《工学线性代数》PPT课件.ppt

线性代数 主讲 王娟教材 线性代数 第三版 何苏阳 吕巍然 王子亭主编 石油大学出版社安排 共32学时 计划讲授前五章 平时成绩占20 期末成绩占80 一 学习必要性 二 课程特点 1 线性代数是高等工科学校本科各专业的一门重要的基础理论课 2 线性代数是一门必修课 考研必考内容 1 概念多 符号多 定理多 2 内容抽象 第一章n阶行列式 一 主要内容1 排列的一些性质 2 n阶行列式的定义 性质和计算 3 克莱姆法则 二 学习重点行列式的性质和计算 1 1排列的逆序数与对换 引例 用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解 123 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法 共有 一 概念的引入 二 全排列及其逆序数 问题 定义 把个不同的元素排成一列 叫做这个元素的全排列 或排列 个不同的元素的所有排列的种数 通常用表示 由引例 同理 在一个排列中 若数则称这两个数组成一个逆序 例如排列32514中 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大为标准次序 排列的逆序数 32514 问 该排列中还有其他的逆序吗 定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 注 标准排列 为偶排列 逆序数为0 计算排列逆序数的方法 基本思想 先计算出排列中每个元素的逆序数 再对所求出各元素的逆序数求和 即得所求排列的逆序数 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和 向前数大 方法1 分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和 向后数小 方法2 32514 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数 其逆序数为0 1的前面比1大的数有3个 故逆序数为3 4的前面比4大的数有1个 故逆序数为1 例1求排列32514的逆序数 2的前面比2大的数只有一个3 故逆序数为1 在排列中 3排在首位 逆序数为0 向前数大 解 例2计算下列排列的逆序数 并讨论它们的奇偶性 解 此排列为偶排列 解 当时为偶排列 当时为奇排列 三 对换的定义 定义 在排列中 将任意两个元素对调 其余元素不动 这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对调 叫做相邻对换 例如 四 对换与排列的奇偶性的关系 定理1一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 证明 设排列为 除外 其它元素的逆序数不改变 当时 当时 经对换后的逆序数不变 的逆序数减少1 因此对换相邻两个元素 排列改变奇偶性 设排列为 现来对换与 所以一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 证明 由定理1知 对换的次数就是排列奇偶性 而标准排列是偶排列 逆序数为0 因此知推论成立 的变化次数 思考题 证明在全部级排列中 奇偶排列各占一半 注 n级排列是由自然数1到n组成的有序数组 例排列32514为5级排列 思考题解答 将个奇排列的前两个数对换 则这个奇排列全变成偶排列 并且它们彼此不同 所以 故必有 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 定义1 即 1 2n阶行列式的定义 一 二阶 三阶行列式 定义2 记 3 式称为数表 2 所确定的三阶行列式 主对角线 副对角线 对角线法则 二 三阶行列式的计算 说明 1 三阶行列式共有项 即项 2 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 3 每项的正负号都取决于该项三个元素的下标排列的逆序数 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 二 n阶行列式的定义 定义 说明 1 阶行列式是项的代数和 结果是一个数 2 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 即某一乘积项符号的确定 先把该项的n个元素按行标排成标准顺序 然后由列标所成排列的奇偶性来决定这一项的符号 4 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 5 高阶行列式不能用对角线法则计算 3 的符号为 利用定义计算行列式步骤 1 取项 2 冠符 3 求和 例1计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零 所以只能等于 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例2计算上三角行列式 主对角线下方元素全部为零 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 例3 同理可得下三角行列式 主对角线上方元素全部为零 例4证明对角行列式 对角线以外的元素全部为零 证明 第一式是显然的 下面证第二式 若记 则依行列式定义 证毕 结论调换行列式的乘积项中两元素的次序 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性 三 行列式的列顺序表示法 证设有乘积项 对换元素 后 得 由于的奇偶性相反 的奇偶性也相反 故有相同的奇偶性 定理2 列顺序表示法 n阶行列式也可定义为其中s为行标排列的逆序数 证由定义 易知对于D中任一项 在D1中总有且只有一项与其对应并相等 反之亦然 也即D与D1中的项一一对应并相等 从而D D1 定理3阶行列式也可定义为 其中是两个级排列 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和 解 下标的逆序数为 所以是六阶行列式中的项 下标的逆序数为 所以不是六阶行列式中的项 例6在六阶行列式中 下列两项各应带什么符号 解 431265的逆序数为 所以前边应带正号 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以前边应带正号 证不妨设行列式的第行元素全为零 即于是 例7 证明若行列式中有一行 或一列 元素全为0 则行列式等于0 证毕 思考题 已知