函数的奇偶性(很好).ppt

1 3 2函数的奇偶性 在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么 复习回顾 观察下图 思考并讨论以下问题 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的 f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1 f 3 3 f 3 f 2 2 f 2 f 1 1 f 1 实际上 对于R内任意的一个x 都有f x x 2 x2 f x 这时我们称函数y x2为偶函数 观察函数f x x和f x 1 x的图象 下图 你能发现两个函数图象有什么共同特征吗 f 3 3 f 3 f 2 2 f 2 f 1 1 f 1 实际上 对于R内任意的一个x 都有f x x f x 这时我们称函数y x为奇函数 f 3 1 3 f 3 f 2 1 2 f 2 f 1 1 f 1 引入课题 1 已知函数f x x2 求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 及f x 并画出它的图象 解 f 2 2 2 4f 2 4 f 0 0 f 1 1 2 1f 1 1 f x x 2 x2 2 已知f x x3 求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 及f x 并画出它的图象 解 f 2 2 3 8f 2 8 f 0 0 f 1 1 3 1f 1 1 f x x 3 x3 思考 函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系 f 2 f 2 f 1 f 1 f 2 f 2 f 1 f 1 x x f x f x x f x x f x f x f x f x f x 1 函数奇偶性的概念 偶函数定义 如果对于f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫奇函数 问题1 奇函数 偶函数的定义中有 任意 二字 说明函数的奇偶性是怎样的一个性质 与单调性有何区别 问题1 奇函数 偶函数的定义中有 任意 二字 说明函数的奇偶性是怎样的一个性质 与单调性有何区别 强调定义中 任意 二字 说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质 它不同于函数的单调性 问题2 x与x在几何上有何关系 具有奇偶性的函数的定义域有何特征 问题2 x与x在几何上有何关系 具有奇偶性的函数的定义域有何特征 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称 问题3 结合函数f x x3的图象回答以下问题 1 对于任意一个奇函数f x 图象上的点P x f x 关于原点对称点P 的坐标是什么 点P 是否也在函数f x 的图象上 由此可得到怎样的结论 2 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 能否判断它的奇偶性 对奇函数 偶函数定义的说明 1 函数具有奇偶性的前提是 定义域关于原点对称 2 若f x 为奇函数 则f x f x 成立 若f x 为偶函数 则f x f x 成立 3 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 练习1 说出下列函数的奇偶性 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 f x x4 f x x 1 f x x 奇函数 f x x 2 偶函数 f x x5 f x x 3 结论 一般的 对于形如f x xn的函数 若n为偶数 则它为偶函数 若n为奇数 则它为奇函数 例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 2x 2 f x 2x4 3x2 解 f x x 3 2 x x3 2x x3 2x f x f x 为奇函数 f x 2 x 4 3 x 2 2x4 3x2 f x f x 为偶函数 定义域为R 解 定义域为R 小结 用定义判断函数奇偶性的步骤 先求定义域 看是否关于原点对称 再判断f x f x 或f x f x 是否恒成立 练习2 判断下列函数的奇偶性 2 f x x2 1 f x 为奇函数 f x x 2 1 x2 1 f x 为偶函数 解 定义域为 x x 0 解 定义域为R f x f x 3 f x 5 4 f x 0 解 f x 的定义域为R f x f x 5 f x 为偶函数 解 定义域为R f x 0 f x 又f x 0 f x f x 为既奇又偶函数 结论 函数f x 0 定义域关于原点对称 为既奇又偶函数 5 f x x2 x 解 f 1 0 f 1 2 f 1 f 1 f 1 f 1 f x 为非奇非偶函数 解 定义域为 0 定义域不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 小结 根据奇偶性 函数可划分为四类 奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 1 x 1且x 0 定义域为 1 0 0 1 f x 为奇函数 f x 能力提高 证明 偶函数f x 在 0 上是减函数 那么f x 在 0 上是增函数 证明 设X1 X2 0 则 X1 X2 0 函数f x 在 0 上是减函数 f X1 f X2 又 f x 是偶函数 f X1 f X1 f X2 f X2 于是f X1 f X2 所以 偶函数f x 在 0 上是增函数 奇函数的图象 如y x3 偶函数的图象 如y x2 o a P a f a p a f a a a f a a f a 2 奇偶函数图象的性质 2 奇函数的图象 设f x 为奇函数 则有f x f x 在f x 图象上任取一点 x f x 那么 点 x f x 也在函数f x 的图象上 所以 f x 的图象关于原点对称 1 偶函数的图象 设f x 为偶函数 则有f x f x 在f x 的图象上任取一点 x f x 那么 点 x f x 也在函数f x 的图象上 所以 f x 的图象关于y轴对称 x x f x f x f x f x x x 2 奇偶函数图象的性质 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数为奇函数 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数为偶函数 注 奇偶函数图象的性质可用于 判断函数的奇偶性 简化函数图象的画法 思考 1 已知奇函数y f x 在其定义域上是增函数 那么y f x 在它的定义域上 A 既是奇函数 又是增函数 B 既是奇函数 又是减函数 C 既是偶函数 又是先减后增函数 D 既是偶函数 又是先增后减函数 B 2 判断下列论断是否正确 练习 1 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称 则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数 2 如果一个函数为偶函数 则它的定义域关于坐标原点对称 3 如果一个函数定义域关于坐标原点对称 则这个函数为偶函数 4 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数为偶函数 2 判断下列论断是否正确 错 练习 1 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称 则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数 2 如果一个函数为偶函数 则它的定义域关于坐标原点对称 3 如果一个函数定义域关于坐标原点对称 则这个函数为偶函数 4 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数为偶函数 2 判断下列论断是否正确 错 对 练习 1 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称 则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数 2 如果一个函数为偶函数 则它的定义域关于坐标原点对称 3 如果一个函数定义域关于坐标原点对称 则这个函数为偶函数 4 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数为偶函数 2 判断下列论断是否正确 错 对 错 练习 1 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称 则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数 2 如果一个函数为偶函数 则它的定义域关于坐标原点对称 3 如果一个函数定义域关于坐标原点对称 则这个函数为偶函数 4 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数为偶函数 2 判断下列论断是否正确 错 对 错 对 练习 1 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称 则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数 2 如果一个函数为偶函数 则它的定义域关于坐标原点对称 3 如果一个函数定义域关于坐标原点对称 则这个函数为偶函数 4 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数为偶函数 4 如果函数f x g x 为定义域相同的偶函数 试问F x f x g x 是不是偶函数 是不是奇函数 为什么 3 如果f 0 a 0 函数f x 可以是奇函数吗 可以是偶函数吗 为什么 练习 4 如果函数f x g x 为定义域相同的偶函数 试问F x f x g x 是不是偶函数 是不是奇函数 为什么 3 如果f 0 a 0 函数f x 可以是奇函数吗 可以是偶函数吗 为什么 练习 不能为奇函数但可以是偶函数 4 如果函数f x g x 为定义域相同的偶函数 试问F x f x g x 是不是偶函数 是不是奇函数 为什么 3 如果f 0 a 0 函数f x 可以是奇函数吗 可以是偶函数吗 为什么 练习 不能为奇函数但可以是偶函数 是偶函数 5 如图 给出了奇函数y f x 的局部图象 求f 4 6 如图 给出了偶函数y f x 的局部图象 试比较f 1 与f 3 的大小 练