EF 在 ACD 中 E F 分别是 AD AC 的中点 EF CD BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角 或其补角 在 Rt EAB 中 AB 1 AE AD BE 1 2 1 2 5 2 在 Rt AEF 中 AF AC AE EF 1 2 1 2 1 2 2 2 在 Rt ABF 中 AB 1 AF BF 1 2 5 2 在等腰 EBF 中 cos FEB 1 2EF BE 2 4 5 2 10 10 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 10 18 如下图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F E1 F1分 别为棱 AD AB B1C1 C1D1的中点 求证 EA1F E1CF1 证明 如下图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 M 则 BF A1M AB 1 2 又 BF A1M 四边形 A1FBM 为平行四边形 A1F BM 而 F1 M 分别为 C1D1 A1B1的中点 则 F1M 綊 C1B1 而 C1B1綊 BC F1M BC 且 F1M BC 四边形 F1MBC 为平行四边形 BM F1C 又 BM A1F A1F CF1 同理取 A1D1的中点 N 连接 DN E1N 则 A1N 綊 DE 四边形