【走向高考】2013高三数学一轮总复习 8-7空间向量及其运算同步练习 理 北师大版

1 8 78 7 空间向量及其运算空间向量及其运算 理理 基 础 巩 固 一 选择题 1 已知A 1 0 1 B x y 4 C 1 4 7 且A B C三点在同一条直线上 则实 数x y分别等于 A x 0 y 1 B x 0 y 2 C x 1 y 1 D x 1 y 2 答案 B 解析 由条件和 x 1 y 3 2 4 6 AB AC AB AC x 0 y 2 x 1 2 y 4 3 6 2 已知向量a a 1 0 1 b b 1 2 3 k R R 若ka a b b与b b垂直 则k A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 解析 ka a b b k 1 2 k 3 ka a b b与b b垂直 1 k 1 2 2 3 k 3 0 k 7 3 在下列命题中 若向量a a b b共线 则向量a a b b所在的直线平行 若向量a a b b所在的直线为异面直线 则向量a a b b一定不共面 若三个向量a a b b c c两两共面 则向量a a b b c c共面 已知空间的三个向量a a b b c c 则对于空间的任意一个向量p p总存在实数x y z 使得p p xa a yb b zc c 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 A 解析 错 向量a a b b所在的直线可能重合 错 向量a a b b可以平行移动到同 一平面内 错 如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量 错 a a b b c c要求不共面 4 2012 济宁一模 若 a a b b c c 为空间的一组基底 则下列各项中 能构成基底的 一组向量是 2 A a a a a b b a a b b B b b a a b b a a b b C c c a a b b a a b b D a a b b a a b b a a 2b b 答案 C 解析 因为a a b b a a b b及a a 2b b均可用a a和b b表示 即它们都是与a a b b共面的向 量 故 A B D 均不正确 选 C 5 如图 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为AC与BD的交点 若 a a b b c c 则下列向量中与相等的向量是 A1B1 A1D1 A1A B1M A a a b b c c 1 2 1 2 B a a b b c c 1 2 1 2 C a a b b c c 1 2 1 2 D a a b b c c 1 2 1 2 答案 A 解析 c c a a b b B1M B1B BM A1A 1 2 BA BC A1A 1 2 B1A1 A1D1 1 2 a a b b c c 1 2 1 2 6 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB BB1 则AB1与C1B所成的角的大小为 2 A 60 B 90 C 105 D 75 3 答案 B 解析 如图 AB1 AB BB1 设 1 BC1 BC CC1 BB1 cos120 AB1 BC1 AB BC AB CC1 BB1 BC BB1 CC1 22 1 0 AB1 BC1 二 填空题 7 在四面体O ABC中 a a b b c c D为BC的中点 E为AD的中点 则 OA OB OC 用a a b b c c表示 OE 答案 a a b b c c 1 2 1 4 1 4 解析 OE OA 1 2AD OA 1 2 1 2 AB AC OA 1 4 OB OA OC OA 1 2OA 1 4OB 1 4OC a a b b c c 1 2 1 4 1 4 8 若向量a a 1 1 x b b 1 2 1 c c 1 1 1 满足条件 c c a a 2b b 2 则x 答案 2 解析 c c a a 1 1 1 1 1 x 0 0 1 x c c a a 2b2b 0 0 1 x 2 4 2 2 2x 2 x 2 三 解答题 4 9 如图 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 以顶点A为端点的三条棱长都为 1 且两两 夹角为 60 1 求AC1的长 2 求与夹角的余弦值 BD1 AC 解析 记 a a b b c c AB AD AA1 则 a a b b c c 1 60 a a b b b b c c c c a a 1 2 1 2 a a b b c c 2 AC1 a a2 b b2 c c2 2 a a b b b b c c c c a a 1 1 1 2 6 1 2 1 2 1 2 AC1 6 2 b b c c a a a a b b BD1 AC BD1 2 AC 3 b b c c a a a a b b BD1 AC b b2 a a2 a a c c b b c c 1 cos BD1 AC BD1 AC BD1 AC 6 6 5 与夹角的余弦值为 AC BD1 6 6 能 力 提 升 一 选择题 1 a a cos 1 sin b b sin 1 cos 则a a b b与a a b b的夹角为 A 0 B 30 C 60 D 90 答案 D 解析 a a b b a a b b a a 2 b b 2 0 a a b b a a b b 2 ABC的顶点分别为A 1 1 2 B 5 6 2 C 1 3 1 则AC边上的高 BD等于 A 5 B 41 C 4 D 2 5 答案 A 解析 设 D x y z 则 x 1 y 1 z 2 0 4 3 AD AC x 1 y 4 1 z 2 3 4 4 5 3 BD 又 0 4 3 4 4 5 3 3 0 AC AC BD 4 5 BD 4 9 5 12 5 5 BD 4 2 9 5 2 12 5 2 二 填空题 3 若A B C D是空间中不共面的四点 且满 足 0 0 0 则 BCD的形状是 AB AC AC AD AB AD 答案 锐角三角形 解析 0 0 0 AB AC AC AD AB AD AB AC AC AD AB AD BC2 CD2 AB2 AC2 AC2 AD2 AB2 AD2 BD2 BCD为锐角 同理 BDC CBD也为锐角 BCD为锐角三角形 6 4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 下面给出四个命题 2 3 2 A1A A1D1 A1B1 A1B1 0 A1C A1B1 A1A 与的夹角为 60 AD1 A1B 此正方体体积为 AB AA1 AD 则错误命题的序号是 填出所有错误命题的序号 答案 解析 A1A A1D1 A1B1 A1C 3 A1B1 正确 A1C A1B1 A1A A1C AB1 由三垂线定理知 正确 A1C AB1 AD1与A1B异面直线的夹角为 60 但与的夹角为 120 注意方 AD1 A1B A1B D1C 向 因为 0 正确的应是 AB AA1 AB AA1 AD 三 解答题 5 如图所示 已知在空间四边形ABCD中 向量 a a b b c c 若M为BC中点 AB AC AD G为 BCD的重心 试用 a a b b c c 表示下列向量 1 2 DM AG 解析 1 在 ADM中 由线段中点的向量表示知 DM DA AM 7 a a b b AM 1 2 AB AC 1 2 由相反向量的概念知 c c DA AD 所以 a a b b c c a a b b 2c2c DM DA AM 1 2 1 2 2 ADG中 注意到三角形重心的性质 得 c c AG AD DG 2 3DM c c a a b b 2c2c a a b b c c 1 3 1 3 点评 1 在向量运算中 要注意向量的方向 也就是要明确向量的起点和终点 2 平面向量仅是空间向量的一种特殊情况 其中的有关定义 定理 公式以及重要法 则 均可引申到空间向量中去 6 如图所示 在四棱锥M ABCD中 底面ABCD是边长为a的正方形 侧棱AM的长为 b 且AM和AB AD的夹角都等于 60 N是CM的中点 1 以 为基向量表示出向量 并求CM的长 AB AD AM CM 2 求BN的长 解析 1 CM AM AC AM AB AD AM AB AD 2 2 CM AM AB AD 2 2 2 2 2 2 AM AB AD AM AB AM AD AB AD b2 a2 a2 2bacos60 2bacos60 2a2cos90 2a2 2ab b2 8 CM CM 2a2 2ab b2 2 BN BC CN BC 1 2 AM AB AD 1 2 AM AB AD 2 2 2 2 2 2 2 2a2 b2 BN 1 4 AM AB AD AM AB AM AD AB AD 1 4 BN BN 1 2 2 a2 b2 7 已知矩形ABCD P为平面ABCD外一点 且PA 平面ABCD M N分别为PC PD上 的点 且 2 求满足 x y z的实数x y z的值 PM MC PN ND MN AB AD AP 分析 结合图形 从向量出发 利用向量运算法则不断进行分解 直到全部向量 MN 都用 表示出来 即可求出x y z的值 AB AD AP 解析 解法 1 如图所示取PC的中点E 连接NE 则 MN EN EM EN 1 2CD 1 2BA 1 2AB EM PM PE 2 3PC 1 2PC 1 6PC 连接AC 则 PC AC AP AB AD AP MN 1 2AB 1 6 AB AD AP 2 3AB 1 6AD 1 6AP 9 x y z 2 3 1 6 1 6 解法 2 如图所示 在PD上取一点F 使F分所成比为 2 连接MF 则 P